2020-2021学年8.1.3 向量数量积的坐标运算学案设计

8．1.3　向量数量积的坐标运算

[课程目标] 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．

2．能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

[填一填]

1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

(1)向量内积的坐标运算

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

2．向量的长度，距离和夹角公式

(1)向量的长度

已知a＝(x1，y1)，则|a|＝.

(2)两点间的距离

如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则||＝.

(3)两向量的夹角

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则cos〈a，b〉＝.

[答一答]

1．向量数量积的运算性质怎样用坐标表示？

提示：设单位向量e＝(1,0)，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．

(1)a·e＝e·a⇔a1＝cos〈a，e〉；

(2)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；

(3)a·a＝|a|2⇔|a|＝；

(4)cos〈a，b〉＝⇔cos〈a，b〉＝；

(5)|a·b|≤|a||b|⇔|a1b1＋a2b2|≤·

.

2．垂直向量和平行向量的坐标有什么关系？

提示：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．

(1)如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0；反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥B．

(2)如果a⊥b，则向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．这是因为由a⊥b，得a1b1＋a2b2＝0(*)，当b1b2≠0时，*式可以表示为＝，即向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．

(3)对任意实数k，向量k(－b2，b1)与向量(b1，b2)垂直．

运用向量垂直的条件，可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系求参数．

3．应用两向量的夹角公式应注意什么问题？

提示：(1)运用向量内积的坐标运算求两向量的夹角，cos〈a，b〉的符号由a1b1＋a2b2确定，若a1b1＋a2b2＝0，则〈a，b〉＝，此时a⊥b；若a1b1＋a2b2>0，则〈a，b〉∈；若a1b1＋a2b2<0，则〈a，b〉∈.

(2)当cos〈a，b〉＝±1时，向量a与b共线，若a与b同向时，a1b1＋a2b2＝·；若a与b反向时，a1b1＋a2b2＝－·.

运用此公式可以求平面内任意两个非零向量的夹角．

类型一　向量数量积的坐标运算

[例1]　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：

(1)a·b；

(2)(a＋b)·(2a－b)；

(3)(a·b)·c，a·(b·c)．

[分析]　直接应用公式a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2进行求解．

[解]　(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.

(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，

2a－b＝2×(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，

∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.

(3)(a·b)·c＝17·c＝17×(2,1)＝(34,17)，

a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝a·(2×2＋5×1)＝9a＝(9,27)．

对于公式的直接应用，体现了一种程序化的思想，就是将已知逐步代入公式，直至算出结果，由(3)也进一步验证了向量的数量积的运算律中不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．

[变式训练1]　已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．

解：方法1：∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，

∴5a－b＝(－11，－10－k)，

b－3a＝(5，k＋6)，

∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，

∴(k＋10)(k＋6)＝0，

∴k＝－10或k＝－6，

∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．

方法2：∵(5a－b)(b－3a)

＝5a·b－15a2－b2＋3a·b

＝－15a2＋8a·b－b2

＝－15×(9＋4)＋8[(－3)×(－4)－2k]－(16＋k2)

＝－55.

整理得：k2＋16k＋60＝0.

解得k＝－10或k＝－6.

∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．

类型二 　两向量垂直的坐标表示

[例2]　(1)设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________；

(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．

[解析]　(1)a＋mb＝(2＋m,4＋m)，

∵b⊥(a＋mb)，

∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.

(2)解：∵＝(2,3)，＝(1，k)，

∴＝－＝(－1，k－3)．

若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；

若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，

∴k＝；

若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，

∴k＝.

故所求k的值为－或或.

[答案]　(1)－3　(2)见解析

利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，题2中未明确哪个角是直角，故要分类讨论.

[变式训练2]　在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝－1.

解析：－t＝(－3，－1)－t(2，－1)＝(－3－2t，t－1)，∵(－t)⊥，∴(－t)·＝2(－3－2t)－(t－1)＝－5t－5＝0，∴t＝－1.

类型三　　两向量夹角的坐标表示

[例3]　已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，求λ的取值范围．

[分析]　a与b夹角θ为钝角时，a·b<0，但是a·b<0时，<θ≤π，因此求解本题时，要排除θ＝π，即a与b反向的时候．

[解]　由题意cosθ＝＝，

∵90°<θ<180°，∴－1<cosθ<0，

∴－1<<0，∴

即即

∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．

[变式训练3]　(1)已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，求a与b的夹角；

(2)已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,5)，求证△ABC是锐角三角形．

解：(1)由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，得a·b＝＋1＋×(－1)＝4，|a|＝2，|b|＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.

(2)证明：由条件得＝(1,1)，＝(－4,3)，＝(3，－4)，因为·＝－4＋3＝－1<0，所以，的夹角是钝角，从而∠ABC为锐角．

同理∠BCA，∠BAC也为锐角，所以△ABC是锐角三角形．

类型四　　　向量的长度、距离问题

[例4]　设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，

(1)求a－2b的坐标和模的大小；

(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.

[解]　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，

∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，

|a－2b|＝＝.

(2)a·b＝3×(－2)＋5×1＝－6＋5＝－1，

所以c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝＝.

求向量的模的两种基本策略

(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．

(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.

[变式训练4]　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与||.

解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．

∵D在直线BC上，即与共线，

∴存在实数λ使＝λ，

即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．

∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.

又AD⊥BC，∴·＝0，

即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，

∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.

联立方程组解得

∴点D的坐标为(1,1)，||＝＝.

类型五　向量数量积的综合应用

[例5]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．

(1)求使·取得最小值时的；

(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB．

[分析]　要求，关键是求出·的表达式．为此需设出C点的坐标，然后利用点C，O，P三点共线，用P点坐标将其表示出来，再借助于二次函数求最值．

[解]　(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，设＝t(t∈R)，则＝(2t，t)．

＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t,1－t)，

所以·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.

所以当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．

(2)由(1)知＝(4,2)，所以＝(－3,5)，＝(1，－1)，

所以||＝，||＝，·＝－8.

所以cos∠ACB＝＝－.

本题利用三点共线去设点的坐标，借助于数量积的运算得到二次函数，将函数与向量运算结合在一起.

[变式训练5]　已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使m＝a＋(t2－3)b，n＝ka＋tb，且m⊥n，试求的最大值．

解：∵a＝(，－1)，b＝，

∴m＝a＋(t2－3)b＝，

n＝ka＋tb＝，

又∵m⊥n，∴m·n＝0，

即＋·＝0，

∴4k＋t(t2－3)＝0，∴k＝，

∴＝＋t＝(－t2＋4t＋3)＝－(t－2)2＋，

故当t＝2时，有最大值.

1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于(　B　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝1×(－3)＋1×3＝0.

2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　B　)

A．－4   B．－3

C．－2   D．－1

解析：m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，

∵(m＋n)⊥(m－n)，

∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3.

3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　B　)

A．   B．2

C．4   D．12

解析：因为a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋2b|＝＝2.

4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝.

解析：设b＝(x，y)，故2b－a＝(2x－3,2y－3)＝(－1,1)⇒x＝1，y＝2，即b＝(1,2)，则a·b＝(3,3)·(1,2)＝9，|a|＝3，|b|＝，故cosθ＝＝.