高中数学苏教版 (2019)必修 第二册两角和与差的正弦习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册两角和与差的正弦习题，共8页。
1．sin 135°cs (－15°)＋cs 225°sin 15°＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2)D． eq \f(\r(3),2)
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )
A． eq \f(\r(2),5) B．－ eq \f(\r(2),5)
C． eq \f(\r(2),10)D．－ eq \f(\r(2),10)
3．在△ABC中，若sin A cs C＝sin B，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．无法判断
4．已知tan α＝－ eq \f(\r(3),3)，且α∈(0，π)，则 eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A． eq \f(1＋\r(3),2)B． eq \f(1－\r(3),2)
C． eq \f(－1＋\r(3),2)D． eq \f(－1－\r(3),2)
5．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，sin β＝－ eq \f(\r(2),10)，且cs (α－β)＝ eq \f(3,5)，则α的值为( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,3)D． eq \f(5π,12)
6．cs 105°＋sin 195°的值为________．
解析：cs 105°＋sin 195°＝cs 105°＋sin (90°＋105°)
＝2cs 105°＝2cs (90°＋15°)
＝2sin (－15°)＝2sin (30°－45°)
＝2(sin 30°cs 45°－cs 30°sin 45°)
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)－\f(\r(3),2)×\f(\r(2),2)))
＝ eq \f(\r(2)－\r(6),2).
7．已知cs (α－β)＝ eq \f(3,5)，sin β＝－ eq \f(5,13)，且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则sin α＝________．
8．《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：_____________.
9．化简下列各式：
(1)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－ eq \r(3)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))；
(2) eq \f(sin （2α＋β）,sin α)－2cs (α＋β).
10．已知 eq \f(π,2)＜β＜α＜ eq \f(3π,4)，cs (α－β)＝ eq \f(3\r(10),10)，sin (α＋β)＝－ eq \f(\r(5),5).
(1)求sin (α－β)和cs (α＋β)；
(2)求角α.
[B 能力提升]
11．(多选)下列对等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是( )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
12．对任意锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )
A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin (α＋β)＞cs α＋cs β
C．cs (α＋β)＜sin α＋sin β
D．cs (α＋β)＜cs α＋cs β
13．设a＝ eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)，b＝cs 50°cs 128°＋cs 40°cs 38°，c＝cs 80°，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
14．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs α＝ eq \f(\r(2),3)，且cs (α－β)＝ eq \f(4,5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝________，cs β＝________．
[C 拓展探究]
15．已知关于x的方程x2＋(sin α＋cs β)x－ eq \f(1,4)(cs α＋sin β)2＝0有两个相等的实数根．
(1)求sin (α＋β)的值；
(2)若0＜α＜ eq \f(π,2)，π＜β＜ eq \f(3π,2)，sin α＝ eq \f(1,3)，求sin β的值．
参考答案
[A 基础达标]
1．解析：选C．sin 135°cs (－15)°＋cs 225°sin 15°＝sin 45°cs 15°－cs 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝ eq \f(1,2)，故选C．
2．解析：选C．因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝ eq \f(4,5)，cs α＝－ eq \f(3,5)，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝ eq \f(4,5)× eq \f(\r(2),2)－ eq \f(3,5)× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),10).
3．解析：选C．因为sin A cs C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋cs A sin C，
所以cs A sin C＝0，又0＜C＜π，所以sin C≠0，故cs A＝0，
因为0＜A＜π，所以A＝ eq \f(π,2)，即△ABC的形状为直角三角形．故选C．
4．解析：选B．因为tan α＝－ eq \f(\r(3),3)，且α∈(0，π)，所以θ＝ eq \f(5π,6)，
则sin θ＝ eq \f(1,2)，cs θ＝－ eq \f(\r(3),2)，
故 eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin α＋\f(\r(2),2)cs α))＝sin α＋cs α＝ eq \f(1－\r(3),2)，故选B．
5．解析：选B．因为β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，sin β＝－ eq \f(\r(2),10)，所以cs β＝ eq \f(7\r(2),10)，
因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以α－β∈(0，π)，
因为cs (α－β)＝ eq \f(3,5)，所以sin (α－β)＝ eq \f(4,5)，
因为sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cs β＋cs (α－β)·sin β
＝ eq \f(4,5)× eq \f(7\r(2),10)＋ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),10)))＝ eq \f(\r(2),2)，又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＝ eq \f(π,4)，故选B．
6．解析：cs 105°＋sin 195°＝cs 105°＋sin (90°＋105°)
＝2cs 105°＝2cs (90°＋15°)
＝2sin (－15°)＝2sin (30°－45°)
＝2(sin 30°cs 45°－cs 30°sin 45°)
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)－\f(\r(3),2)×\f(\r(2),2)))
＝ eq \f(\r(2)－\r(6),2).
答案： eq \f(\r(2)－\r(6),2)
7．解析：由α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))得0＜α－β＜π，所以sin (α－β)＝ eq \f(4,5)，cs β＝ eq \f(12,13)，
从而sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cs β＋cs (α－β)·sin β
＝ eq \f(4,5)× eq \f(12,13)＋ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝ eq \f(33,65).
答案： eq \f(33,65)
8．解析：令AC＝1，∠ACB＝α，∠BCE＝β，则BC＝cs α，AB＝sin α，
所以CE＝cs αcs β，
BE＝cs αsin β，
BF＝sin αcs β，
AF＝sin αsin β，
所以CD＝CE－DE＝CE－AF＝cs αcs β－sin αsin β，
AD＝EF＝BF＋BE＝sin αcs β＋cs αsin β，
在直角三角形ADC中，
CD＝cs (α＋β)·AC＝cs (α＋β)，
AD＝sin (α＋β)·AC＝sin (α＋β)，
所以cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β，
sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β.
答案：cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β(或sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β，答案不唯一，写出一个即可)
9．解：(1)原式＝sin x cs eq \f(π,3)＋cs x sin eq \f(π,3)＋2sin x cs eq \f(π,3)－2cs x sin eq \f(π,3)－ eq \r(3)cs eq \f(2π,3)cs x－ eq \r(3)sin eq \f(2π,3)sin x＝ eq \f(1,2)sin x＋ eq \f(\r(3),2)cs x＋sin x－ eq \r(3)cs x＋ eq \f(\r(3),2)cs x－ eq \f(3,2)sin x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cs x＝0.
(2)原式＝ eq \f(sin [（α＋β）＋α]－2cs （α＋β）sin α,sin α)
＝ eq \f(sin （α＋β）cs α－cs （α＋β）sin α,sin α)
＝ eq \f(sin [（α＋β）－α],sin α)＝ eq \f(sin β,sin α).
10．解：(1)由 eq \f(π,2)＜β＜α＜ eq \f(3π,4)，得0＜α－β＜ eq \f(π,4)，sin (α－β)＞0，
所以sin (α－β)＝ eq \r(1－cs2（α－β）)＝ eq \f(\r(10),10)，
又因为π＜α＋β＜ eq \f(3π,2)，则cs(α＋β)＜0，
所以cs (α＋β)＝－ eq \r(1－sin2（α＋β）)＝－ eq \f(2\r(5),5).
(2)sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)·cs (α－β)＋cs (α＋β)sin (α－β)
＝－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))× eq \f(\r(10),10)＝
－ eq \f(\r(2),2)，因为π＜2α＜ eq \f(3π,2)，所以2α＝ eq \f(5π,4)，得α＝ eq \f(5π,8).
[B 能力提升]
11．解析：选BD．因为sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs α·sin β＝sin α＋sin β，
所以cs β＝1且cs α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，
因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
故选BD．
12．解析：选D．sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β，sin α，sin β，cs α，cs β∈(0，1)，可知A，B不正确；当α＝β＝15°时，cs (α＋β)＞sin α＋sin β可知C不正确，cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＜cs αcs β＜cs α＜cs α＋cs β，所以D正确，故选D．
13．解析：选B．a＝ eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
b＝cs (90°－40°)cs (90°＋38°)＋cs 40°·cs 38°＝－sin 40°sin 38°＋cs 40°cs 38°＝cs 78°＝sin 12°，c＝cs 80°＝sin 10°，因为sin 12°＞sin 11°＞sin 10°，所以b＞a＞c，故选B．
14．解析：因为α为第四象限角，cs α＝ eq \f(\r(2),3)，
所以sin α＝－ eq \r(1－cs2α)＝－ eq \f(\r(7),3).
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝ eq \f(1,2)sin α＋ eq \f(\r(3),2)cs α＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),3)))＋ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(2),3)＝ eq \f(\r(6)－\r(7),6).
因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以α－β∈(－π，0).
又因为cs (α－β)＝ eq \f(4,5)，
所以sin (α－β)＝－ eq \r(1－cs2（α－β）)＝－ eq \f(3,5).
所以csβ＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝ eq \f(\r(2),3)× eq \f(4,5)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝ eq \f(4\r(2)＋3\r(7),15).
答案： eq \f(\r(6)－\r(7),6) eq \f(4\r(2)＋3\r(7),15)
[C 拓展探究]
15．解：(1)因为方程x2＋(sin α＋cs β)x－ eq \f(1,4)(cs α＋sin β)2＝0有两个相等的实数根，
所以判别式Δ＝(sin α＋cs β)2＋4× eq \f(1,4)(cs α＋sin β)2＝0，
所以sin2α＋2sinαcs β＋cs2β＋cs2α＋2csα·sin β＋sin2β＝0，
即2＋2(sinαcs β＋cs αsin β)＝0，
所以sin (α＋β)＝－1.
(2)因为0＜α＜ eq \f(π,2)，sin α＝ eq \f(1,3)，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(2\r(2),3)，
因为sin(α＋β)＝－1，所以cs (α＋β)＝0，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cs α－cs (α＋β)sin α＝－ eq \f(2\r(2),3).