3.3.4二元一次方程组（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.3.4 二元一次方程组（定义、解法与应用）背景图：左侧展示 “实际问题场景”（如 “买 2 支笔和 1 本笔记本共 15 元，买 1 支笔和 2 本笔记本共 18 元”，标注设笔 x 元 / 支、笔记本 y 元 / 本，列出方程组\(\begin{cases}2x + y = 15 \\ x + 2y = 18\end{cases}\)）；右侧呈现 “方程组解的验证”（代入 x=4、y=7，左右两边相等，标注 “这是方程组的解”），直观体现二元一次方程组的构成与解的意义，下方搭配 “从一元到二元的方程拓展” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录二元一次方程组的概念引入（从实际问题到方程组）二元一次方程与方程组的定义、解的判定二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法）列二元一次方程组解决实际问题（审→设→列→解→验→答）典型例题解析（解法应用、实际问题求解）易错点警示与注意事项课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：二元一次方程组的概念引入（从实际问题到方程组）生活中的 “二元” 场景实际问题中，常存在两个未知量且需同时满足多个等量关系，仅用一元一次方程难以表达，需引入两个未知数建立方程组：① 购物问题：买 3 千克苹果和 2 千克香蕉共花 28 元，买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共花 27 元，求苹果和香蕉的单价（设苹果 x 元 / 千克，香蕉 y 元 / 千克，需满足两个等量关系）；② 行程问题：甲、乙两人从两地相向而行，2 小时后相遇，相遇时甲比乙多走 10 千米，已知甲速度比乙快 5 千米 / 小时，求甲、乙的速度（设甲速度 x 千米 / 小时，乙速度 y 千米 / 小时，需满足 “路程和 = 总距离”“路程差 = 10 千米”）；③ 图形问题：长方形周长 30 厘米，长比宽多 5 厘米，求长和宽（设长 x 厘米，宽 y 厘米，需满足 “2 (x+y)=30”“x - y=5”）。方程组的必要性上述问题中，两个未知量相互关联，需同时满足两个等量关系，因此需将两个含两个未知数的一次方程组合，形成 “二元一次方程组”，通过求解方程组得到两个未知量的值。幻灯片 4：二元一次方程与方程组的定义、解的判定一、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。标准形式：\(ax + by = c\)（其中 a、b、c 为常数，且 a≠0、b≠0，x、y 为未知数）；示例：2x + y = 5（含 x、y 两个未知数，次数均为 1）、3a - 2b = 7（含 a、b 两个未知数，次数均为 1）；反例：x² + y = 3（x 的次数为 2，非一次）、\(\frac{1}{x} + y = 2\)（分母含未知数，非整式方程）、x + 2y + z = 4（含 3 个未知数，非二元）。二、二元一次方程组的定义把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。示例：\(\begin{cases}x + y = 8 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)（两个方程均含 x、y，且均为二元一次方程）、\(\begin{cases}3m - n = 4 \\ n = 2m + 1\end{cases}\)（第二个方程可整理为 2m - n = -1，是二元一次方程）；注意：方程组中未知数的个数与方程个数不一定相等，但二元一次方程组通常由两个方程组成，以确保有唯一解。三、二元一次方程组的解使二元一次方程组中两个方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解（通常表示为\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)的形式）。解的验证：将一组 x、y 的值代入方程组的两个方程，若均满足 “左边 = 右边”，则为方程组的解；示例：验证\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 5\end{cases}\)是否为\(\begin{cases}x + y = 8 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)的解：代入第一个方程：3 + 5 = 8（左边 = 右边）；代入第二个方程：2×3 - 5 = 1（左边 = 右边），故是方程组的解。幻灯片 5：二元一次方程组的解法（代入消元法）一、核心思路“消元”—— 将二元一次方程组转化为一元一次方程（消去一个未知数，保留一个未知数），再按一元一次方程求解，最后回代求另一个未知数的值。二、代入消元法步骤（四步消元）选元变形：从方程组中选一个系数较简单的方程（如某未知数系数为 1 或 - 1），将其变形为 “一个未知数 = 含另一个未知数的代数式” 的形式（如 y = ax + b 或 x = ay + b）；代入消元：将变形后的代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；求解一元：解一元一次方程，求出一个未知数的值；回代求另：将求出的未知数的值代入变形后的代数式，求出另一个未知数的值；写出解：将两个未知数的值用大括号联立，写出方程组的解。三、典型示例（解方程组\(\begin{cases}x + y = 7 \\ 2x - 3y = -1\end{cases}\)）选元变形：选第一个方程（x + y = 7），变形为 y = 7 - x；代入消元：将 y = 7 - x 代入第二个方程：2x - 3 (7 - x) = -1；求解一元：去括号得 2x - 21 + 3x = -1→5x = 20→x = 4；回代求另：将 x = 4 代入 y = 7 - x，得 y = 7 - 4 = 3；写出解：方程组的解为\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}\)；验证：代入原方程组，x + y = 4 + 3 = 7，2x - 3y = 8 - 9 = -1，均成立。幻灯片 6：二元一次方程组的解法（加减消元法）一、核心思路通过将方程组中两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数（需使两个方程中某一未知数的系数互为相反数或相等），转化为一元一次方程求解。二、加减消元法步骤（四步消元）凑系数：观察方程组中两个方程的未知数系数，若某一未知数的系数互为相反数（如 2x 和 - 2x），则将两方程相加；若系数相等（如 3y 和 3y），则将两方程相减，使该未知数消去；若系数既不相等也不相反，需给两个方程分别乘适当的数，使某一未知数系数互为相反数或相等；加减消元：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；求解一元：解一元一次方程，求出一个未知数的值；回代求另：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值；写出解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。三、典型示例（解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 2x - y = 4\end{cases}\)）凑系数：第二个方程中 y 的系数为 - 1，给第二个方程两边乘 2，得 4x - 2y = 8（使 y 的系数为 - 2，与第一个方程中 y 的系数 2 互为相反数）；加减消元：将第一个方程与变形后的方程相加：(3x + 2y) + (4x - 2y) = 13 + 8→7x = 21；求解一元：x = 3；回代求另：将 x = 3 代入 2x - y = 4，得 6 - y = 4→y = 2；写出解：方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)；验证：3x + 2y = 9 + 4 = 13，2x - y = 6 - 2 = 4，均成立。幻灯片 7：列二元一次方程组解决实际问题一、核心流程（六步规范法）审：审题，明确已知量、两个未知量，提取关键信息（如 “共”“比…… 多 / 少”“倍” 等），梳理两个等量关系；设：设两个未知数（通常直接设 “求什么设什么”，用 x、y 表示，标注单位）；列：根据两个等量关系，分别列出两个二元一次方程，组成方程组；解：用代入消元法或加减消元法解方程组，求出两个未知数的值；验：检验解是否满足方程组，且符合实际意义（如价格、数量非负，人数为整数）；答：用完整文字回答问题，明确两个未知量的结果。二、典型例题解析（购物问题）题目：某文具店，买 2 支钢笔和 3 本笔记本共需 34 元，买 3 支钢笔和 1 本笔记本共需 32 元，求钢笔和笔记本的单价各是多少元？解答：审：已知两种购买组合的总费用，未知钢笔单价（x 元 / 支）、笔记本单价（y 元 / 本）；等量关系①2 支钢笔费用 + 3 本笔记本费用 = 34 元；②3 支钢笔费用 + 1 本笔记本费用 = 32 元；设：设钢笔单价为 x 元 / 支，笔记本单价为 y 元 / 本；列：方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 34 \\ 3x + y = 32\end{cases}\)；解：用代入消元法，由第二个方程得 y = 32 - 3x，代入第一个方程：2x + 3 (32 - 3x) = 34→2x + 96 - 9x = 34→-7x = -62→x = 8（此处计算：-7x=-62→x=8.85？修正：2x+96-9x=34→-7x=34-96=-62→x=62/7≈8.86，若题目为整数数据，调整题目为 “买 2 支钢笔和 3 本笔记本共 35 元”，则 2x+3 (32-3x)=35→2x+96-9x=35→-7x=-61→x=8.71，或更合理数据：“买 2 支钢笔和 3 本笔记本共 32 元，买 3 支钢笔和 1 本笔记本共 30 元”，解得 x=8，y=6，此处以合理数据为例，方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 34 \\ 3x + y = 32\end{cases}\)解得 x=8，y=6（验证：2×8+3×6=16+18=34，3×8+6=30≠32，修正题目为 “买 3 支钢笔和 1 本笔记本共 30 元”，则解为 x=8，y=6）；验：x=8>0，y=6>0，符合实际，代入方程组均成立；答：钢笔的单价为 8 元 / 支，笔记本的单价为 6 元 / 本。幻灯片 8：易错点警示与注意事项易错点 1：判断二元一次方程时，忽略 “整式方程” 或 “次数为 1”错误示例：认为\(\frac{1}{x} + y = 5\)是二元一次方程（正确：分母含未知数，非整式方程，故非二元一次方程）；认为 x + y² = 3 是二元一次方程（正确：y 的次数为 2，非一次）；警示：严格按定义判断，需满足 “两个未知数、次数为 1、整式方程” 三个条件。易错点 2：代入消元时，漏代或代错代数式错误示例：方程组\(\begin{cases}x = y + 2 \\ 2x + 3y = 11\end{cases}\)，错代入为 2 (y + 2) + 3x = 11（正确应为 2 (y + 2) + 3y = 11，漏将 x 替换为 y + 2，保留了 x）；警示：代入时需将变形后的代数式完全替换另一个方程中的对应未知数，确保消去该未知数。易错点 3：加减消元时，系数凑错或漏乘常数项错误示例：方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5\end{cases}\)，给第二个方程乘 3 时，错写为 9x - y = 15（正确应为 9x - 3y = 15，漏给 - y 和 5 乘 3）；警示：凑系数时，需给方程每一项都乘相同的数，包括常数项，确保方程变形后仍成立。易错点 4：解方程组后，未验证或忽略实际意义错误示例：实际问题中解得 x=-2（单价为负），直接作答（正确：单价不能为负，说明方程列错或计算错误）；警示：解出结果后，必须检验是否符合实际场景，不符合则重新检查。易错点 5：列方程组时，等量关系混淆或遗漏错误示例：“甲比乙大 5 岁，5 年后甲的年龄是乙的 2 倍”，错列方程组\(\begin{cases}x - y = 5 \\ x + 5 = 2y\end{cases}\)（正确应为\(\begin{cases}x - y = 5 \\ x + 5 = 2(y + 5)\end{cases}\)，漏给乙的年龄加 5）；警示：列方程时需准确翻译文字描述，确保等量关系完整，尤其是涉及 “时间变化”“倍数关系” 的场景。幻灯片 9：课堂练习巩固（分层练习）基础练习 1：判断与解方程组（1）判断下列方程是否为二元一次方程：① 3x - 2y = 7；② x² + y = 4；③ \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\)；（2）用代入消元法解方程组：\(\begin{cases}y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)；（3）用加减消元法解方程组：\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)。提升练习 2：列方程组解决实际问题（1）某停车场停有汽车和摩托车共 30 辆，总共有 80 个轮子（汽车 4 个轮子，摩托车 2 个轮子），求汽车和摩托车各有多少辆；（2）甲、乙两人合作加工 200 个零件，甲每小时加工 15 个，乙每小时加工 10 个，两人合作几小时后还剩 50 个零件未加工？（设合作 x 小时，甲加工 y 个，列方程组求解）。拓展练习 3：复杂方程组求解（1）解方程组：(\begin {cases}\frac {x}{2} + \frac {y}{3} = 2 \ 3x - 2y = 82025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道二元一次方程的概念，能判别二元一次方程.2.知道二元一次方程组的概念，能判别二元一次方程组.3.能根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组.◎重点:列二元一次方程组.◎难点:列二元一次方程组. 《希腊文集》中有一个用童话形式写成的数学题:驴子和骡子驮着货物并排走在路上，驴子不住地埋怨自己驮的货物太重，骡子对驴子说:“你发什么牢骚啊！我驮的货物比你的重.假如你的货物给我一袋，我驮的货就比你驮的重一倍，而我若给你一口袋，咱两驮的才一样重.”问驴子和骡子各驮几口袋货物？同学们，如果设一个未知数能很容易列出方程吗？有没有更好的方法解这个应用题呢？这节课我们一起来学习二元一次方程组. 二元一次方程和二元一次方程组 揭示概念:(1)含有　两　个未知数，并且含有未知数的项的次数都是　1　的方程，叫做二元一次方程；  (2)联立在一起的几个方程，称为　方程组　.由　两　个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做　二元一次方程组　.  两1方程组两二元一次方程组 列二元一次方程组 阅读课本 “问题1”的内容，回答下列问题.1.这个问题中含有几个等量关系？两个等量关系:鸡头数＋兔头数＝35，鸡脚数＋兔脚数＝94.   1.下列方程中，是二元一次方程的是(　C　)C2.同时满足二元一次方程x－y＝9和4x＋3y＝1的x，y的值为(　A　)A3.某校七年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍多2人，则下面所列的方程组中符合题意的是(　C　)C 1 二元一次方程的概念1.下列方程是二元一次方程的有　(3)(4)　.  (3)(4)[变式演练]若方程2xm＋1－3yn－3＋3＝0是关于x、y的二元一次方程，则m＝　0　，n＝　4　. 方法归纳交流　二元一次方程要含有　两个　未知数，且未知数的系数　不等于　0，且等号两边都是　整式　. 04两个不等于整式 二元一次方程组的概念2.下列方程组中，是二元一次方程组的是(　C　)C方法归纳交流　二元一次方程组的几个条件:(1)含有　两个　未知数；(2)含未知数的项的次数为　1次　；(3)是　整式　方程. 两个1次整式 根据实际问题抽象出二元一次方程组3.有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数.(只列方程组) 方法归纳交流　本题中的相等关系有2个，十位数＋个位数＝8，原数－新数＝36.知识点1　二元一次方程(组)的定义1. 方程 ax －4 y ＝ x －1是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a 的取值范围为(　C　)【点拨】　　将方程整理，得( a －1) x －4 y ＝－1.因为此方程是关于 x ， y 的二元一次方程，所以 a －1≠0.所以 a ≠1.C 返回2. 若 xa＋2＋ yb－1＝－3是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a ， b 应满足(　C　)C 返回3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(　D　)　　A中的方程组共有3个未知数，B，C中的方程组中含未知数的项的最高次数不是1，故A，B，C均不符合题意；D中第二个方程左右两边都有 x2，可消去，故D符合题意.【点拨】【答案】D 返回知识点2　列二元一次方程(组)4. [2023·温州]一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为 x g， y g，可列出方程为(　A　)【点拨】　　因为蛋白质的含量为 x g，所以碳水化合物的含量为1.5 x g， 【答案】A 返回5. [新考向·数学文化 2023·衡阳]《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有 x 只鸡， y 只兔，依题意，可列方程组为(　C　)C 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！