苏教版 (2019)必修 第二册向量运算第1课时课后练习题

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1.如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF等于( )

A.0B.BE
C.ADD.CF
2.AB+MB+BO+BC+OM等于( )
A.BCB.AB
C.ACD.AM
3.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示( )
A.向正北方向走5 km
B.向正北方向走52 km
C.向正南方向走5 km
D.向正南方向走52 km
4.已知AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d= .
5.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.则
(1)AB+AD+CD= ;
(2)AC+BA+DA= .
6.在边长为1的等边三角形ABC中,|AB+BC|= ,|AB+AC|= .
7.如图所示,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式:
(1)BC+CE+EA;
(2)OE+AB+EA;
(3)AB+FE+DC.
关键能力提升练
8.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行3 km”,则向量a+b表示( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+3) km
9.若在△ABC中,AB=a,BC=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=2,则△ABC的形状是( )
A.正三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
10.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB=PC,则下列结论正确的是( )
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在的直线上
D.点P在△ABC的外部
11.(多选)在▱ABCD中,设AB=a,AD=b,AC=c,BD=d,则下列等式成立的是( )
A.a+b=cB.a+d=b
C.b+d=aD.|a+b|=|c|
12.(多选)下列说法错误的有( )
A.若|a|=5,|b|=3,|c|=4,则|a+b+c|的最大值为10
B.若向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同
C.若AB+BC+CA=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|
13.已知点G是△ABC的重心,则GA+GB+GC= .
14.已知三角形ABC是直角三角形且∠A=90°,则下列结论正确的是 .(填序号)
①|AB+AC|=|BC|;
②|AB+CA|=|BC|;
③|AB|2+|AC|2=|BC|2.
15.当非零向量OA=a,OB=b(a,b不共线)满足 时,能使a+b平分∠BOA.
16.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶 2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?
17.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点,求证:AD+BE+CF=0.
学科素养创新练
18.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°≈0.6).
19.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且|AB|=|AD|=1,OA+OC=OB+OD=0,cs∠DAB=12.求|DC+BC|与|CD+BC|.
参考答案与详细解析
必备知识基础练
1.答案D
解析BA+CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CE+EF=CF.
2.答案C
解析AB+MB+BO+BC+OM=(AB+BO)+(MB+BC)+OM=AO+MC+OM=(AO+OM)+MC=AM+MC=AC.
3.答案B
解析由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走52 km.
4.答案e
解析a+b+c+d=AB+BC+CD+DE=AE=e.
5.答案(1)AD (2)0
6.答案1 3
解析易知|AB+BC|=|AC|=1,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则|AB+AC|=|AD|=2|AB|×sin 60°=2×1×32=3.
7.解(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.
(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB.
(3)因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,所以FE=BD,所以AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.
关键能力提升练
8.答案B
解析如图,易知tan α=33,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.又|a+b|=2 km,故选B.
9.答案D
10.答案D
解析PA+PB=PC,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外部.故选D.
11.答案ABD
解析由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,b+d=a不成立.
12.答案ACD
解析A错误,当a,b,c方向相同时,|a+b+c|取得最大值12;B正确,若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a的方向相同,若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同;C错误,当A,B,C三点共线时,也满足AB+BC+CA=0;D错误,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.
13.答案0
解析
如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,
则GB+GC=GD,GD+GA=0,
所以GA+GB+GC=0.
14.答案①②③
解析
①正确,以AB,AC为邻边作▱ABDC,如图所示.又∠A=90°,
所以▱ABDC为矩形,所以AD=BC,
所以|AB+AC|=|AD|=|BC|.
②正确,|AB+CA|=|CA+AB|=|CB|=|BC|.
③正确,由勾股定理知|AB|2+|AC|2=|BC|2.
15.答案|a|=|b|
解析若a+b平分∠BOA,则根据平行四边形法则知,可构成菱形,因此|a|=|b|.
16.解如图,用AC表示船的第一次位移,用CD表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD=AC+CD,
所以AD可表示两次位移的合位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,则BC=12AC=1,AB=3,∠ACB=60°.
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,
所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,
所以∠BAD=60°,AD=2AB=23,所以两次位移的合位移的方向是南偏西60°,位移的大小为23 km.
17.证明由题意知,AD=AC+CD,
BE=BC+CE,CF=CB+BF.
由平面几何知识可知,EF=CD,BF=FA,
所以AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)
=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB)
=(AC+CE+CD+BF)+0
=AE+CD+BF=AE+EF+FA=0.
学科素养创新练
18.解设AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|;两次位移的和指的是AB+BC=AC.依题意,有|AB|+|BC|=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,|AC|=|AB|2+|BC|2 =8002+6002=1 000(km),因为sin∠BAC=0.6,所以∠BAC≈37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向约为北偏东72°.
19.解∵OA+OC=OB+OD=0,∴OA=CO,OB=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又|AB|=|AD|=1,∴四边形ABCD为菱形.
又cs∠DAB=12,∠DAB∈(0,π),
∴∠DAB=60°.∴△ABD为正三角形.
∴|AO|=32.
∴|DC+BC|=|AB+AD|=|AC|=2×32=3,|CD+BC|=|BD|=|AB|=1.