人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案，共5页。学案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
我们已经学习了向量数量积的概念以及平面向量线性运算的坐标运算方法，那么向量的数量积能不能进行坐标运算呢？如果可以又遵循怎样的运算法则呢？
这节课就让我们来学习——向量数量积的坐标运算。
二、新知探究
1．平面向量数量积的坐标运算
【例1】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（ ）。
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(3,2)D．－eq \f(3,2)
（2）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝________，a·(a－b)＝________。
（3）已知a＝（2，－1），b＝（3，2），若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________。
思路探究：根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程（组）来进行求解。
答案：（1）D；（2）1；4；（3）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(4,7)))。[（1）因为a＝（1，2），b＝（2，x），所以a·b＝（1，2）·（2，x）＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－eq \f(3,2)。
（2）a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，
a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4．
（3）设c＝（x，y），因为a·c＝2，b·c＝5，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝2，,3x＋2y＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,7)，,y＝\f(4,7)，))所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(4,7)))。]
[教师小结]
（1）进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；（a＋b）（a－b）＝|a|2－|b|2；
（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．
（2）通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系。
（3）向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充。
2．向量的模的问题
【例2】（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a ∥ b，则|2a－b|等于（ ）。
A．4B．5
C．3eq \r(5)D．4eq \r(5)
（2）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，2），则|a＋b|＝________，|a－b|＝________。
[思路探究]（1）两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0。
（2）已知a＝（x，y），则|a|＝eq \r(x2＋y2)。
【答案】（1）D；（2）2eq \r(5)；4。
【解析】（1）由a ∥ b，得y＋4＝0，
y＝－4，b＝（－2，－4），
∴2a－b＝（4，8），∴|2a－b|＝4eq \r(5)。故选D．
（2）由题意知，a＋b＝（－2，4），a－b＝（4，0），
因此|a＋b|＝2eq \r(5)，|a－b|＝4．
[教师小结]向量模的问题的解题策略：
（1）字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算。
（2）坐标表示下的运算，若a＝（x，y），则|a|＝eq \r(x2＋y2)。
3．向量的夹角与垂直问题
[探究问题]
（1）设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，那么cs θ如何用坐标表示？
【提示】cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))。
（2）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【提示】∵a＝（1，－1），b＝（λ，1），
∴|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(1＋λ2)，a·b＝λ－1．
∵a，b的夹角α为钝角，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1<0，,\r(2)\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0，))
∴λ<1且λ≠－1．
∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）。
【例3】（1）已知向量a＝（2，1），b＝（1，k），且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（ ）。
A．（－2，＋∞）B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．（－∞，－2）D．（－2，2）
（2）已知a＝（3，4），b＝（2，－1），且（a＋mb）⊥（a－b），则实数m为何值？
思路探究：（1）可利用a，b夹角为锐角⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b>0,a≠λb))求解。
（2）可利用两非零向量a ⊥ b⇔a·b＝0来求m。
【答案】（1）B。
【解析】当a与b共线时，2k－1＝0，k＝eq \f(1,2)，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向。由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq \f(1,2)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，选B。
（2）解：a＋m·b＝（3＋2m，4－m），a－b＝（1，5），因为（a＋m·b）⊥（a－b），所以（a＋m·b）·（a－b）＝0，
即（3＋2m）×1＋（4－m）×5＝0，所以m＝eq \f(23,3)。
[教师小结]
（一）利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：
（1）求向量的数量积。利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积。
（2）求模。利用|a|＝eq \r(x2＋y2)计算两向量的模。
（3）求夹角余弦值。由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))求夹角余弦值。
（4）求角。由向量夹角的范围及cs θ求θ的值。
（二）涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a ⊥ b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决。
三、课堂总结
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
（1）向量内积的坐标运算：
已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2．
（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a ⊥ b⇔a1b1＋a2b2＝0。
2．向量的长度、距离和夹角公式
（1）向量的长度：
已知a＝（a1，a2），则|a|＝。
（2）两点间的距离：
如果A（x1，y1），B（x2，y2），则
|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)。
（3）两向量的夹角：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则cs〈a，b〉＝。
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝（2，3），b＝（3，2），则|a－b|＝（ ）
A．eq \r(2)B．2
C．5eq \r(2)D．50
【答案】A。
【解析】∵a－b＝（2，3）－（3，2）＝（－1，1），
∴|a－b|＝eq \r(－12＋12)＝eq \r(2)，故选A。
2．若a＝（3，－1），b＝（x，－2），且〈a，b〉＝eq \f(π,4)，则x等于（ ）。
A．1B．－1
C．4D．－4
【答案】A
【解析】∵a·b＝|a|·|b|·cs eq \f(π,4)，
∴3x＋2＝eq \r(10)×eq \r(x2＋4)×eq \f(\r(2),2)，
解得x＝1或x＝－4．
又∵3x＋2>0，∴x>－eq \f(2,3)，故x＝1．
3．设a＝（x，x＋1），b＝（1，2）且a ⊥ b，则x＝________。
【答案】－eq \f(2,3)
【解析】∵a ⊥ b，
∴a·b＝0。
即x＋2（x＋1）＝0，解，得x＝－eq \f(2,3)．
4．已知向量a＝（3，－1），b＝（1，－2），
求：（1）a·b；（2）（a＋b）2；（3）（a＋b）·（a－b）。
【答案】（1）因为a＝（3，－1），b＝（1，－2），
所以a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝3＋2＝5．
（2）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
所以（a＋b）2＝|a＋b|2＝42＋（－3）2＝25．
（3）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
a－b＝（3，－1）－（1，－2）＝（2，1），
（a＋b）·（a－b）＝（4，－3）·（2，1）＝8－3＝5．教学目标
核心素养
1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。（重点）
2．能运用数量积表示两个向量的夹角。计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系。（难点）
通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养。