高中数学人教B版 (2019)必修 第一册方程组的解集教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册方程组的解集教学设计及反思，共4页。教案主要包含了教学目标，核心素养，教学重点，教学难点，尝试与发现，情境与问题，拓展阅读，典型例题等内容，欢迎下载使用。
2.1.3 方程组的解集教学设计
本节内容为方程组的解集，用信息技术求方程和方程组的解集。
【教学目标】
1、掌握解方程组的方法.
2、判断方程组解集是有限集还是无限集.
3、解读古代数学语境，能正确列出方程组.
【核心素养】
数学抽象：学会消元法解方程组的思想方法。
数学建模：在实际情景中分析问题，构建方程组模型，计算结果，检验结果实际性。
数学运算: 理解集合运算对象，在方程组中有的放矢选择运算法则。
数据分析: 根据方程组未知数的个数和方程的个数，判断方程组的解集为有限解还是无限解。
【教学重点】
1、用消元法解方程组.
2、判断方程组是有限集还是无限集.
3、在古代语境中能正确列出方程组.
【教学难点】
在应用题中正确解读语境，能够列出题目要求的方程组.
回顾初中所学的方程组解法。
一、方程组的解集
将x-y=1看成含有两个未知数x，y的方程：
x=3
（1）判断（x，y）=（3，2）（指的是 y=2下同）是否是这个方程的解；
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集。
【尝试与发现】
因为3-2=1，所以（x，y）=（3，2）是方程x-y=1的解，而且方程x-y=1的解集是无限集。
我们知道，
x-y=1, ①
x+y=3, ②
是一个方程组，而且通过①+②可以消去y，得到x=2；②一①可以消去x，得到y=1，从而得出这个方程组的解为（x，y）=（2，1）.
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。
因此，方程组 x-y=1,
x+y=3, 的解集是
{（x，y）| x-y=1 } ∩ {（x，y）| x+y=3 }={（2，1）}.
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法。
【情境与问题】
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗。问上、中、下禾实一乘各几何。
请列方程组求解这个问题.
设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组
3x+2y+z=39，
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26.
由此可解得这个方程组的解集
【拓展阅读】
《九章算术》中的代数成就简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就，代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题。《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下。
3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37
2 3 1 34 0 5 1 24 0 5 1 24 0 4 0 17
1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11
其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似。
不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠，
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则。
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的数值求解步骤。
而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开。这是意识到了无理数的存在。你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
【尝试与发现】
【尝试与发现】
x-y+z=1
设方程组 x+y-3z=5 的解集为A.判断（x，y，x）=（3，2，0）和（x，y，z）=（4，4，1）是否是集合A中的元素；判断A是一个有限集还是一个无限集.
（x，y，z）=（3，2，0）和（x，y，x）=（4，4，1）均为上述方程组的解，而且，如果我们将z看成已知数，就可以解得
x=x+3，y=2x+2，
这样一来，方程组的解集可以写成
A={（x，y，z）|x=x+3，y=2x+2，z∈R）.
不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集，这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
【典型例题】
例1 求方程组的解集.
解 将②代入①，整理得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.
利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1.
所以原方程组的解集为
{（1，2），（-2，-1）}.
例2 求方程组
x2+y2=2, ①
(x-1)2+(y-2)2=1 ②
的解集.
【尝试与发现】
观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案.
解 由①-②，整理得
x+2y-3=0.③
由③解得x=3-2y.代人①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得
y=1或y=
利用③可知，y=1时，x=1；y= 时，x=
因此，原方程组的解集为{（1，1），（ ， ）}
二、用信息技术求方程和方程组的解集
利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集。
在动态数学软件GeGebra①中的“运算区”用slve命令，就可以得到方程和方程组的解集信息。
如下图所示是求解示例，其中第2个示例中的“{}”表示解集为空集，即不存在实数解；第5个示例表示将x，y看成未知数，求解方程组
x-y+z=1，
x+y-3z=5.
其他结果请读者自行尝试与解读.
①GeGebra是一个开源软件，可以免费下载、使用，软件的用法以及相关课件的下载，请参考本书的教师教学用书或本套教材的官方配套资源网站。
本节内容引用了“消元法”数学思想，重点是如何在特点的语境中列出方程组，需要学生有一定的阅理解能力。