高中数学人教B版 (2019)必修 第二册向量的概念教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册向量的概念教案设计，共7页。教案主要包含了情境导入，探究新知，归纳整理，随堂练习，小结与作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
蜘蛛织了一张边长为20cm的正六边形（）的网，蜘蛛位于正六边形的中心，蚊子恰好被网在了顶点处.
问题1：蜘蛛按怎样的路线走，才能吃到蚊子？
问题2：蜘蛛吃到蚊子至少需要爬行多少厘米？
问题3：是不是蜘蛛只要爬行20cm就一定能吃到蚊子？
设计意图：一方面为学生得出向量模型（位移、速度）提供依据，同时也适合学生的“最近发展区”，启发学生思考数学与生活的联系.
二、探究新知
问题一 情境中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？
1.自学相关内容，并思考下列问题：
（1）什么是向量？
（2）如何表示向量？要注意哪些问题？
（3）有没有特殊的向量？
（4）向量之间的关系有哪几种？
2.相关概念
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量.
师：你还能举出一些向量的例子吗？
师：在这一概念中你认为关键词有哪些？
板书 向量的二要素：大小和方向.
师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么来表示它的呢？
（2）向量的表示方法.
①几何表示法：向量常用有向线段来表示.
师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向的呢？
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.
例如：以A为始点B为终点的向量记为，大小记为.
板书 有向线段的三要素：始点、终点、长度.
②字母表示法：可表示为或.
注意：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如等来表示向量，在书写时，用带箭头的小写字母如等来表示向量.
练习 温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？
3.思考：（1）向量和是同一个向量吗？为什么？
（2）我们用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？
设计意图：让学生体验向量表示方法的探究过程，明确向量的几何表示，在展示中可以锻炼学生的数学语言表达能力，提升自信.
问题二 数量中有“0”，“1”，…，比如0度，向量中有没有与之类似的量，如果有，又怎样定义这些特殊的量呢？
设计意图：让学生能从向量的本质属性要素入手，发现向量中的特殊元素.
1.相关概念.
（1）向量的模
如果，那么的长度表示向量的大小，称为的长（或模），记作.
（2）特殊向量.
①零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记为或0.
零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的.模不为0的向量通常称为非零向量.
②单位向量：模等于1的向量称为单位向量，如果是单位向量，则；反之也成立.因此，是单位向量的充要条件是.
2.思考：单位向量是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有没有方向特殊的向量呢？
问题三 平面中有两直线平行，数量中有两数相等，你怎么考虑向量中的类似问题？
1.相关概念.
（1）相等向量：一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量和相等，记作.
（2）平行向量：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.两个向量与平行，记作.两个向量平行也称为两个向量共线.
规定：0与任意向量平行，即.
2.思考：（1）你能画出一组平行向量吗？
（2）如果我们把一组平行向量的始点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
生：是平行向量，各向量的终点都在同一条直线上.
思考与讨论：
（1）在四边形中，如果，那么四边形是平行四边形吗？如果四边形是平行四边形，那么吗？
提示：是；相等.
（2）变式：如果四边形是平行四边形，那么吗？
提示：不相等（方向不同）.
应用举例：
例1 判断下列说法是否正确：
（1）与任何向量都平行的向量是零向量；
（2）若且，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则.
答案 （1）正确；（2）错误（点拨：方向可能相反）；（3）正确；（4）错误（点拨：可能为零向量）；（5）错误（向量不能比较大小）.
例2 如图，是正六边形的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量.
解 与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量有.
三、归纳整理
小结：你能否画个图，把今天学习的内容梳理一下？
设计意图：本节课概念比较多，通过图示梳理比较清晰，而且能够帮助学生明确概念课学习的基本思路.
四、随堂练习
如图，分别是各边的中点，在以为端点的有向线段表示的向量中，请分别写出：
（1）与向量相等的向量有_____个，分别是_____；
（2）与向量的模一定相等的向量有_____个，分别是_____；
（3）与向量平行的向量有_____个，分别是_____.
答案 （1）2
（2）5
（3）7
设计意图：借助一个图形研究向量间的特殊关系，能够让学生从线段间的关系自然过渡到向量间的关系的研究上来，使得关系的探究过程更顺畅，同时可以锻炼学生的直观想象能力.
五、小结与作业
1.教师补充：今天我们学习了向量的概念及其表示方法，发现了两个特殊的向量，以及向量之间的一些特殊关系.同学们要认真体会其中的基本思路，即：从同类具体事例中抽象出共同本质特征一下定义一符号表示一认识特殊对象一考察某些特殊关系.
另外，我们用类比数的方法初步认识了向量.我们知道，引进一种新的数，就要研究关于它的运算，及相应的运算律.今天我们引进了一个新的量—向量，下面我们该研究它的哪些问题呢？如何研究？
设计意图：通过类比“数及其运算”获得研究内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路，为学习本章后面的知识做好铺垫.
2.课后作业.
（1）教材第136页练习A第1，2，3题.
（2）如图，在以1×3方格中的格点为始点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种平行的关系？
（3）在实际生活中还有许多离不开方向和大小的实例，请大家在课后进行收集、讨论.
设计意图：通过完成作业，巩固本节所学新知.
板书设计
教学研讨
本案例学生的活动较多，教师适当点拨，符合新课标“学生为主体，教师为主导”的教学原则.同时对于重点问题，教师引导学生思考回答，可以培养学生严谨的思维.例题的教学可以在学生自学的基础上让学生自己尝试解答，然后教师給出规范的解答，如果同时配备几个同类题目进行训练，应该会达到更好的教学效果.6.1.1 向量的概念
问题一
（1）向量的概念
向量的二要素：大小和方向
（2）向量的表示方法
①几何表示法
有向线段的三要素：始点、终点、长度.
②字母表示法
问题二
（1）向量的模
（2）特殊向量
①零向量
②单位向量
问题三
关系
例1
例2
小结