高中数学人教B版 (2019)必修 第二册统计与概率的应用教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册统计与概率的应用教案，共8页。教案主要包含了教学重点，教学难点，变式练习，解题方法等内容，欢迎下载使用。
本小节是人教B版第五章《统计和概率》这一章节的最后一节内容，它对必修部分的统计和概率知识起着统领的作用，通过前面的学习，学生已经有了一定的统计和概率基础，着力点在应用上。在学生已经有了“抽样方法”、“数据的数字特征”，“数字的直观表示”，“用样本估计总体”学习经验的基础上，引导学生学会分析统计结果，根据结果作出判断和预测，从而培养学生从数据中提取信息并进行简单推断的能力，发展数据统计分析观念。在学生已经有了“样本空间和事件”，“事件的关系和运算”，“古典概型”，“频率和概率”，“事件的独立性“等学习经验的基础上，引导学生感受利用概率思考问题，建立健全的概率模型思想。概率研究是的随机现象的规律性，统计则研究如何合理收集、整理、分析数据，并从数据中获取信息，它们都可以为人们的决策提供依据和建议.
【教学重点】
应用统计和概率解决实际问题
【教学难点】
把实际问题转化为统计或概率问题，用统计和概率的思想和方法分析问题，解决问题
知识梳理
1.抽样方法
（1）简单随机抽样：抽签法、随机数表法 （2）分层抽样
2.数据的数字特征
（1）极差、方差、标准差 （2）平均数 （3）中位数和百分位数
3.数据的直观表示
（1）柱形图 （2）扇形图 （3）折线图 （4）茎叶图
（4）直方图：频数分布直方图、频率分布直方图、频率分布折线图
4.用样本估计总体
（1）总体数字特征 （2）总体分布
5.样本空间与事件
（1）随机事件、不可能事件、必然事件 （2）样本点、样本空间 （3）
6.事件的关系与运算
（1）事件的包含关系，事件的和、积 （2）互斥事件
（3）对立事件
7.确定事件概率的方法
（1）古典概型 （2）频率估计概率
8. 事件的独立性：
问题1：随机抽样、百分位数的应用
分析：(1)为了确定临界点，最理想的是首先获取该市所有居民的用电量，然后将用电量按照从小到大的顺序排列，最后求出这组数的75%分位数、95%分位数即可.
(2)一般情况下，要获取所有的居民用电量并不容易，可以采用随机抽样和用样本估计总体的方法来解决.
解：假设抽取了200户居民的用电量，将所得的数据从小到大排列.
因为，所以75%分位数可取为第150个数与第151个数的算数平均数即可.
假设第150个数和第151个数均为170，则75%分位数为；
又因为，所以95%分位数可取为第190个数与第191个数的算数平均数即可.
假设第150个数和第151个数分别为289，304，则95%分位数为.
根据计算结果和用样本估计总体的思想可知，用电量数值在内为第一阶梯，在内为第二阶梯，在为第三阶梯.
【变式练习】
2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
解:（1）由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
（2）①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.
所以，事件M发生的概率P（M）＝ .
问题2.频率估计概率的应用
分析：思考一个类似的问题：已知一个盒子里装有若干个小玻璃球，在不容许将玻璃球一一拿出数的情况下，怎样才能估计出玻璃球的个数？
解：再往盒子里放m个带有标记的玻璃球，充分搅拌盒子里的玻璃球之后，从盒子里取出n个玻璃球，数出其中带有标记的球的个数，记为k，由此可知，从搅拌后的盒子中随机取出一个球，得到的是有标记的球的概率可以估计为.
另外，如果设盒子中原有的玻璃球的个数为x，则从搅拌后的盒子中随机取出一个球，得到的是有标记的球的概率为.
由
上述情境中的问题，也可以用类似的办法解决.
【变式练习】
为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．
解:设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝eq \f(1 200,x).第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，故eq \f(1 200,x)≈eq \f(1,10)，解得x≈12 000.
所以，保护区内约有12 000只该种动物．
【解题方法】
利用频率与概率的关系求未知量的步骤
(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为eq \f(m,n).
(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为eq \f(m1,n1).
(3)用频率近似等于概率，建立等式eq \f(m,n)≈eq \f(m1,n1).
(4)求得n≈eq \f(m·n1,m1).
问题3：统计和概率综合应用
分析：可设计如下问卷，帮助解决此类问题
如果回收的200份问卷里，有62份答“是”，那么有多少人回答了问题二？其中又多少人答“是”呢？
解：由于抛硬币得到证明的概率为，因此可估计出回答问题一的人数为
又因为身份证号码最后一个数是奇数与是偶数的概率都可认为是，因此回答问题一的人中，答“是”的人中可估计为.
由此可得，大约又100人回答了问题二，其中约有62-50=12人答“是”，也就是说，捡到东西后据为己有的行为的比例为12%.
例1.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片打乱顺序后，由乙随机抽出一张卡片放在桌上，然后卡片朝下的面的颜色觉得胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.
乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色是绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的买诺要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”
分析这个游戏是否公平.
解：（方法一）把卡片六个面的颜色记为：
其中，G表示绿色，B表示蓝色；是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏的所有结果可以用下图表示：
不难看出，样本空间共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为 ，因此这个游戏不公平.
（方法二）把三张卡片分别记为：，其中G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.
考虑乙抽取到的卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢得概率为 ，因此这个游戏不公平.
【变式练习】
深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑．你认为警察的判断对红色出租车公平吗？
解：不公平．设该城市有出租车1 000辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为eq \f(120,290)≈0.41，而它是蓝色的概率为eq \f(170,290)≈0.59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的．
例2.某厂家声称子集得产品合格率为95%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的3件产品进行检验，发现3件都不合格，厂家声称的合格率可信吗？
解：如果产品的合格率为95%，则随机抽取一件产品，不合格的概率应为1-95%=5%.
此时，随机抽取3件，都不合格的概率为：

也就是说，如果厂家所声称的合格率可信，那么就发生了一件可能性只有0.0125%的事！但是一件概率只有0.0125%的事情是不大可能发生的，因此有理由相信，厂家所声称的合格率是不可信的.
例3.人的卷舌与平舌（指的是能否左右卷起来）同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是卷舌的（这就是说，“卷舌”的充要条件是“基因对是DD，dD，Dd”）,同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B（显性基因）和b(隐性基因).
有一对夫妻，两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率.（有关生物学知识表明，控制上述两种不同形状的基因遗传时互不干扰）
解：（方法一）根据题意，这对夫妻孩子的决定舌头形态和眼皮单双的基因的所有可能如图所示：
不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示卷舌且单眼皮的是：
因此，所求概率为.
（方法二）先考虑孩子是卷舌的概率
所有的情况如图所示，由图可以看出，孩子是卷舌的概率为
同理，孩子是双眼皮的概率为，因此是单眼皮的概率为
由于不同形状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为卷舌与是否为单眼皮相互独立，因此卷舌且单眼皮的概率为：
【变式练习】
在一场对抗赛中，A，B两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A每局获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则A在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是 .
解：第1局A失利为事实，经过5局A获胜，必须是最后一局获胜，且第2，3，4局A胜2局，B胜1局。这四局是三个互斥事件的和，每个互斥事件都是四个独立事件同时发生，记为：负胜胜胜+胜负胜胜+胜胜负胜，因为A每局胜的概率均为，所以负的概率为，其概率为
×××+×××+×××＝.
所以比赛最终A获得冠军的概率是。
小结：
1.概率的应用问题是与统计紧密相联系的，因此要熟悉统计中的各种图表的应用，才能正确的解答概率应用问题。
2.概率的实际应用问题，经常把互斥事件的概率与相互独立事件的概率综合起来使用，所以要熟悉概率的加法公式和乘法公式的适用条件。
3.实际问题中的概率问题，要注意首先找出事件的和与事件的积，才能正确使用互斥事件的概率加法公式，与独立事件的概率乘法公式。
考点
教学目标
核心素养
统计和概率的应用
学会应用统计和概率解决实际问题、把实际问题转化为统计或概率问题，用统计和概率的思想和方法分析问题，解决问题
数学建模、数据分析、数学运算
证人所说的颜色(正确率80%)
真实颜色
蓝色
红色
合计
蓝色(85%)
680
170
850
红色(15%)
30
120
150
合计
710
290
1 000