数学必修 第二册向量的概念学案设计

这是一份数学必修 第二册向量的概念学案设计，共8页。学案主要包含了学习目标，诊断分析，课前预习，课中探究，课堂评价等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义;
2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,会用向量表示点的位置;
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.

◆ 知识点一 位移与向量
1.位移
位移是表示物体位置变化的物理量,位移被“ ”和“ ”唯一确定,其中“距离”也称为位移的 .
2.平面向量
(1)向量的概念:一般地,既有 又有 的量称为向量.
(2)向量的模:向量的 也称为向量的模(或长度).
(3)向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的 ,有向线段箭头所指的方向表示 .而且,通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为 ,向量AB的模用 表示.
②字母表示:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如 等来表示向量.
(4)零向量与单位向量
始点和 相同的向量称为零向量,记作 ,零向量的本质是 ,因此可以认为零向量的方向是不确定的;模等于 的向量称为单位向量.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)温度含零上和零下温度,所以温度是向量.( )
(2)向量的模是一个正实数.( )
(3)若|a|>|b|,则a>b.( )
(4)有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示.( )
◆ 知识点二 向量的相等与平行
1.向量相等
一般地,把 相等、 相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记为a=b.
2.向量平行
定义:如果两个非零向量的方向 或者 ,则称这两个向量平行.
表示:两个向量a和b平行,记作 .两个向量平行也称为两个向量共线.
规定:零向量与任意向量 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.( )
2.若向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c是否共线?
◆ 探究点一 向量的基本概念
例1 (1)下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但方向相同的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
(2)[2023·陕西西安高一期中] 下列说法中正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a∥b
B.与非零向量a共线的单位向量有且仅有一个
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D.若|a|>|b|,则a>b
[素养小结]
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手:
①是否有大小;②是否有方向.
(2)零向量和单位向量:
①零向量的模为0,方向是任意的;
②所有单位向量的模均为1,但方向不一定相同.
◆ 探究点二 向量的几何表示
例2 图中1个单位长度表示1 km,某人从点A出发,向西走了2 km后到达点B,然后改变方向,沿北偏西一定角度的方向走了23 km到达点C,再向东走2 km后到达点D,且点D在点B的正北方向.
(1)作出AB,BC,CD;
(2)求DA的模.
变式 在如图所示的方格纸(每个小方格的边长为1)中,已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b,使|b|=|a|,且b与a的方向相同;
(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.
[素养小结]
向量用有向线段表示,要注意有向线段的起点、终点和方向.
◆ 探究点三 相等向量与共线向量
例3 [2024·江苏南京师大附中高一期末] 设点O是正三角形ABC的中心,则向量AO,OB,OC是( )
A.共始点的向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.相等向量
例4 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与OA的模相等的其他向量有多少个?
(2)是否存在与OA的模相等、方向相反的向量?若存在,有几个?
(3)与OA共线的其他向量有几个?
变式 (多选题)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列说法正确的是( )
A.AB=OCB.AB∥DE
C.|AD|=|BE|D.|AC|=|BE|
[素养小结]
解决此类问题时,必须要把握好零向量、相等向量、平行向量的概念及相互关系.
1.下列说法中正确的是( )
A.两个单位向量一定相等
B.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
C.共线的单位向量必相等
D.若a与b不共线,则a与b都是非零向量
2.设e是单位向量,AB=e,CD=-e,|AD|=1,则四边形ABCD是( )
A.梯形B.菱形
C.矩形D.正方形
3.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AD,BC的中点,则下列结论中错误的是( )
A.AB与EF是共线向量
B.DC与EF是共线向量
C.AB与CD是共线向量
D.AE与BF是共线向量
4.[2023·山东菏泽东明一中高一月考] 若一架飞机向西飞行150 km,再向南飞行350 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则( )
A.s>|a|
B.s=|a|
C.s|a|.故选A.
5.4 [解析] 设线段AC的长度为2,则长度为1的向量有AB,BC,BA,CB,其中AB=BC,BA=CB,所以长度为1的互不相等的非零向量有2个;长度为2的向量有AC,CA,所以长度为2的互不相等的非零向量有2个.故最多可以写出4个互不相等的非零向量.