2021学年8.2.4 三角恒等变换的应用学案

这是一份2021学年8.2.4 三角恒等变换的应用学案，共10页。学案主要包含了第一学时，学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈，第二学时等内容，欢迎下载使用。

【第一学时】
【学习目标】
1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
【学习重难点】
掌握半角的正弦、余弦和正切公式.
【学习过程】
一、初试身手
1．若cs α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cs eq \f(α,2)的值为( )
A．eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6)
C．eq \f(\r(30),6)D．－eq \f(\r(30),6)
2．下列各式与tan α相等的是( )
A．eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α)) B．eq \f(sin α,1＋cs α)
C．eq \f(sin α,1－cs 2α) D．eq \f(1－cs 2α,sin 2α)
3．设α∈(π，2π)，则eq \r(\f(1＋csπ＋α,2))等于________．
二、合作探究
1．化简问题
【例1】 已知π<αeq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α))的值．
[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据eq \f(α,2)的范围开方化筒．
[解] 原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))
∵π<α0.
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2))))
＝－eq \f(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin \f(α,2)－cs \f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cs eq \f(α,2).
2．求值问题
【例2】 已知|cs θ|＝eq \f(3,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求sin eq \f(θ,2)，cs eq \f(θ,2)，tan eq \f(θ,2)的值．
[思路探究] eq \x(由题意求cs θ)
―→eq \x(由半角公式求sin2\f(θ,2)，cs2\f(θ,2))
―→eq \x(求sin \f(θ,2)，cs \f(θ,2))―→求eq \x(tan \f(θ,2))
[解] 由eq \f(5π,2)<θ<3π，且|cs θ|＝eq \f(3,5)可知，
cs θ＝－eq \f(3,5)，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).
由sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,2)＝eq \f(1＋\f(3,5),2)＝eq \f(4,5)得，
sin eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(4,5))＝－eq \f(2\r(5),5).
由cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)＝eq \f(1－\f(3,5),2)＝eq \f(1,5)得，
cs eq \f(θ,2)＝－eq \f(\r(5),5).
∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))＝eq \f(－\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝2．
3．三角恒等式的证明
【例3】 （1）求证：1＋2cs2θ－cs 2θ＝2；
（2）求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
[思路探究] （1）可由左向右证：先把左边cs2 θ降幂化为同角后整理可证．
（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
[解] （1）左边＝1＋2×eq \f(1＋cs 2θ,2)－cs 2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
（2）左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))
＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．
所以原等式成立．
【学习小结】
半角公式
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，
taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
【精炼反馈】
1．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )
A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5)
A [由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，
∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).]
2．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于( )
A．eq \f(7,16)B．－eq \f(7,16)
C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16)
C [由sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16).]
3．函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．
π [∵y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.]
4．求证：eq \f(1＋sin 4θ－cs 4θ,2tan 4θ)＝eq \f(1＋sin 4θ＋cs 4θ,1－tan2 θ).
[证明] 原式可变形为
1＋sin 4θ－cs 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cs 4θ)，①
①式右边＝eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(1＋2cs22θ－1＋2sin 2θcs 2θ)
＝eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(2cs22θ＋2sin 2θcs 2θ)＝2sin 2θ(cs2θ＋sin2θ)
＝2sin 2θcs2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cs4θ＝左边．
∴①式成立，即原式得证．
【第二学时】
【学习目标】
1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
【学习重难点】
三角函数的积化和差与和差化积公式
【学习过程】
一、初试身手
1．计算sin 105°cs 75°的值是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．－eq \f(1,4)D．－eq \f(1,2)
2．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))化成和差的形式为( )
A．eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))＋eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))
B．eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))＋eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))
C．eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))＋eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))
D．eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))＋eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))
3．下列等式正确的是( )
A．sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)
B．sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)
C．cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)
D．cs x－cs y＝2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)
二、合作探究
1．积化和差问题
【例1】 （1）求值：sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°.
（2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
[解] （1）sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°
＝eq \f(1,2)(sin 90°－sin 50°)－eq \f(1,2)(cs 60°－cs 40°)
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)cs 40°
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)sin 50°＝eq \f(1,4).
（2）原式＝cs 10°cs 30°cs 50°cs 70°
＝eq \f(\r(3),2)cs 10°cs 50°cs 70°
＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 60°＋cs 40°·cs 70°))
＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),4)cs 40°cs 70°
＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),8)(cs 110°＋cs 30°)
＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),8)cs 110°＋eq \f(3,16)＝eq \f(3,16).
2．和差化积问题
【例2】 已知cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值．
[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
[解] ∵cs α－cs β＝eq \f(1,2)，
∴－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①
又∵sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，
∴2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②
∵sineq \f(α－β,2)≠0，
∴由①②，得－taneq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).
∴sin(α＋β)＝eq \f(2sin\f(α＋β,2)cs\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))
＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq \f(12,13).
1．(变结论)本例中条件不变，试求cs(α＋β)的值．
[解] 因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，
所以－2sin eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①
又因为sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，
所以2cs eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②
因为sin eq \f(α－β,2)≠0，
所以由①②，得－tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).
所以cs (α＋β)＝eq \f(cs2\f(α＋β,2)－sin2\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))
＝eq \f(1－tan2\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(5,13).
2．(变条件)将本例中的条件“cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)”变为“cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)”，结果如何？
[解] 因为cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，
所以2cs eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①
又因为sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)，
所以2sin eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②
所以cs eq \f(α－β,2)≠0，所以由①②，得tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(2,3)，
所以sin (α＋β)＝eq \f(2sin \f(α＋β,2)cs \f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))＝eq \f(2tan \f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(12,13).
3．公式的综合应用
[探究问题]
（1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
（2）在△ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示] 在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin C，cs(A＋B)＝－cs C，
sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)，cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2)，
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cs(2A＋2B)＝cs 2C．
【例3】 在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C
＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2).
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
[解] 左边＝sin(B＋C)＋2sineq \f(B－C,2)·cseq \f(B＋C,2)
＝2sineq \f(B＋C,2)cseq \f(B＋C,2)＋2sineq \f(B－C,2)cseq \f(B＋C,2)
＝2cseq \f(B＋C,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))
＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2)＝右边，∴原等式成立．
【学习小结】
1．积化和差公式
cs αcs β＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
sin αsin β＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]；
sin αcs β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cs αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
2．和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝eq \f(x＋y,2)，β＝eq \f(x－y,2).这样，上面的四个式子可以写成，
sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)；
sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)；
cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)；
cs x－cs y＝－2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2).
【精炼反馈】
1．sin 75°－sin 15°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(1,2)
B [sin 75°－sin 15＝2cseq \f(75°＋15°,2)sineq \f(75°－15°,2)＝2×eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).故选B．]
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x的最大值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．1 D．eq \f(\r(2),2)
B [∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋x))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)－x))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,4).
∴函数y的取最大值为eq \f(1,4).]
3．已知sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，sin(α－β)＝eq \f(1,5)，则sin αcs β＝________.
eq \f(13,30) [sin αcs β＝eq \f(1,2)sin(α＋β)＋eq \f(1,2)sin(α－β)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(13,30).]
4．化简下列各式：
（1）eq \f(cs A＋cs120°＋B＋cs120°－B,sin B＋sin120°＋A－sin120°－A)；
（2）eq \f(sin A＋2sin 3A＋sin 5A,sin 3A＋2sin 5A＋sin 7A).
[解] （1）原式＝eq \f(cs A＋2cs 120°cs B,sin B＋2cs 120°sin A)
＝eq \f(cs A－cs B,sin B－sin A)＝eq \f(2sin \f(A＋B,2)sin \f(B－A,2),2cs \f(A＋B,2)sin \f(B－A,2))＝tan eq \f(A＋B,2).
（2）原式＝eq \f(sin A＋sin 5A＋2sin 3A,sin 3A＋sin 7A＋2sin 5A)
＝eq \f(2sin 3Acs 2A＋2sin 3A,2sin 5Acs 2A＋2sin 5A)
＝eq \f(2sin 3Acs 2A＋1,2sin 5Acs 2A＋1)＝eq \f(sin 3A,sin 5A).