第06讲 平方根与立方根-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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知识点1 平方根
一、平方根的定义
如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。
二、开平方的定义
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
三、平方与开平方的关系
平方与开平方互为逆运算。例如，±3的平方等于9，9的平方根是±3。
四、平方根的性质
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。即正数进行开平方运算有两个结果。
2.一个负数在实数范围内没有平方根，即负数不能进行开平方运算。
3.0的平方根是0。
五、算术平方根的定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定0的算术平方根是0。
六、算术平方根的性质
1.正数和零的算术平方根都只有一个。
2.当a是完全平方数时，√a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，√a是一个无限不循环小数。
3.平方根和算术平方根的区别与联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
知识点2 立方根
一、立方根的定义：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。用数学符号表示，如果x³=a，那么x就是a的立方根。
二、立方根的表示方法：
立方根通常用符号³√a来表示，其中a是被开方数，3是根指数，读作“三次根号a”。
三、立方根的存在条件：
在实数范围内，任何实数（无论是正数、负数还是零）都有且仅有一个立方根。
四、立方根的性质：
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
利用开立方和立方互为逆运算的关系，可以检验立方根的正确性。
求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。
五、立方根与平方根的比较：
平方根是求解一个数的平方等于a的数，而立方根是求解一个数的立方等于a的数。
平方根在实数范围内，正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；而立方根在实数范围内，任何数都有且仅有一个立方根。
考点一、求算术平方根
1．的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
2．的算术平方根是 ．
3．已知是平方根，求值
考点二、求平方根
1．的平方根为（ ）
A．B．C．D．
2．的平方根是 ．
3．已知的立方根是3，的平方根是，求的值．
考点三、求立方根
1．下列说法正确的是（ ）．
A．的平方根是B．8的立方根是
C．的算术平方根是3D．
2．的平方根是 ； .
3．已知，求的值．
考点四、算术平方根的非负性
1．已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．13或17B．13C．17D．以上均不对
2．若与互为相反数，则 ．
3．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间．
考点五、估算算术平方根
1．估计的值应在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
2．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ．
3．在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是．
(1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？
(2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由．
考点六、算术平方根的实际应用
1．物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ．
3．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
(1)求原来正方形区域的边长；
(2)求修改后长方形的周长；
(3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
考点七、平方根的实际应用
1．已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1B．C．D．3
2．一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号）
3．综合与实践
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为30cm的正方表纸板．
步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒．
若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积．
考点八、立方根的实际应用
1．如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（ ）
A．B．C．D．
2．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的边长为 ．
3．求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
考点九、利用平方根与立方根解方程
1．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
2．解方程：
(1)；
(2)
3．已知实数的算术平方根是2，的立方根是2．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
考点十、(算术)平方根与立方根结合应用
1．已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
2．已知的立方根是2，的算术平方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
3．按要求填空：
(1)填表并观察规律：
(2)根据你发现的规律填空：
已知：，则______；
已知：，，则______；
(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
考点十一、(算术)平方根与立方根的规律问题
1．探索与应用．
(1)先填写下表，通过观察后再回答问题：
①表格中________；_________；
②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
已知，若，则___________．
已知，则___________．
(2)阅读例题，然后回答问题：
例题：设是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以．
问题：设都是有理数，且满足，求的值．
2．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究．
观察下面式子的规律，解答问题．
，，……
，，……
【发现规律】
（1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位．
②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位．
【应用规律】
（2）①已知，那么_____，_____．
②已知，，那么_____．
【拓展】
（3）已知，，则_____，_____．
3．已知正数的两个平方根分别为和．求的值和的值；
知识导图记忆
1．（ ）
A．8B．C．4D．
2．的值是（ ）
A．B．C．5D．
3．若与的和是单项式，则的算术平方根是（ ）
A．2B．C．3D．
4．以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．是27的立方根D．是的一个平方根
5．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．0
6．化简： ．
7．的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ．
8．若，则的值为 ．
9．已知，，，，则 ．
10．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ．
11．在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时．
(1)__________；__________；…
；__________；__________；…
(2)当时，_________；
(3)当时，_________；当时，_________．
12．求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
13．已知实数，不相等，且，．
(1)若的算术平方根为3，求的值；
(2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数．
14．已知的立方根是，的算术平方根是5．
(1)求，的值．
(2)求的平方根
(3)求的立方根．
15．课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案．
(1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数．
②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______．
③由，，可以确定的十位数字是_______．
从而可得_______．
(2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程．
教材习题01
求下列各数的算术平方根：
(1)64
(2)0.25
(3)
(4)
教材习题02
求下列各数的平方根：
(1)144；(2)12；(3)0.0625；(4)(－2)2.
教材习题03
求下列各数的立方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
a
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0.01
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