苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第12讲正多边形与圆(学生版+解析)

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1.之间所学到的正多边形是？那什么叫正多边形？
正三角形（等边三角形），正方形
正多边形：各边相等、各角都相等的多边形叫做正多边形
2.认识圆内接正多边形
用量角器把一个圆分成n等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3.与正多边形的有关概念
名称
定义
中心
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心（如图圆O ）。
半径
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径（如图R）。
边心距
正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距.（如图r）。
中心角
正多边形每一条边所对的外接圆的圆心叫做正多边形的中心角（如图∠AOD）。
4.正多边形的计算
5.正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n天对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
6.正多边形的画法
（1）量角器画法
在半径为R的圆中，先用量角器画一个度数为的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连接各等分点即可作出半径为R的正n边形。
（2）尺规作图画法
①作正方形
作法：1.在圆O中作两条互相垂直的直径AC、BD.
2.依次连接A、B、C、D四个点，四边形ABCD即可画出。
②作正六边形
作法：1.在圆O中画出任意一条直径AD；
2.分别以点A、D为圆心，圆O的半径为半径作弧，与圆O相交与点B、F和点C、E；
3.依次连接A、B、C、D、E、F六个点，即可画出正六边形。
考点一：正多边形的中心角
例1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
【变式1-3】如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．

(1)求的度数；
(2)若的半径为8，求正方形的边长．
考点二：由中心角求边数
例2．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【变式2-1】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．

【变式2-3】古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______º；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
考点三：正多边形与圆综合
例3. 半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式3-1】如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式3-2】如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ．
【变式3-3】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
考点四：尺规作图——正多边形
例4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对B．甲对，乙不对C．两人都对D．甲不对，乙对
【变式4-1】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对
C．两人都不对D．两人都对
【变式4-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式4-3】如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中过点作的切线；
(2)在图1中画出一个圆内接正方形；
(3)在图2中的圆上画出线段的中点；
(4)在图3中作一个的圆周角．
1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
6．如图，正方形与等边内接于，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）

A．B．C．D．
9．若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ．
10．如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ．
11．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ．
12．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ．
13．雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ．
14．将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放．
（1） ；
（2）已知点在边上，则的最大值为 ．
15．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
16．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
(1)在图①中，画一个菱形；
(2)在图②中，画出正五边形的中心点．
17．阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为 ；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并进行有关计算；
2．了解正多边形的对称性；
3.会用量角器画正多边形，用直尺和圆规作一些特殊的正多边形。
名称
公式
内角
正n变形的每个内角都为
中心角
正n边形的每个中心角都为
外角
正n边形的每个外角都为
边心距
正n边形的边心距
周长
正n边形的周长C=na
面积
正n边形的面积