苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题05二次根式(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题05二次根式(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题05二次根式教师版docx、苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题05二次根式学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共40页， 欢迎下载使用。
【考点1：】 二次根式
【考点2：】 二次根式的乘除
【考点3：】 二次根式的加减
一、二次根式的相关概念和性质
1.二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
注：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
注：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3.最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号.
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
注：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
二、二次根式的运算
1.乘除法
（1）乘除法法则：
注：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
注：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

考点剖析
【考点1：】 二次根式
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据逐项计算再进行判断即可
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，故选项D符合题意；
故选：D
2．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式要有意义，那么被开方数为非负数，解不等式即可．
【详解】解：若二次根式有意义，则，
解得，
故选：C．
3．已知为正整数，也是正整数，那么满足条件的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握如果是正整数，那么是一个完全平方数．由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将45分解质因数，从而得出结果．
【详解】解：为正整数，也是正整数，
则是一个完全平方数，
又∵，
∴是一个完全平方数，
∴的最小值是5．
故答案为：5．
4．已知，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简、不等式的性质，关键在于认真观察题意得出，的符号．根据题意可知，，然后对二次根式进行化简，根据，去绝对值号．
【详解】解：二次根式，
，
，
，
，
故答案为：．
5．爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当，即时，原式＝；当，即时，原式＝．通过进一步思考，南南发现，像这样的二次根式，可以通过变形成这样的形式后，通过构造成完全平方式的结构即可化简为，就可以进行后续计算．
(1)仿照上面的例子，请你尝试化简．
(2)化简：=__________；=__________．
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)；
(3)或
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分类讨论和判断被开方式子的符号是关键．
（1）仿照上面的例子，即可化简；
（2）仿照上面的例子，即可判断出答案；
（3）先化简，再化简可得，分为当时，当时，当时，即可化简求值．
【详解】（1）解：，
∵，∴原式．
（2）解：
；
．
（3）解：
；
可化为，
即，
当时，可化为，解得：；
当时，可化为，无解；
当时，可化为，解得：；
综上，的解为或．
6．实数，，在数轴上的对应点如图所示．化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质．先观察数轴可知，，从而判断，，的大小，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解：观察数轴可知：，，
，，，
．

【考点2：】 二次根式的乘除
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误；
B、被开方数中含有，能开得尽方，不是最简二次根式，本选项错误；
C、被开方数中含有8，而，不是最简二次根式，本选项错误；
D、是最简二次根式，本选项正确．
故选D．
2．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式乘法，把已知条件式两边同时乘以即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
3．若与是被开方数相同的最简二次根式， .
【答案】
【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值．
【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
4．菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为 ．
【答案】
【分析】本题解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理与菱形的面积即可求得结果．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
由折叠的性质可知，，
又，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵菱形的面积为，
∴；
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
5．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先按照二次根式的性质进行化简，按照二次根式的乘法法则进行运算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
6．【问题初探】
（1）如图①，在菱形中，连接，点是上一点，连接、，若，则______°；

（2）如图②，在中，，点是上一点，，连接，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别是点、，连接，求的长；

【实践探究】
（3）某校科技小组研发了一款智能操作机器人，正方形区域是该机器人的测试区域，如图③，米，随着研发机器人在逐渐升级，在某次测试中现要将正方形区域扩大，扩大方法为：连接并延长到点，延长到点，以、、为边的三角形是一个直角三角形，以为对角线作正方形，正方形即为扩大后的区域．机器人要从点沿的线路走到点，问这次测试中机器人走的路程是定值吗？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，
【分析】（1）根据菱形的性质证明，结合全等三角形的性质可得结论；
（2）由旋转的性质可得由旋转可得：，，，，证明，再利用勾股定理可得答案；
（3）如图，过作于，过作于，作于，过作于，证明，，四边形，四边形，四边形都为矩形，，，进一步四边形为正方形，再结合勾股定理进行计算可得结论．
【详解】解：（1）∵菱形，
∴，，，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
（2）由旋转可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图，过作于，过作于，作于，过作于，
∵正方形，正方形，
∴，，四边形，四边形，四边形都为矩形，
，，
∴，
∴四边形为正方形，

∴，
，
，
结合矩形的性质可得：，
，
∴；
∴，
∵以、、为边的三角形是一个直角三角形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴；是定值．
【点睛】本题考查的是菱形，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，二次根式的乘法运算，本题计算量大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键．
【考点3：】 二次根式的加减
1．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】A
【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案．
【详解】
，
，
，
故选：A．
2．若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为（ ）
A．6B．3C．4D．2
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，熟悉掌握此概念是解题的关键．
化简后，建立关于的等式运算即可．
【详解】解：∵，且可以它此合并，
∴和是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
3．已知，则代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
把代入计算即可．
【详解】解：把代入，得
．
故答案为：．
4．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积为，
大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
大正方形边长为，重叠部分边长为，
空白部分的长为，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，
小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，
故答案为：10
5．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
此题主要考查了二次根式的加减混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
6．秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．
(1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据“海伦一秦九韶公式” 即可解答；
（）将，代入得到，再利用即可解答．
【详解】（1）解：∵三角形中，，
∴“海伦一秦九韶公式”中的，，
∴，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，明确题意熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键．

过关检测
1．函数的自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了函数自变量的取值范围和二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
【详解】解：∵函数有意义，
∴，则，
故选：．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据整式混合运算及二次根式除法运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、若，，则，故不一定正确，不符合题意；
D、由于和不是同类项，无法合并，计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式混合运算及二次根式除法运算，涉及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、二次根式除法运算及整式减法运算等知识，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算，掌握合并同类项的法则是解决问题的关键．
3．如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为12；正方形Ⅱ的边长为b，面积为27．那么代数式的结果为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，算术平方根的应用，熟练掌握和运用二次根式的混合运算是解决本题的关键．首先根据正方形的性质，可得，，再根据二次根式的混合运算法则进行运算，即可求解．
【详解】解：由题意知，，，
．
故选：A．
4．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简；
先根据数轴得出，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴得，
∴，
∴，
故选：C．
5．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可．
【详解】解：根据题意，矩形面积为：，
，即，
，
这个矩形面积的值大约在4与5之间，
故选：C．
6．设，，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的大小，二次根式的化简，判断的大小，即可解答，熟练进行二次根式的化简是解题的关键．
【详解】解：，
，
，且，为正数，
，
故选：A．
7．如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键．
如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，
∴，共线，，
由旋转可得：，，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值是；
故选B
8．化简的结果是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可．
【详解】原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键．
9．计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，过点作，交于点，交于点，连接，已知，，以点为原点建立坐标系，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质结合，可得为等边三角形．从而得到，在中，由勾股定理可得的长，即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，．
，
为等边三角形．
，为边上的中线．
．
在中，由勾股定理得，，
，
点的坐标为．
故答案为：
11．已知实数x，y满足，则的小数部分是 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分．
【详解】解：由题意可得：，
则，
则，
，
，
则的小整数部分是2，小数部分是，
故答案为：．
12．观察下列等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按上述规律 .
【答案】
【分析】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
……
第个等式：，
故答案为：．
13．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值．
【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，

∵沿射线平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，
∵是等边三角形，，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于点，根据图形可得到，，由直线与轴的夹角为，得到，利用勾股定理即可求出，进而得到，再得到，根据三角形面积公式计算即可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线与轴的夹角为是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，则
由图可得，当直线经过点时，，，
当直线向右平移经过点时，与相交于点，
此时，由图可得，，，
∴，，
∵直线与轴的夹角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：．
15．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则得出答案．
本题考查了二次根式的加减混合运算法则，二次根式的乘除混合运算法则。掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．已知．
(1)求的值．
(2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的加减，平方差公式，无理数的估算，分母有理数，
（1）首先求出，，然后利用平方差公式求解即可；
（2）首先利用无理数的估算求出，，然后代入求解即可．
【详解】（1）
，
；
（2）∵
∵
∴
∴
∴即，
为的整数部分，
，
即
为的小数部分，
17．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)已知是的三条边长，且满足，请判断形状，并说明理由．
(2)已知，求多项式的值．
【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析；
(2)2
【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，平方差公式以及二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法，完全平方公式，平方差公式的运用是解题的关键．
（1）对因式分解得，由此得到，是等腰三角形；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式对多项式进行化简，然后代入求值即可；
【详解】（1）
，
由于是的三条边长，且满足，
，
，
是等腰三角形．
（2）
，
原式
18．阅读材料：
海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式：
如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为
．
下面我们对海伦公式进行证明．
分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式．
证明：如图，设，，，，，，，．
根据勾股定理，得
解方程组得
， ①
②
于是
(1)阅读材料中的解方程组得①______．
(2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式．
(3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可．
（1）将代入求解即可；
（2）仿照②的运算方法求解即可；
（3）根据海伦秦九韶公式求解即可．
【详解】（1）将代入得，
；
（2）
于是
；
（3）∵，，，
∴
∴的面积．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
甲：
（分成两组）
（直接运用公式）
．
乙：
（分成两组）
（提公因式）
．