人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用学案设计
展开【学习重点】
半角公式、积化和差和和差化积公式的推导及其应用
【学习难点】
半角公式、积化和差和和差化积公式的应用
问题1:半角公式及其应用
事实上,由可得
,
因此,即 (1)
类似的,因为
所以有,即
(2)
(1),(2)两个等式左边、右边分别相除,即可得
(3)
例1.求证:
(1) ; (2)
知识点1 半角公式
sineq \f(α,2)= ,cseq \f(α,2)= ,taneq \f(α,2)= ,
根号前的正负号,由角eq \f(α,2)所在象限确定.
推广公式:tan eq \f(α,2)= = .
练习.求的值。
【对点快练】
1.若cs α=eq \f(1,3),α∈(0,π),则cseq \f(α,2)的值为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.-eq \f(\r(6),3)
C.±eq \f(\r(6),3) D.±eq \f(\r(3),3)
2.已知cs α=eq \f(4,5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π,2π)),则sineq \f(α,2)等于( )
A.-eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C.eq \f(3\r(3),10) D.-eq \f(3,5)
例2. 已知sin θ=eq \f(4,5),且eq \f(5π,2)<θ <3π,求cseq \f(θ,2)和taneq \f(θ,2).
【变式练习】
本例中将条件改为“π<θ
因为
所以两式分别相加、相减之后整理可得
(4)
(5)
类似地,由
可得:
(6)
(7)
(4)(5)(6)(7)地左边是积地形式,右边是和或者差地形式,因此被称为积化和差公式。
根据(4)式可知,
因此可知的最大值为1.
一般地,如果,则,从而(4),(5),(6),(7)可分别改写为:
这四个公式左边是和或差的形式,右边是积的形式,因此被称为和差化积公式。
知识点2 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式:
sin αcs β=eq \f(1,2)[sin(α+β)+sin(α-β)],cs αsin β=eq \f(1,2)[sin(α+β)-sin(α-β)],
cs αcs β=eq \f(1,2)[cs(α+β)+cs(α-β)],sin αsin β=-eq \f(1,2)[cs(α+β)-cs(α-β)].
(2)和差化积公式:
sin α+sin β=2sineq \f(α+β,2)cseq \f(α-β,2),sin α-sin β=2cseq \f(α+β,2)sineq \f(α-β,2),
cs α+cs β=2cseq \f(α+β,2)cseq \f(α-β,2),cs α-cs β=-2sineq \f(α+β,2)sineq \f(α-β,2).
【对点快练】
1.sin 15°cs 165°的值是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.-eq \f(1,4) D.-eq \f(1,2)
2.把cs 3a+cs 5a化为积的形式,其结果为____________.
例2.求函数的周期与最大值。
【变式练习1】
求函数f(x)=sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))的值域.
【变式练习2】
函数f(x)=sin 2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的单调递减区间是____________.
例3.求函数的周期和最大值。
【变式练习1】函数y=cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))+sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12)))-1的最小正周期为____________.
【变式练习2】
函数y=cs x+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3))),x∈(0,π)的最小值为( )
A.-eq \r(3) B.eq \f(3,2)
C.-eq \f(3,2) D.eq \r(3)
例4.已知,求证:
考点
学习目标
半角公式及其运用
运用三角恒等变换公式进行简单的三角恒等变换,理解半角公式的推导过程及简单应用
积化和差和和差化积及其运用
理解积化和差和和差化积的推导过程及其运用
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