高中苏教版 (2019)向量运算第1课时随堂练习题

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1. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(MB,\s\up6(→))))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))))＋ eq \(OM,\s\up6(→))化简后等于( )
A． eq \(BC,\s\up6(→))B． eq \(AB,\s\up6(→))
C． eq \(AC,\s\up6(→))D． eq \(AM,\s\up6(→))
2．下列向量的运算结果为零向量的是( )
A． eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))
B． eq \(PM,\s\up6(→))＋ eq \(MN,\s\up6(→))＋ eq \(MP,\s\up6(→))
C． eq \(MP,\s\up6(→))＋ eq \(GM,\s\up6(→))＋ eq \(PQ,\s\up6(→))＋ eq \(QG,\s\up6(→))
D． eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))
3．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，则 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A． eq \(CD,\s\up6(→))B． eq \(OC,\s\up6(→))
C． eq \(DA,\s\up6(→))D． eq \(CO,\s\up6(→))
4．(多选)设a＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))＋( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一个非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))< eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))
5．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))
B． eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DO,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))
D． eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝0
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝__________．
7．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为________，方向为____________．
8．小船以10 eq \r(3) km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
9．作五边形ABCDE，并作出下列各题中的和向量：
(1) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))；
(2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→)).
10.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且 eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(CQ,\s\up6(→))＝0.
求证： eq \(AP,\s\up6(→))＋ eq \(AQ,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)).
[B 能力提升]
11．已知O是△ABC内的一点，且 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O是△ABC的( )
A．垂心B．重心
C．内心D．外心
12．(多选)在▱ABCD中，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(AC,\s\up6(→))＝c， eq \(BD,\s\up6(→))＝d，则下列等式中成立的是( )
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝aD． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M(异于点O)满足 eq \(OM,\s\up6(→))＋OPi＋OPj＝0(其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*)，则满足以上条件的点M的个数为( )
A．2B．4
C．6D．8
14．如图所示，已知在矩形ABCD中，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝4 eq \r(3)，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________．
[C 拓展探究]
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
参考答案
[A 基础达标]
1.解析：选C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(MB,\s\up6(→))))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))))＋ eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(OM,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))＋\(OM,\s\up6(→))＋\(MB,\s\up6(→))))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，故选C．
2．解析：选C．对于A， eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))；
对于B， eq \(PM,\s\up6(→))＋ eq \(MN,\s\up6(→))＋ eq \(MP,\s\up6(→))＝ eq \(PM,\s\up6(→))＋ eq \(MP,\s\up6(→))＋ eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(MN,\s\up6(→))；
对于C， eq \(MP,\s\up6(→))＋ eq \(GM,\s\up6(→))＋ eq \(PQ,\s\up6(→))＋ eq \(QG,\s\up6(→))＝( eq \(GM,\s\up6(→))＋ eq \(MP,\s\up6(→)))＋( eq \(PQ,\s\up6(→))＋ eq \(QG,\s\up6(→)))＝ eq \(GP,\s\up6(→))＋ eq \(PG,\s\up6(→))＝0；
对于D， eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝0＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→)).
综上所述，只有C符合题意．
故选C．
3．解析：选B． eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→)).故选B．
4．解析：选AC．由题意，向量a＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))＋( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→)))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，所以D不正确．故选AC．
5．解析：选ACD．由向量加法的平行四边形法则可知 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，故A正确； eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DO,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DO,\s\up6(→))＝ eq \(AO,\s\up6(→))≠ eq \(OA,\s\up6(→))，故B不正确； eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))，故C正确； eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝0，故D正确．故选ACD．
6．解析：在菱形ABCD中，连接BD，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．
又因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，所以| eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，
所以| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(BD,\s\up6(→))|＝1.
答案：1
7．解析：以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，
即 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))，
则∠OAC＝60°，
| eq \(OA,\s\up6(→))|＝24，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(OB,\s\up6(→))|＝12，
所以∠ACO＝90°，所以| eq \(OC,\s\up6(→))|＝12 eq \r(3).
所以F1与F2的合力大小为12 eq \r(3) N，方向为竖直向上．
答案：12 eq \r(3) N 竖直向上
8．解析：如图，设小船实际航行速度为v0，则v0＝v1＋v2，设船在静水中的速度为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v1))＝10 eq \r(3) km/h，河水的流速为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v2))＝10 km/h,
因为v1⊥v2，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v1))2＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v2))2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v0))2，得(10 eq \r(3))2＋102＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v0))2，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(v0))＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
答案：20
9．解：五边形ABCDE如图所示：
(1) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→)). eq \(AC,\s\up6(→))如图所示．
(2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→)). eq \(AB,\s\up6(→))如图所示．
10.证明：因为 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))，
eq \(AQ,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CQ,\s\up6(→))，
所以 eq \(AP,\s\up6(→))＋ eq \(AQ,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(CQ,\s\up6(→)).
又因为 eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(CQ,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＋ eq \(AQ,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)).
[B 能力提升]
11．解析：选B．因为 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))是以 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设为D，则 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝2 eq \(OD,\s\up6(→))，所以2 eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0.所以| eq \(OD,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,3)| eq \(CD,\s\up6(→))|.故点O为△ABC的重心．
12．解析：选ABD．由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；
由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．故选ABD．
13．解析：选D．分以下两种情况讨论：
①若点M在x轴上，则Pi、Pj eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1≤i，j≤8，i，j∈N*))关于x轴对称，
由图可知，P1与P8、P2与P7、P3与P6、P4与P5关于x轴对称，
此时，符合条件的点M有4个；
②若点M在y轴上，则Pi、Pj(1≤i，j≤8，i，j∈N*)关于y轴对称，
由图可知，P1与P4、P2与P3、P5与P8、P6与P7关于y轴对称，
此时，符合条件的点M有4个．
综上所述，满足题中条件的点M的个数为8.
故选D．
14．解析：a＋b＋c＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)).如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.因为 eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))，所以CE∥AD，且CE＝AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(DE,\s\up6(→))，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(DE,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))，所以|a＋b＋c|＝| eq \(BE,\s\up6(→))|＝2| eq \(BC,\s\up6(→))|＝2| eq \(AD,\s\up6(→))|＝8 eq \r(3).
答案：8 eq \r(3)
[C 拓展探究]
15．解：如图，作▱OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))分别表示两根绳子的拉力，则 eq \(CO,\s\up6(→))表示物体所受的重力，且| eq \(OC,\s\up6(→))|＝300 N.
所以| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|cs 30°＝150 eq \r(3)(N)，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|cs 60°＝150(N).
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 eq \r(3) N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．