高中数学苏教版 (2019)必修 第二册向量的数量积随堂练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册向量的数量积随堂练习题，共11页。
1.若p与q互为相反向量,且|p|=3,则p·q等于( )

A.9B.0C.-3D.-9
2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=2,则BA·BC的值等于( )
A.-2B.2C.-22D.22
3.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=19,则|a-b|等于( )
A.7B.13
C.15D.17
4.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,则向量b在a上的投影向量为( )
A.14aB.-14a
C.12aD.-12a
5.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为( )
A.π6B.π3
C.2π3D.5π6
6.已知向量a,b方向相同,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|等于( )
A.16B.256
C.8D.64
7.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b等于( )
A.1B.2
C.3D.5
8.若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为( )
A.34B.32C.1D.32
9.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则AO·AB等于( )
A.6B.6
C.12D.18
10.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)= .
11.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=3,则向量a与b的夹角为 .
12.已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为 .
13.已知|OA|=|OB|=1,|AB|=3,则OA·OB= ,|OA+OB|= .
14.已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,求实数λ的值.
15.已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=12,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.
B级 关键能力提升练
16.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
17.在四边形ABCD中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是( )
A.直角梯形B.菱形
C.矩形D.正方形
18.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角,则当小车向前运动10 m时,力F做的功为( )
A.100 JB.50 J
C.503 JD.200 J
19.已知|b|=3,a在b上的投影向量为12b,则a·b的值为( )
A.3B.92
C.2D.12
20.下列说法正确的是( )
A.向量a在向量b上的投影向量可表示为a·b|b|
B.若a·b1(k∈R),求k的取值范围.
参考答案与详细解析
A级 必备知识基础练
1.答案D
解析由已知得p·q=3×3×cs 180°=-9.
2.答案B
解析BA·BC=|BA||BC|cs∠ABC
=2×2×cs 45°=2.
3.答案A
解析因为|a+b|2=19,所以a2+2a·b+b2=19,
所以2a·b=19-4-9=6.
于是|a-b|=|a-b|2=4-6+9=7.
4.答案B
解析向量b在a上的投影向量为
|b|cs 120°a|a|=4×-12a8=-a4.
5.答案C
解析设向量a与b的夹角为θ.
因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cs θ=3,
所以cs θ=-12.又因为θ∈[0,π],
所以θ=2π3.
6.答案A
解析方法一 ∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256,∴|2a+3b|=16.
方法二 由题意知2a=b,
∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16.
7.答案A
解析|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,①
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,②
由①-②得4a·b=4,∴a·b=1.
8.答案B
解析∵单位向量a,b的夹角为120°,
∴a·b=|a||b|cs 120°=-12,
则|a-kb|2=a2-2ka·b+k2b2=1+k+k2=k+122+34≥34,可得当k=-12时,|a-kb|的最小值为32.
9.答案D
解析
如图,过点O作OD⊥AB于D,
可知AD=12AB=3,
则AO·AB=(AD+DO)·AB=AD·AB+DO·AB=3×6+0=18.
10.答案-92
解析∵e1·e2=|e1||e2|cs 60°=12,∴(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+7e1·e2-2e22=-92.
11.答案π3
解析由|a-2b|=3,得(a-2b)2=3,
即a2+4b2-4a·b=3,设单位向量a与b的夹角为θ,
则有1+4-4cs θ=3,解得cs θ=12.
又θ∈[0,π],所以θ=π3.
12.答案e
解析设a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为|a|ecs θ=2×12e=e.
13.答案-12 1
解析由|OA|=|OB|=1,|AB|=3,可知以向量OA,OB为邻边的平行四边形是菱形,OA,OB的夹角为2π3,
∴OA·OB=|OA||OB|cs 2π3=-12,|OA+OB|=(OA+OB)2=1+1-1=1.
14.解因为(3e1-e2)·(e1+λe2)|3e1-e2||e1+λe2|=3-λ21+λ2,
所以3-λ21+λ2=12,解得λ=33.
15.解(1)∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=12,
又|a|=1,∴|b|2=12,∴|b|=22.
设a与b的夹角为θ,则cs θ=a·b|a||b|=121×22=22.
∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°,
∴a与b的夹角为45°.
(2)|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2
=1-2×12+12=22,
|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=1+2×12+12=102.
设a-b与a+b的夹角为α,
则cs α=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=12102×22=55.
B级 关键能力提升练
16.答案B
解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,
则cs θ=a·b|a||b|=|b|22|b|2=12,
所以a与b的夹角为π3,故选B.
17.答案C
解析由BC=AD,得四边形ABCD为平行四边形.由AB·BC=0,得AB⊥BC,所以四边形ABCD是矩形.
18.答案B
解析由题意,根据向量数量积的定义,可得力F做的功W=F·s=10×10cs 60°=50(J).
19.答案B
解析设a与b的夹角为θ,
∵|a|cs θb|b|=12b,∴|a|cs θ1|b|=12,
∴|a|cs θ=32,
∴a·b=|a||b|cs θ=3×32=92.
20.答案B
解析根据投影向量的定义,知A错误;∵a·b=|a||b|·cs θ1,所以(ka+b+c)2>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,
因为a·b=a·c=b·c=cs 120°=-12,所以k2-2k>0,
解得k2.所以实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).