沪科版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教案配套课件ppt

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建立一元一次方程模型解决实际问题
1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1) 弄清题意和题中的数量关系，用字母(如 x， y) 表示问题涉及的未知数；(2) 分析题意，找出等量关系(可借助示意图、表格等)；(3) 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4) 解这个方程，求出未知数的值；(5) 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位) .
特别提醒列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点：1. 恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择；3. 求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义.
2. 分析题意常用的两种方法(1) 读题分析法： 多用于“和、差、倍、分”问题 . 仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多、少、是、共、合、完 成、增 加、减 少、配套……”，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程 .
(2) 画图分析法： 多用于“行程问题”，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程 .
3. 设未知数的常见方法(1) 设直接未知数： 一般情况下，题中问什么就设什么 .(2)设间接未知数： 特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量 .
饺子是中国传统食物，由一张小圆形面皮包馅制作 而成，形如半月或元宝；馅饼也是非常流行的一种美食，由一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形 . 元旦当天，小盛和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小盛向爸爸学习制作圆形面皮， 一共制作了大、小两种圆形面皮 100 张，爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大、小面皮，小盛发现饺子的数量比馅饼数量的 4 倍多 5 个 . 请你根据以上信息，求出所包的馅饼有多少个 .
两个等量关系，一个用来设未知数，并用未知数表示相关量，另一个用来列方程 .
解：设包了 x 个馅饼，则包了(4x+5)个饺子．根据题意，得 x+(4x+5) =100，解得 x=19.答：所包的馅饼有 19 个．
解题秘方：用分量的和等于总量列出方程，解决问题 .
1-1.某校七年级 200名学生分别到甲、乙两个纪念馆 参观，其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2 倍 少 10 名，到 乙纪念馆参观的学生有多少名？
解：设到乙纪念馆参观的学生有x名，则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名．根据题意，得2x－10＋x＝200，解得x＝70.答：到乙纪念馆参观的学生有70名．
[中考· 日照] [母题教材 P107 习题T3]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足”记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六 . 问人数、鸡价各几何？”译文：今有人合伙买鸡，每人出 9 钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱 . 问人数、鸡的钱数各是多少？设人数为 x，可列方程为( )A. 9x+11=6x+16 B. 9x－11=6x－16C. 9x+11=6x－16 D. 9x－11=6x+16
解：根据每人出 9 钱，会多出 11 钱，可得鸡的价格为(9x－11) 钱；根据每人出 6 钱，又差 16 钱，可得鸡的价格为(6x+16)钱，故 9x－11=6x+16．
解题秘方：不管是余是缺，总钱数不变是列方程的关键.
2-1. [中考· 自贡 ]某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车 4 辆，还剩 30 人没有座位；租用5辆，还空10个座位. 求该客车的载客量．
解：设该客车的载客量为x人，由题意，得4x＋30＝5x－10，解得x＝40.答：该客车的载客量为40人．
1. 常见平面图形的基本等量关系C 长方形=2×(长 + 宽)， S 长方形= 长 × 宽，C 正方形=4× 边长， S 正方形= 边长 × 边长 .
知识链接关于长方形、正方形的分割、拼图、剪贴问题，需设出适当的未知数，结合图形找到等量关系列方程 .
[母题 教材 P103 例 1 ]如图 3.3-1，小轩家客厅的电视背景墙是由 10 块形状、大小相同的长方形墙砖砌成的 . 求一块长方形墙砖的长和宽 .
解题秘方：根据拼接图形找到长方形墙砖的长与宽的关系列方程.
解：设一块长方形墙砖的长为 x m，则宽为(1.5－x) m．依题意得 2x=x+4(1.5－x)，解得 x=1.2.则 1.5－x=0.3.答：一块长方形墙砖的长为 1.2 m，宽为 0.3 m．
3-1.一块长、宽、高分别 为4 cm， 3 cm， 2 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱，求这个圆 柱的高. (π取3.14，结果精确到0.1 cm)
1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间 .
2. 行程问题中的相等关系(1) 相遇问题中的相等关系：① 若甲、乙 相向而行，相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程；②若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 .
(2) 追及问题中的相等关系：①快者追上慢者时，快者走的路程 - 慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间 =慢者用的时间 .(3) 航行问题中的相等关系：顺水(顺风) 速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风) 速度；逆水(逆风） 速度 = 静水(无风) 速度 - 水(风) 速度 .
特别提醒1. 在行程问题的三个量(路程、速度、时间)中，一个量已知，另一个量设元，则第三个量用来列方程 .2. 在相遇和追及问题中，若两者同时出发，则时间相等，利用两者路程之间的关系列方程 .3. 航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，路程就不变.
甲站和乙站相距 1 500 km，一列慢车从甲站开出， 速度为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 1 800 km ？(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
解题秘方：根据“慢车行驶的路程 + 快车行驶的路程 =1 500 km”列方程；
(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？
解： 设 y h 后两车相距 1 800km.由题意，得 60y+90y+1 500=1 800.解得 y=2.答： 2 h 后两车相距 1 800 km.
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km ？
解： 设 z h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) .由题意，得 60z+1 500 － 90z=1 200. 解得 z=10.答： 10 h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) .
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
4-1. [月考·安庆] A， B两地相距 360 km，甲、乙两车分别沿同一条路 线 从 A 地 出 发 驶 往B 地，已知甲车的速度为 60 km/h，乙 车 的 速度 为 90 km/h，甲 车 先出 发 1 h 后 乙 车 再 出发，乙车到达 B 地后在原地等甲车．(1) 乙车出发多长时间追上甲车？
解：设乙车出发x h追上甲车，由题意得90x＝60(x＋1)，解得x＝2.答：乙车出发2 h追上甲车．
(2) 乙车出发多长时间与甲车相距50 km ？
小李和爸爸周末去体育中心晨练，两人沿 400 m 的跑道匀速跑步，每次总是小李跑了 2 圈爸爸跑 3 圈， 一次两人在同地同时反向而跑，小李最后发现隔了 32 s 两人第一次相遇 .(1) 求两人的速度 .(2) 若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人首次相遇？
解题秘方：可将环形中的相遇或追及问题转化为直线形中的相遇或追及问题 .
解：设小李的速度为 2x m/s，则爸爸的速度为 3x m/s.根据题意得32(2x+3x)=400.解得x=2.5.所以2x=5， 3x=7.5.答：小李的速度为 5 m/s，爸爸的速度为 7.5 m/s.
(1) 求两人的速度 .
解：设过了 t s 两人首次相遇 .根据题意得 7.5t－5t=400. 解得 t=160.答：过了 160 s 两人首次相遇 .
(2) 若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人首次相遇？
方法点拨：环形运动问题中的相等关系(同时同地出发)：(1) 同向相遇：第一次相遇快者跑的路程 － 第一次相遇慢者跑的路程 = 跑道一圈的长度；(2) 反向相遇：第一次相遇快者跑的路程 + 第一次相遇慢者跑的路程 = 跑道一圈的长度 .
5-1.甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，已知甲的速度为每分钟 200 m，乙的速度为每分钟 120 m，且两人都是同时出发，同向而行的 .(1) 如果甲、乙 两 人 从同 一 个 地 点 出 发，那么几分钟后两人第一次相遇？
解：设x min后两人第一次相遇，根据题意，得200x－120x＝400，解得x＝5.答：5 min后两人第一次相遇．
(2)如果甲在乙前方80 m处，那么几分钟后两人第一次相遇？
解：设y min后两人第一次相遇，根据题意，得200y－120y＝400－80，解得y＝4.答：4 min后两人第一次相遇．
一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行 4 h，逆流需航行 5 h，如果水流速度为 3 km/h，求两个码头间的距离 .
6-1. [月考·蚌埠]甲、乙两港口相 距80 km，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行，航行速度为48 km/h，水流速度为2 km/h，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口与丙港口之间的距离．
1. 概念 顾客存入银行的钱叫作本金，银行付给顾客的酬金叫作利息，本金和利息的和叫作本息和，一定时期内利息与本金的比叫作利率 .2. 等量关系 本金 × 利率 × 期数 = 利息；本金 + 利息 = 本息和 .
特别警示储蓄问题中应注意的问题：(1)计算利息时不要忘记乘期数；(2)要注意区分给出的是年利率还是月利率.
[母题 教材 P105 例 3 ]某工厂向银行申请了甲、乙两种不同利率的贷款，共计 200 万元，每年需付利息 10.6 万元，甲种贷款每年的利率是 5%，乙种贷款每年的利率是 5.5%，求该工厂这两种贷款各申请了多少万元 .
解：设 该 工 厂 申 请 甲 种 贷 款 x 万 元，则 申 请 乙 种 贷 款(200－x) 万元 . 由题意得 5%x+5.5%×(200－x) =10.6，解得 x=80，则 200－x=120.答：该工厂申请甲种贷款 80 万元，申请乙种贷款 120 万元 .
7-1.贝贝6年后上大学，预计上完四年大学需要5万元，因此贝贝的父亲现在就开始了教育储蓄，已知年利率如下表：
现有两种储蓄方式：①存两个三年期，先存入一个三年期，三年后将本息和自动转存下一个三年期；②存六个一年期，先存入一个一年期，一年后将本息和自动转存下一个一年期，直至六年期满.比较以上两种储蓄方式，哪种储蓄方式能让现在存入的本金最少？所需本金最少是多少？(用四舍五入法精确到百元)
解：①设存两个三年期所需的本金为x万元，根据题意，得 (1＋4.25%×3)(1＋4.25%×3)x＝5，解得x≈3.93.②设存六个一年期所需的本金为y万元，根据题意，得(1＋3.00%)6y＝5，解得y≈4.19.因为3.93