高中数学人教B版 (2019)必修 第三册两角和与差的余弦教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册两角和与差的余弦教学设计及反思，共6页。教案主要包含了创设情境，导入新课，探索公式，建构新知，认识公式，深化理解，例题讲解，巩固应用，变式演练，深化认识，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
引例 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得两点间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角约为45°.求这座电视发射塔的高度.
设计意图：用实际问题作为情境，引入课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性.同时提出本章的研究课题.
教师指出：（1）实际问题中存在研究像这样包含两个角的三角函数的需要；
（2）实际问题中存在研究像与这样包含两角和的三角函数与单角的三角函数的关系的需要.
二、探索公式，建构新知
1.问题：如何用角的正弦、余弦值来表示呢？
师生活动：教师给出（简记），并给出提示让学生进行证明.
引导探究：如图所示.
教师提问引导学生思考：
①设角的终边与单位圆的交点分别为，则的坐标分别是什么？
②向量.的坐标分别是什么?
= 3 \* GB3 ③.的数量积用坐标运算的表示式是怎样的？
④的数量积用定义如何计算？
⑤,,.与角的关系如何？与角终边位置有关吗？
设计意图：教师通过提问引发学生思考，并让学生分组活动，相互讨论，合作学习，运用从特殊到一般、数形结合等数学思想将问题层层深入，最后达到推导的完备.从而让学生体验探究的过程，锻炼学生的思维品质.
2.公式的证明.
证明：在平面直角坐标系中，设的终边与单位圆的交点分别为，
则，，因此，.
从而有.
另一方面，由图可知，存在，使得
或，因此，又因为，所以.
故.
三、认识公式，深化理解
例1 利用证明以下诱导公式.
（1）；
（2）.
证明（1）由可知
.
（2）由可知
.
借助以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式，即
.
思考：如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式呢？
引导学生用代换中的，便可得到：
.
提问：（1）细心观察这个公式的结构，它有哪些特征？
（2）公式中的角的取值范围如何？
学生观察并思考得出：①公式中两边的符号正好相反（一负一正）；②公式右边是同名三角函数乘积的差；③公式中是任意的；④公式的逆用也要注意.
师：使用条件：都是任意角.
简记符号：,..记忆口诀：“余余正正，符号相反”.
设计意图：让学生认识公式，掌握公式的结构和特点，深化理解公式实质，为灵活运用公式奠定基础.
四、例题讲解，巩固应用
例2 求的值.
解：
.
例3 已知，其中,，求.
解：因为且，所以
..
因此
，
例4 求的值
解：由可知
.
由学生先练习，然后教师巡堂了解，及时用投影将学生的解答反馈，展示讲解.
设计意图：例2是让学生熟悉公式，例3显然也是运用公式求值的练习，但使用公式前必须求相应角的正弦值.强调运用同角三角函数平方关系求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号，从而养成良好的学习习惯.例4让学生学会公式的逆用，通过基础题目的练习，加强学生对公式的理解和应用.
五、变式演练，深化认识
练习1：化简求值：
（1）；
（2）；
（3）.
练习2：已知，是第二象限角，求.
练习2：有一定难度，可根据学生的接受情况，在具体教学中可根据不同程度的教学对象及课堂学生的反应情况进行删减与调整.
设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使学生掌握公式的正用、逆用、变角使用，提高学生的数学思维能力，体现思维的创新意识.
六、课堂小结，布置作业
1.课堂小结.
（1）公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明.
（2）在运用两角和与差的余弦公式时应注意：
①根据角的范围，确定两角正弦、余弦值的正、负.②适当逆用公式，可达到化简计算的目的.③灵活选取两角的形式，活用公式.
设计意图：通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.
2.布置作业
教材第89页练习A第1~4题，第90页练习B第4题.
板书设计
教学研讨
解决利用两角和与差的余弦公式求值、求角等问题时，应注意观察、分析题设和公式的结构特点，从整体上把握公式，灵活地运用公式（包括对公式的正用、逆用、变用）.在解题教学过程中，要引导学生适当地运用转化、代换的方法配凑出使用公式的形式，并注意抓住角的特点，再利用公式解决问题.
8.2.1 两角和与差的余弦
引例
两角差的余弦公式：
证明
例1
两角和的余弦公式
例2
例3
例4
练习
小结