高中数学人教B版 (2019)必修 第三册两角和与差的余弦教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册两角和与差的余弦教学设计，共6页。教案主要包含了谈话导入，新知探究，例题讲解，课堂小结，巩固提升等内容，欢迎下载使用。
一、谈话导入
我们在初中时就知道，由此我们能否得到大家可以猜想是不是等于呢？
根据我们在前面所学的知识可知我们的猜想是错误的！
下面我们就一起来探究两角差的余弦公式
设计意图：凭直觉得出是学生经常出现的错误.引导学生利用特殊角检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差的余弦公式的兴趣.
二、新知探究
1.两角差的余弦公式的探究.
如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆分别相交于点.
问题1：你能根据三角函数的定义，写出点的坐标吗？
提示：，，.
问题2：图中弦长吗？
提示：连接,若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点分别重合,根据圆的旋转对称性可知，.
问题3：根据两点间距离公式你能得到吗？如何推导呢？
提示：可以.
根据两点间距离公式，由，
可得，
化简得.
问题4：当时，公式成立吗？
提示：成立.
结论：对任意角，角有.
问题5：你能用单位圆与向量的数量积给出证明吗？
提示：可以，过程如下：证明：如图所示，在平面直角坐标系中，设?,?的终边与单位圆的交点分别为，则，，因此，.
从而有
.
另一方面，由图可知，存在，使得
或.
因此，又因为，
所以，
故.
问题6：现在
提示：
.
问题7：若将换成，式子将变成怎样的关系式？
提示：.
问题8：你能证明吗？
提示：证明过程如下：
证明：因为?+?=?−(−?)，所以
.
以上公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角，和角的余弦之间的关系，称为和与差的余弦公式，简记为.
2.公式的记忆.
（1）右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.
（2）公式中的都是任意角.
（3）差角的余弦公式不能按分配律展开，即.
（4）要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角和与差的余弦.
3.公式的变形.
（1）逆用：.
注意：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
..
（2）角变换后使用：.
三、例题讲解
例1 利用.证明以下诱导公式.
（1）；
（2）.
证明：（1）由可知
.
.
（2）由可知
.
.
例2 求的值.
解：
.
例3 已知，其中，求，.
解：因为且，所以.
因此
.
.
.
例4 求的值.
解：由，可知
.
由学生先练习，然后教师巡堂指导，及时将学生的解答反馈，展示讲解.
四、课堂小结
本节课我们学习了两角和与差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程.在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用所学知识.
五、巩固提升
教材第89页练习A，教材第90页练习B.
板书设计
教学研讨
此案例中两角差的余弦公式的由来先是由三角函数与两点间距离公式得来的，再用向量数量积对公式进行证明，这个过程可以强化公式的推导与记忆，但是也需要花费许多时间，如果时间不允许可以将推导过程删去，只留下向量的证明即可.案例中专门设计了公式的记忆环节，可以更好地帮助学生记忆.本课选用教材上的四个例题，数量较多，没有跟踪练习.如果时间充足可以适当添加练习题.
8.2.1 两角和与差的余弦
一、谈话导入
二、新知探究
1.两角差的余弦公式的探究
结论：对任意角，有
2.公式的记忆
3.公式的变形
三、例题讲解
例1
例2
例3
例4
四、课堂小结
五、巩固提升