苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义第11讲平方根与立方根(5种题型)(学生版+解析)

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1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
3. 了解立方根的含义；
4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
一．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
二．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
三．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
四．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
五．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
一．平方根（共6小题）
1．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
2．（2023•沛县三模）64的平方根是 ．
3．（2022秋•高邮市期末）若﹣m是a的平方根，则（ ）
A．m＝a2B．m2＝aC．m＝﹣a2D．﹣m2＝a
4．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．
5．（2022秋•苏州期末）求方程中x的值：（x﹣2）2＝3．
6．（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：
（1）2x2﹣8＝0． （2）4（2x﹣1）2＝9．
二．算术平方根（共10小题）
7．（2022秋•南京期末）4的平方根是（ ）
A．B．±C．2D．±2
8．（2018秋•秦淮区期末）3的算术平方根是（ ）
A．±B．C．﹣D．9
9．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是 ；9的算术平方根是 ．
10．（2022秋•太仓市期末）面积为2cm2的正方形的边长为 cm．
11．（2022秋•秦淮区月考）实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．D．±2
12．（2023•淮阴区模拟）计算：＝ ．
13．（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根．
14．（2022秋•高新区校级期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的平方根．
15．（2022秋•建湖县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为768cm2的桌面．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为4：3，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
16．（2022秋•海陵区校级月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
三．非负数的性质：算术平方根（共12小题）
17．（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．0
18．（2021秋•仪征市期末）已知实数x，y满足（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，则以x，y，z的值为边长的三角形的周长是（ ）
A．6B．12
C．14D．以上答案均不对
19．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为 ．
20．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝ ．
21．（2022秋•江都区期末）已知a，b都是实数，若，则a﹣b＝ ．
22．（2022秋•江都区月考）如果，那么x+2y的算术平方根为 ．
23．（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足，则代数式（x+y）2022的值为 ．
24．（2022秋•盐都区期中）已知x，y满足，则x+y＝ ．
25．（2022秋•苏州期中）已知，则xy＝ ．
26．（2022秋•工业园区校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
27．（2021秋•无锡期末）已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
28．（2022春•绥棱县校级期中）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．
四．立方根（共5小题）
29．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．±1D．0
30．（2022•射阳县校级二模）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2B．C．D．2
31．（2023•淮阴区三模）8的立方根是 ．
32．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求10a+7的立方根．
33．（2022秋•宿豫区期末）求下列各式中的x：
（1）4x2＝25； （2）（x+1）3＝﹣8．
五．计算器—数的开方（共4小题）
34．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝
＝
＝
＝
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：＝ ，并通过计算器验证你的猜想．
35．（2016秋•灌云县月考）按要求填空：
（1）填表：
（2）根据你发现规律填空：
已知：＝2.638，则＝ ，＝ ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ ．
36．（2019春•济宁期中）用计算器探索．已知按一定规律排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选择出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数？
37．（2017秋•靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000．
一、单选题
1．（2022秋·江苏淮安·八年级校考期末）的平方根为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若是a的平方根，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020春·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考期中）化简的结果是( )
A．B．C．3D．9
4．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）36的算术平方根是（ ）
A．6B．C．18D．
5．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
6．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．不能判断
二、填空题
7．（2022秋·江苏·八年级期末）在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为______厘米（取3）．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一个正数的两个平方根为和，则这个数为______．
9．（2020秋·江苏南京·八年级统考期末）________
10．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）计算______．
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如果一个正数x的平方根为和，那么这个正数x的值是______．
12．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）若，则xy的平方根______．
13．（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）若，均为实数，且，则=________.
14．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）已知a、b、c满足，则的平方根为____________．
三、解答题
15．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
16．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）求式中x的值：
(1)； (2)．
17．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知m是144的平方根，n是125的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求的平方根．
18．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．
(1)求正方形工料的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
19．（2022秋·江苏·八年级期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
20．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值．
一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）若一个数的立方为，则这个数是（ ）
A．B．3C．D．
2．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）若，则的值为（ ）
A．B．1C．D．0
3．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）面积为2的正方形的边长在（ ）
A．0和之间B．和1之间C．1和之间D．和2之间
4．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）下列实数，，，，，中无理数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则的相反数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）下列各式中计算正确的是：（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）16的算术平方根是（ ）
A．±8B．±4C．4D．－4
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知x，y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．4B．6C．9D．16
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=( ).
A．2b-2cB．2aC．2D．2a-2c
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
二、填空题
11．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）计算：______．
12．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）实数的算术平方根是_______________．
13．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：＝_______
14．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）已知实数、满足，则的值为______________．
15．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，矩形中，两个小正方形的面积分别为、，若，，则图中阴影部分面积为__________．
16．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若，则的值为_____
17．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）若和是一个正数x的两个平方根，则________．
18．（2023春·江苏·八年级开学考试）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．
19．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）若，都为实数，且，则______．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
三、解答题
21．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）求下列各式中的x．
(1) (2)
(3)
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
24．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为－3．
(1)求a、b的值：
(2)求的平方根．
25．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）已知：为实数，且，化简：．
26．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）概念生成
我们把两个具有公共底边的等腰三角形称为同底等腰三角形，公共的这条底边称为针准线，称这两个等腰三角形的顶角顶点关于针准线互为穿针点，互为穿针点的两个顶角顶点的连线称为穿针线，若再满足两个顶角的和为，则称这两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点．
例：如图1，四边形中，，，则与称为同底等腰三角形，公共底边称为针准线，顶角顶点与点关于互为穿针点；当时，则称点与点关于互为补角穿针点．
概念理解
（1）下列说法正确的有______．
①同底等腰三角形的穿针线垂直平分针准线．
②如果同底等腰三角形的两个顶角顶点关于针准线互为补角穿针点，则其中一个等腰三角形的腰必垂直于另一个等腰三角形中具有公共端点的腰．
③在图1中，与点C关于互为补角穿针点的点有无数个．
（2）如图2，，，，则点A与点______关于互为穿针点．
知识应用
（3）在长方形中，，．如图3，点在边上，点在边上，如果点和点关于针准线互为补角穿针点，求针准线的长．
思维探究
（4）如图4，中，，，点D是平面内一点，如果点C与点D关于针准线互为补角穿针点，求的长．
a
0.0004
0.04
4
400




n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…