高中数学人教B版 (2019)必修 第三册三角恒等变换的应用教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册三角恒等变换的应用教案设计，共8页。教案主要包含了二组完成，学生上台进行展示.，新课探究，小结等内容，欢迎下载使用。
板书设计
教学研讨
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点，也是教学时要着重关注的地方，本案例例题较多，没有设置练习题，如果时间允许，可以适当地设计一些例题.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
练习引入
已知，求.
解：，
.
，，
.
师：分析此题的已知和所求，是由求.
师：我们以前学的一般已知和所求分别是什么？
生：由求，，，即是已知角的三角函数值，求的三角函数值.
师：请大家想一想，这两种题中已知和所求有什么共同点？
生：已知角和所求角之间有二倍关系
师：由这个思路，完成此题学生独立完成解题过程
师：此题能求和吗？
通过具体练习引入，与所学习的题型进行比较，发现其共性，为下一步继续推导公式做好准备工作.
半角的正弦、余弦和正切公式
思考1：你能用表示，，吗？
结论：
； = 1 \* GB3 ①
；②
. = 3 \* GB3 ③
，
，
，
这3个公式称之为半角公式，其中根号前的正负号，由所在象限确定.
问题：三角变换与代数变换有什么不同？
师：（1）与有什么关系？
（2）怎样运用倍角公式解决？
生：在倍角公式中，以代替，以代替，即得，则；在倍角
公式中，以代替，以代替，即得，则.将上述两个式子左右两边分别相除，得
.
教师给予补充.
师：如果知道的值和角的终边所在的象限.你能表示出吗？
学生思考回答.
师生共同得出半角公式.
引导学生通过对比这两种变换认识到：不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.
培养学生运用已有知识获得新知识的能力和问题探究的能力，同时使学生认识到公式形式的来源.通过讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，逐步培养自学能力.
应用举例1
例1 求证：
（1）；
（2）.
证明：
（1）
（2）
.
教师出示例题，并提问：
（1）如何证明等式相等？
（2）式子中的角度有什么关系？
学生思考并给出回答.
教师让学生口述证明思路，并给予点评.
学生黑板板演.
巩固半角公式的应用，提高学生化简计算能力，培养学生的数学运算素养.
积化和差公式
思考2：如果已知，你能求出以及的值吗？
解：由：，
，
得:
； = 4 \* GB3 ④
. = 5 \* GB3 ⑤
因此
，
.
思考3：类比思考2你能用，表示，吗？
解：由，
，
得：
； = 6 \* GB3 ⑥
. = 7 \* GB3 ⑦
教师提出思考问题，让学生进行讨论交流，教师进一步
提出问题：
，，，之间有关系？
学生很容易想到两角和与差的余弦公式，由两个公式学生可以找出积与和差的关系.
找出关系后，进一步解决思考2的问题.
对于思考3，教师提出问题，学生进行讨论得出答案.
教师指出积化和差公式④⑤⑥⑦：左边是积的形式，右边是和或差的形式.
通过思考探究培养学生分析问题的能力、合作交流的能力，通过思考、探究环节，由学生得出积化和差公式，能够使学生记忆更深刻，培养学生的数学抽象素养.
应用
举例2
例2 求函数的周期与最大值.
解：由积化和差公式可知
，
所以函数的周期为，最大值为.
教师展示例题并提出问题：如何求三角函数的周期？
生：在一个三角函数内，.
师：乘积的函数能否用此公式？
生：不能.
师：如何化简？
生：应用积化和差公式.
通过例题，巩固积化和差公式，并培养学生数学运算素养.
和差化积公式
思考4：（1）你能借助④式求出函数的最大值吗？
（2）令，然后改写积化和差公式.
解：（1），因此可知的最大值为1.
（2）一般地，如果，则，，从而④⑤⑥⑦可分别改写为
，
，
，
这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式.
教师展示思考4的内容，对学生进行分组，分成四组，一、二组完成（1），三、四组完成（2），学生上台进行展示.
对于一二组完成的情况，教师进行简单点评，对于三、四组完成的内容教师重点讲解，并总结和差化积公式的结构特征.
通过分组完成培养学生的合作与竞争意识通过完成问题，提高学生分析问题的能力、总结问题的能力.
应用举例3
例3 求函数的周期与最大值.
解：由和差化积公式可知
.
所以函数的周期为，最大值为.
例4 已知，求证：
证明：因为，所以
，因此
.
对于例3，教师可以找学生直接上黑板完成，教师给予点评即可.
对于例4，给出2个小问题帮助学生去理解并完成例4：
①如果，那么与有什么关系？
②正弦的二倍角公式是什么？
学生回答完后，让学生先尝试独立完成例4.
通过例题练习和差化积公式，培养学生的数学运算素养，及分析问题的能力.
课堂小结
本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式，以及如何利用学过的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式进行公式变形，还要思考题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等.
生：小组合作总结，选出代表表述.
师：根据多个小组的回答进行适时补充，总结，升华.
调动学生的积极性，引导学生主动学习.
布置作业
1.教材第104页练习A第2，3，4题.
2.选做题：教材第105页练习B.
学生独立完成.
教师批阅.
通过作业使学生巩固所学内容，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.
8.2.4 三角恒等变换的应用
一、练习引入
二、新课探究
（一）半角公式
（二）积化和差公式
= 4 \* GB3 ④
= 5 \* GB3 ⑤
= 6 \* GB3 ⑥
= 7 \* GB3 ⑦
（三）和差化积公式
三、例题
例1
例2
例3
例4
四、小结