苏教版 (2019)必修 第二册向量的数量积测试题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册向量的数量积测试题，共7页。
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A． eq \r(3) B． eq \r(5)
C．3D．5
2．已知向量a，b的夹角为60°，a·b＝ eq \f(3,2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝3，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝( )
A． eq \f(\r(3),3)B．1
C．3D．2
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,3)
C． eq \f(2π,3)D． eq \f(5π,6)
4．已知非零向量m，n满足4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))＝3 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))，cs 〈m，n〉＝ eq \f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4B．－4
C． eq \f(9,4)D．－ eq \f(9,4)
5．P是△ABC所在平面内一点，若 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(PC,\s\up6(→))· eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
6．已知向量e1，e2的模分别为1，2，e1，e2的夹角为 eq \f(π,3)，则向量(e2－e1)·e2的值为________．
7．已知在△ABC中，AB＝AC＝4， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝8，则△ABC的形状是________．
8．已知平面向量a，b 满足 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))·b＝2，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝2，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝__________．
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝ eq \f(1,2)，且a·b＝ eq \f(1,2).
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
[B 能力提升]
11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,3)
C． eq \f(2π,3)D． eq \f(5π,6)
12．(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OA))＝1，则下列结论正确的有( )
A． eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OD,\s\up6(→))＝－ eq \f(\r(2),2)
B． eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OH,\s\up6(→))＝－ eq \r(2) eq \(OE,\s\up6(→))
C． eq \(AH,\s\up6(→))· eq \(HO,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(BO,\s\up6(→))
D． eq \(AH,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))向量上的投影向量的模为 eq \f(\r(2),2)
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点， eq \(DC,\s\up6(→))＝2 eq \(BD,\s\up6(→))，则 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝________．
14．在△ABC中，满足 eq \(AB,\s\up6(→))⊥ eq \(AC,\s\up6(→))，M是BC中点．
(1)若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))，求向量 eq \(AB,\s\up6(→))＋2 eq \(AC,\s\up6(→))与向量2 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))的夹角的余弦值；
(2)若O是线段AM上任意一点，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝ eq \r(2)，求 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))的最小值．
[C 拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6， eq \(CP,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→)).
(1)若四边形ABCD是矩形，求 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝6，求 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值．
参考答案
[A 基础达标]
1．解析：选C．由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
2．解析：选B．a·b＝|a||b|cs 60°＝ eq \f(3,2)，又|b|＝3，所以|a|＝1.故选B．
3．解析：选C．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cs 〈a，b〉＝3，所以cs 〈a，b〉＝－ eq \f(1,2).又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝ eq \f(2π,3).
4．解析：选B．因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，所以tn·m＋n2＝0，
则t|n||m|cs 〈m，n〉＋|n|2＝0，因为4|m|＝3|n|，cs 〈m，n〉＝ eq \f(1,3)，
所以t|n|· eq \f(3,4)|n|· eq \f(1,3)＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B．
5．解析：选D．由 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))得， eq \(PB,\s\up6(→))·( eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝0，所以PB⊥CA.
同理，PA⊥BC，PC⊥AB，所以P是△ABC的垂心．
6．解析：由题意可知，(e2－e1)·e2＝e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|cs eq \f(π,3)＝22－1×2×cs eq \f(π,3)＝3.
答案：3
7．解析：因为 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC，即8＝4×4cs ∠BAC，于是cs ∠BAC＝ eq \f(1,2)，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
8．解析：因为|a|＝1，|b|＝2， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))·b＝a·b＋b2＝a·b＋22＝2，所以a·b＝－2，
所以|a＋b|2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))＋22＝1，因此，|a＋b|＝1.
答案：1
9．解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝ eq \f(1,2)，
所以a2－b2＝ eq \f(1,2)，即|a|2－|b|2＝ eq \f(1,2)，
又|a|＝1，所以|b|＝ eq \f(\r(2),2).设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝ eq \f(1,2)，所以|a||b|cs θ＝ eq \f(1,2)，
所以cs θ＝ eq \f(\r(2),2)，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，
所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝ eq \f(1,2)，所以|a－b|＝ eq \f(\r(2),2).
10．解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cs θ e＝－e，
所以cs θ＝－ eq \f(1,2)，所以θ＝ eq \f(2π,3).
(2)由题意易知a·b＝|a||b|cs θ＝－1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0.
所以λ＝ eq \f(4,7).
[B 能力提升]
11．解析：选D．由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝ eq \r(3)|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(（a－b）·b,|a－b||b|)＝ eq \f(－|b|2,2|a|·\r(3)|a|)＝－ eq \f(3|a|2,2\r(3)|a|2)＝－ eq \f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(5π,6).
12．解析：选AB．题图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，
对于A： eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OD,\s\up6(→))＝1×1×cs eq \f(3π,4)＝－ eq \f(\r(2),2)，故正确．
对于B： eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OH,\s\up6(→))＝ eq \r(2) eq \(OA,\s\up6(→))＝－ eq \r(2) eq \(OE,\s\up6(→))，故正确．
对于C：因为| eq \(AH,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，| eq \(HO,\s\up6(→))|＝| eq \(BO,\s\up6(→))|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于D： eq \(AH,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))向量上的投影向量的模为|| eq \(AH,\s\up6(→))|cs eq \f(3π,4)|≠ eq \f(\r(2),2)，故错误．
故选AB．
13．解析：由 eq \(DC,\s\up6(→))＝2 eq \(BD,\s\up6(→))，所以 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))，
故 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)（\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）))·( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))·( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))2－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))2
＝ eq \f(1,3)| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(AC,\s\up6(→))|cs 120°＋ eq \f(1,3)| eq \(AC,\s\up6(→))|2－ eq \f(2,3)| eq \(AB,\s\up6(→))|2＝ eq \f(1,3)×2×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋ eq \f(1,3)×1－ eq \f(2,3)×22＝－ eq \f(8,3).
答案：－ eq \f(8,3)
14．解：(1)设向量 eq \(AB,\s\up6(→))＋2 eq \(AC,\s\up6(→))与向量2 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(（\(AB,\s\up6(→))＋2\(AC,\s\up6(→))）·（2\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))）,|\(AB,\s\up6(→))＋2\(AC,\s\up6(→))||2\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))|)，
令| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|＝a, cs θ＝ eq \f(2a2＋2a2,\r(5)a·\r(5)a)＝ eq \f(4,5).
(2)因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)，所以| eq \(AM,\s\up6(→))|＝1，
设| eq \(OA,\s\up6(→))|＝x，则| eq \(OM,\s\up6(→))|＝1－x.
而 eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OM,\s\up6(→))，
所以 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))))＝2 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OM,\s\up6(→)) ＝2| eq \(OA,\s\up6(→))|·| eq \(OM,\s\up6(→))|cs π＝2x2－2x＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2－ eq \f(1,2).
当且仅当x＝ eq \f(1,2)时取得最小值， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))的最小值是－ eq \f(1,2).
[C 拓展探究]
15．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))＝0.
由 eq \(CP,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))，
得 eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(DC,\s\up6(→)).
eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\(DP,\s\up6(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\(CP,\s\up6(→))))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(DC,\s\up6(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\(DC,\s\up6(→))))
＝ eq \a\vs4\al(\(AD,\s\up6(→)))2－ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \f(2,9) eq \a\vs4\al(\(DC,\s\up6(→)))2＝36－ eq \f(2,9)×81＝18.
(2)由题意， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))，
所以 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)))·( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \a\vs4\al(\(AD,\s\up6(→)))2－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,9) eq \a\vs4\al(\(AB,\s\up6(→)))2
＝36－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－18＝18－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→)).
又 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝6，所以18－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝6.
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝36.
设 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，
又 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AD,\s\up6(→))|cs θ＝9×6×cs θ＝54cs θ，
所以54cs θ＝36，即cs θ＝ eq \f(2,3).
所以 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值为 eq \f(2,3).