苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第13讲4.2-4.3立方根和实数(一)(学生版+解析)

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1.如图，棱长为1时，正方体的体积为1，
那体积为2的棱长等于多少？
设棱长为x，x³=2
一般地，如果x³=a，那么x叫做a的 ，a的立方很记作，读作 。和平方根相似的地方是求一个数的立方很的运算叫做 。
2.计算
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 ；、
（4）若，则= ；
因此，
3.立方根的性质
4.平方根和立方根小数点平移
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
5.（1）如图，试着就算，你能说出
的值吗？
（2）你可以画出长度为的线段吗？
要去想，所以构造以1cm、3cm为直角边的是直角三角形即可；求一下后面两个数。
（3）可以画出半径为1cm的圆，求出它的周长和面积吗？

因此，想上面含有根号、含有Π的数都是 。
有理数和无理数统称为 。
无理数也可以在数轴上面表示出来。如图A表示的数为
每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示；反过来，数轴上的每一个 都表示一个实数。实数与 一一对应。
【解惑】
例1：在，，，，2023这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例2：如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（ ）

A．B．C．D．
例3：如果，那么（ ）
A．B．C．D．
例4：已知：与是某正数的两个不相等的平方根，的立方根是．求：
(1)的值；
(2)的平方根．
例5：如图，在数轴上点、、所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．

(1)求出实数的值
(2)求的值．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·山西吕梁·七年级统考期中）归纳平方根和立方根的特征时，分了正数、、负数三种情况进行研究，其中主要体现的数学思想是（ ）
A．转化思想B．方程思想C．分类讨论思想D．数形结合思想
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）若，，则x为（ ）．
A．214B．C．2140D．
3．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断应该在下列线段的（ ）

A．上B．上C．上D．上
4．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．
5．（2023春·黑龙江鹤岗·七年级校考期中）0.16的平方根是_____，的算术平方根是_____，的立方根是_____．
6．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知a、b满足以下条件：①一个正数x的两个平方根分别是和；②．
(1)求a，b，x；
(2)求的平方根．
7．（2023春·广东汕头·七年级校考期中）已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，d的平方根是它本身．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)求的算术平方根．
8．（2023·浙江台州·统考中考真题）计算：．
9．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【知不足】
1．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年山东省临沂市中考二模数学试题）在实数，，，0中，绝对值最小的一个是（ ）
A．B．C．D．0
3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）下列实数中，最小的实数是（ ）
A．1B．C．D．
4．（2023春·江苏南通·七年级统考期中）下列各数中，化简结果为的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，A，B两点分别是在数轴上表示实数1，2的点，若点C在A，B两点之间的数轴上，则点C表示的c的值可以是________（只需写出一个符合条件的实数）．

6．（2023年四川省内江市中考数学真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________．
7．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）在实数，最大的一个数是_________．
8．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）求下列名式中的值．
(1)；
(2)．
9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算：．
10．（2023春·湖北咸宁·七年级咸宁市温泉中学校考期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
11．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）求出等式中的x：
(1)；
(2)．
【一览众山小】
1．（2023春·全国·七年级期末）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2019春·广东汕尾·七年级期末）下列算式中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若，，则的值为（ ）
A．B．5C．或D．或5
4．（2023·四川泸州·统考二模）估计的值在( )
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
5．（2023春·广东汕头·七年级校考期中）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，是e的平方根，则＝_____．
6．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）在，，，0，，，，中，无理数有______个．
7．（2023春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）已知一个正数x的两个不同的平方根是和．
(1)求a与x的值；
(2)计算： ．
8．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）一个正数y的两个平方根分别是与，求的立方根.
9．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）若一个正数的平方根分别是和，求的立方根．
10．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）已知的平方根是，2是的立方根．
(1)求a，b的值．
(2)求满足等式的x的值．
11．（2023春·湖北咸宁·七年级咸宁市温泉中学校考期中）（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小；
（3）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？

12．（2023春·广东汕头·七年级校考期中）计算
(1)
(2)
13．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）计算：
14．（2023·山东枣庄·统考中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
15．（2023春·北京海淀·七年级清华附中校考期中）一个数值转换器，如图所示：

(1)当输入的为16时，输出的值是____________；
(2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由；
(3)若输出的是，请写出两个满足要求的值：___________．