苏教版 (2019)必修 第二册两角和与差的余弦课时训练

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册两角和与差的余弦课时训练，共7页。
1．cs (45°－α)cs (α＋15°)－sin (45°－α)sin (α＋15°)＝( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2)D．－ eq \f(\r(3),2)
2. eq \f(\r(2),2)cs 15°－ eq \f(\r(2),2)sin 15°＝( )
A． eq \f(1,2)B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2)D．－ eq \f(\r(3),2)
3．已知A，B为锐角，cs A＝ eq \f(3,5)，cs B＝ eq \f(5,13)，
则cs (A＋B)＝( )
A． eq \f(56,65)B．－ eq \f(56,65)
C．－ eq \f(33,65)D． eq \f(33,65)
4．若sin αsin β＝1，则cs (α－β)＝( )
A．0B．1
C．±1D．－1
5．若cs (α＋β)＝ eq \f(3,5)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(5,13)，α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－ eq \f(33,65)B． eq \f(33,65)
C． eq \f(56,65)D．－ eq \f(16,65)
6．cs 2 072°cs 212°＋sin 2 072°sin 212°＝________．
7．已知α，β均为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，则α－β的值为________．
8．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝ eq \f(1,8)，则cs α＋ eq \r(3)sin α的值为________．
9．若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))且sin x＝ eq \f(4,5)，求2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))＋2cs x的值．
10．已知sin α＝ eq \f(15,17)，cs β＝－ eq \f(5,13)，且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求cs (α＋β)，cs (α－β)的值．
[B 能力提升]
11．在△ABC中，若cs A cs B＞sin A sin B，则△ABC一定为( )
A．等边三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．直角三角形
12．(多选)已知α，β，γ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列正确的是( )
A．cs (β－α)＝ eq \f(1,2)B．cs (β－α)＝－ eq \f(1,2)
C．β－α＝ eq \f(π,3)D．β－α＝－ eq \f(π,3)
13．定义运算 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.已知α，β都是锐角，且cs α＝ eq \f(\r(5),5)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α cs β,cs α sin β))＝－ eq \f(\r(10),10)，则cs β＝________．
14．已知若0＜α＜ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,2)＜β＜0，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,3)，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(\r(3),3).
(1)求cs α的值；
(2)求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))的值．
[C 拓展探究]
已知cs (α－β)＝－ eq \f(3,5)，cs (α＋β)＝ eq \f(3,5)，且α－β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．
参考答案
[A 基础达标]
1.解析：选A．原式＝cs (α－45°)cs (α＋15°)＋sin (α－45°)·sin (α＋15°)＝cs [(α－45°)－(α＋15°)]
＝cs (－60°)＝ eq \f(1,2).故选A．
2.解析：选A．根据两角和的余弦公式有
eq \f(\r(2),2)cs 15°－ eq \f(\r(2),2)sin 15°＝cs 45°cs 15°－sin 45°sin 15°
＝cs (45°＋15°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2)，故选A．
3.解析：选C．因为A，B为锐角，cs A＝ eq \f(3,5)，cs B＝ eq \f(5,13)，
所以sin A＝ eq \r(1－cs2A)＝ eq \f(4,5)，sinB＝ eq \r(1－cs2B)＝ eq \f(12,13)，
所以cs(A＋B)＝cs A cs B－sin A sin B＝ eq \f(3,5)× eq \f(5,13)－ eq \f(4,5)× eq \f(12,13)＝－ eq \f(33,65).故选C．
4.解析：选B．由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cs α＝cs β＝0，从而cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝0＋1＝1.故选B．
5.解析：选C．因为(α＋β)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝α＋ eq \f(π,4)，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs (α＋β)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin (α＋β)·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，
因为α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以0＜α＋β＜π，－ eq \f(π,4)＜β－ eq \f(π,4)＜ eq \f(π,4)，
所以sin (α＋β)＝ eq \f(4,5)，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(12,13)，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)× eq \f(12,13)＋ eq \f(4,5)× eq \f(5,13)＝ eq \f(56,65)，故选C．
6.解析：cs 2 072°cs 212°＋sin 2 072°sin 212°
＝cs (2 072°－212°)＝cs 1 860°＝cs 60°＝ eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
7.答案：－ eq \f(π,4)
8.解析：因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cs eq \f(π,3)cs α＋sin eq \f(π,3)sin α＝ eq \f(1,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α＝ eq \f(1,8)，
所以cs α＋ eq \r(3)sin α＝ eq \f(1,4).
答案： eq \f(1,4)
9.解：因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin x＝ eq \f(4,5)，
所以cs x＝－ eq \f(3,5).
所以2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))＋2cs x
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x cs \f(2π,3)＋sin x sin \f(2π,3)))＋2cs x
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))＋2cs x
＝ eq \r(3)sin x＋cs x
＝ eq \f(4\r(3),5)－ eq \f(3,5)＝ eq \f(4\r(3)－3,5).
10.解：因为sin α＝ eq \f(15,17)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－ eq \f(8,17).
又cs β＝－ eq \f(5,13)，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin β＝ eq \f(12,13).
所以cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝－ eq \f(8,17)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))－ eq \f(15,17)× eq \f(12,13)＝－ eq \f(140,221)，cs (α－β)＝cs α·cs β＋sin αsin β＝－ eq \f(8,17)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋ eq \f(15,17)× eq \f(12,13)＝ eq \f(220,221).
[B 能力提升]
11.解析：选B．由题可知cs A cs B＞sin A sin B⇒cs (A＋B)＞0，故A＋B为锐角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角，故△ABC为钝角三角形，所以选B．
12.解析：选AC．由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β.
两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝1.
所以－2cs (β－α)＝－1.
所以cs (β－α)＝ eq \f(1,2).
所以A正确，B错误．
因为sin γ＝sin β－sin α>0，
所以β>α，
所以β－α＝ eq \f(π,3)，
所以C正确，D错误，故选AC．
13.解析：因为α，β都是锐角，所以0＜α＋β＜π，
因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α cs β,cs α sin β))＝－ eq \f(\r(10),10)，
所以sin αsin β－cs αcs β＝－ eq \f(\r(10),10)，
即－cs (α＋β)＝－ eq \f(\r(10),10)，所以cs (α＋β)＝ eq \f(\r(10),10).所以sin (α＋β)＝ eq \f(3\r(10),10)，
因为cs α＝ eq \f(\r(5),5)，所以sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝ eq \f(2\r(5),5)，
csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝ eq \f(\r(10),10)× eq \f(\r(5),5)＋ eq \f(3\r(10),10)× eq \f(2\r(5),5)＝ eq \f(7\r(2),10).
答案： eq \f(7\r(2),10)
14.解：(1)因为0＜α＜ eq \f(π,2)，所以 eq \f(π,4)＜ eq \f(π,4)＋α＜ eq \f(3π,4)，
因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,3)，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(2\r(2),3)，
所以cs α＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\f(π,4)))＝
cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cs eq \f(π,4)＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sin eq \f(π,4)
＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(2\r(2),3)× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2)＋4,6).
(2)因为－ eq \f(π,2)＜β＜0，所以 eq \f(π,4)＜ eq \f(π,4)－ eq \f(β,2)＜ eq \f(π,2).
因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(\r(3),3)，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(\r(6),3)，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))
＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋
sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))
＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),3)＋ eq \f(2\r(2),3)× eq \f(\r(6),3)＝ eq \f(5\r(3),9).
[C 拓展探究]
15.解：由α－β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs (α－β)＝－ eq \f(3,5)，
可知sin (α－β)＝ eq \f(4,5)，
又因为α＋β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，cs (α＋β)＝ eq \f(3,5)，
所以sin (α＋β)＝－ eq \f(4,5).
cs 2β＝cs [(α＋β)－(α－β)]
＝cs (α＋β)cs (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
＝ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))× eq \f(4,5)＝－1.
因为α－β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以2β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).所以2β＝π，故β＝ eq \f(π,2).