第2部分-预习-第25讲 第22章 二次函数全章复习与测试（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

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一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
六．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
七．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
八．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
九．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
十一．二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值．
对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），
a＞0时，
当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值
当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值
当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值
当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值
a＜0时，
同样进行分类讨论．
一．二次函数的定义（共3小题）
1．（2024•秦都区校级一模）下列函数中，关于的二次函数是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：、当时，不是二次函数；
、是二次函数；
、不是二次函数；
、为一次函数．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
2．（2024•西城区二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件进价（元的关系．
A．①B．②C．③D．①③
【分析】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【解答】解：①，是的反比例函数，故此选项不符合题意；
②，是的正比例函数，故此选项不符合题意；
③，是的二次函数，故此选项符合题
意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键．
3．（2024•旺苍县一模）已知是二次函数，则的值为
A．0B．1C．D．1或
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由是二次函数，得
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的定义，形如是二次函数．
二．二次函数的图象（共3小题）
4．（2024春•海淀区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象．
【解答】解：一次函数经过轴上的，二次函数经过轴上的，
两个函数图象交于轴上的两点分布在原点两侧，故、、选项错误；
故选：．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
5．（2024•龙华区校级模拟）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【解答】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向下，图象经过原点，对称轴在轴左侧，
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．
6．（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解．
（2）设点的坐标为，由对称可得点的坐标为：，将其代入抛物线的解析式即可求解．
【解答】解：（1）将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
此抛物线的顶点坐标为：．
（2）设点的坐标为，
点与点关于轴对称，
点的坐标为：，
又点在抛物线上，
，
解得：，，
又点不与点重合，
，
点的坐标为：．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标的规律是解题的关键．
三．二次函数的性质（共7小题）
7．（2024春•丰城市校级月考）在二次函数的图象中，若随的增大而减小，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，从而可以解答本题．
【解答】解：二次函数，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2024•涟水县模拟）二次函数的对称轴是
A．直线B．直线C．直线D．直线
【分析】配方成顶点式即可得．
【解答】解：，
抛物线的对称轴为直线，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式，并掌握二次函数的性质．
9．（2024春•娄星区校级月考）二次函数的图象的顶点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
【解答】解：，
顶点坐标为，
顶点在第一象限．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．
10．（2024春•海淀区校级期末）若点，，，在抛物线上，则，，的大小关系为 ． （用“”连接）．
【分析】根据对称性是直线，判断出，，离对称轴的远近可得结论．
【解答】解：的开口向上，且对称轴为，
又点离对称轴最远，点离对称轴最近，
．
故答案为：
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以
及对称轴的位置对的影响是解题的关键．
11．（2024•郫都区模拟）新定义：对于三个数、、，我们用，，表示这三个数中最大的数，如：，0，．若直线与函数，，的图象有且只有2个交点，则的取值范围为 或 ．
【分析】求得、点的坐标，根据题意，分三种情况说明从而求解．
【解答】解：①直线经过得，则，
②解得或，
，
代入得，，
解得，
③直线与抛物线相切时，则，即，
则△
，
解得：．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查在新定义下直线与抛物线相交的问题，根据题意得知是直线与抛物线相交是解决本题的前提，分类讨论思想的运用是解题的关键．
12．（2024春•浦口区校级月考）函数．
（1）当点在函数的图象上时，求函数图象与轴的另一个公共点的坐标以及的值；
（2）当时，直接写出函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点代入，求出的值，求解一元二次方程即可；
（2）把顶点纵坐标看成关于的二次函数，然后根据二次函数图象性质，在范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，即，
或；
当时，，令，则，
解得：或，
函数图象与轴的另一个交点的坐标为；
当时，，令，则，
解得：或，
函数图象与轴的另一个交点的坐标为；
函数图象与轴的另一个公共点的坐标为；
（2）的顶点坐标为，
设函数，
，
函数，关于直线对称，
，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
当时，函数有最小值为，
，
时，函数有最大值为，
当时，函数顶点纵坐标的取值范围是，
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
13．（2023秋•五华区校级月考）如图所示，过点的抛物线与一次函数交于点和点．
（1）求抛物线与一次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）求的周长和面积．
【分析】（1）先将点代入一次函数解析式得出，进而令，得出的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式，即可求解：
（2）根据勾股定理求得，的距离，根据点的坐标得出的长，进而根据三角形的面积与周长公式进行计算即可求解
【解答】解：（1）一次函数交于点，
，
．
当时，，解得：，
，
，
设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得：，
抛物线解析式为，
，
（2），，．，
，，，
的周长为；
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
四．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
14．（2024•从江县校级二模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【分析】该函数开口方向向下，则，由对称轴可知，，与轴交点在轴正半轴，则，再根据一些特殊点，比如，，顶点等进行判断即可．
【解答】解：函数开口方向向下，，
对称轴为，则，
，
与轴交点在轴正半轴，
，
，故③正确；
当时，，即，故②正确；
当时，，故①正确；
由抛物线的对称性可知，当与时值相同，此时，故④错误．
综上，正确的个数有三个．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当越大时，抛物线开口越小，反之，则越大；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
15．（2024•旺苍县三模）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则．再结合对称轴，得．据二次函数图象与轴正半轴相交得；
②由于二次函数图象与轴交于不同两点，则，即；
③由，得，当时，，即，所以，把替换成计算；
④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；
⑤将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．
【解答】解：图象开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，与异号，
，
与轴交于正半轴，
，
，
故①错误；
二次函数图象与轴交于不同两点，则△．
．
故②错误；
，
．
又当时，．
即．
．
．
．
故③正确；
时函数有最大值，
当时的值大于当时的值，
即
成立，
故④正确．
将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．
16．（2024•合江县二模）如图是二次函数图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④；⑤；⑥若两点，，在二次函数图象上，则，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由二次函数的图象可知：，，
由对称轴可知：，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，故②错误；
③由图象可知，时，，
而关于直线的对称点为，
当时，，
，故③正确；
④由图象可知抛物线与轴有两个交点，
故△，
，故④错误；
⑤，
，
关于直线的对称点为，且时，，
时，，
，
，
，故⑤错误；
⑥抛物线开口向下，且点到直线的距离大于点到直线的距离，
，故⑥错误；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
17．（2024•榕江县校级二模）已知二次函数为常数）的图象经过点，，则，的大小关系是
A．B．C．D．与的值有关
【分析】根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据，两点与对称轴的关系即可解决问题．
【解答】解： 为常数）的对称轴为直线．
，
，两点对称，
．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
18．（2024•二七区校级四模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【解答】解：，
二次函数的开口向下，对称轴是直线，
时，随的增大而减小，
点关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．
19．（2024•东城区校级三模）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数，可以得到该函数图象的对称轴为直线，再根据，，三点都在二次函数的图象上和二次函数的性质，即可判断，，的大小关系．
【解答】解：，
抛物线开口向下，
二次函数，
抛物线对称轴为，
抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
，，三点都在二次函数的图象上，，，，
，
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
六．二次函数图象与几何变换（共2小题）
20．（2024•柳北区校级四模）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线
A．B．C．D．
【分析】根据“左加右减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键．
21．（2024•呼兰区校级一模）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式是
A．B．C．D．
【分析】抛物线平移不改变的值，利用平移规律解答即可．
【解答】解：原抛物线的顶点为，向右平移3个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为．可设新抛物线的解析式为，代入得．
故选：．
【点评】主要考查了函数图象的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
七．二次函数的最值（共2小题）
22．（2024•龙马潭区二模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如点，，，，，，都是和谐点．若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，，当时，函数的最小值为，最大值为1，的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据和谐点的概念令，即，由题意，△，即，方程的根为，从而求得，，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据的取值，即可确定的取值范围．
【解答】解：令，即，
由题意，△，即，
又方程的根为，
解得，．
故函数，
如图，该函数图象顶点为，与轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点．
由于函数图象在对称轴直线左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为1，
，
故选：．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
23．（2024春•九龙坡区校级期末）当时，二次函数的最小值为15，则的值为
A．或8B．8C．6D．或6
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值15，
或，
或，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
24．（2024•海宁市三模）已知二次函数的图象经过点，，，，．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当时，
①若，求的取值范围；
②设直线的函数表达式为，求的最大值．
【分析】（1）依据题意，由抛物线过，从而可得，求得的值后即可判断得解；
（2）①依据题意，由抛物线过，，，，从而，，可得，又，即，故，且，又，可得或，进而可得或，从而可得或，进而可得的范围；
②依据题意，将点，，，代入，可得，故可得，再代入，可得，即，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，抛物线过，
．
．
二次函数的函数表达式为．
（2）①由题意，抛物线过，，，，
，．
．
又，即，
，．
，
或．
又，
或．
或．
或．
．
．
②由题意，将点，，，代入，
．
．
．
．
将代入，
．
．
当时，取得最大值为4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能领运用二次函数的性质是关键．
25．（2024•西湖区校级二模）已知二次函数，是实数，．
（1）若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，；
（3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围．
【分析】（1）将点，代入二次函数上，即可得出、 的值，再化成顶点式即可得出答案；
（2）由对称轴为直线，可得，进而可得出，由已知条件可得，进而可以得出答案；
（3）由题意得，，再由过点可得，解得的范围，再结合求解即可．
【解答】解：（1）点，在二次函数上，
，
解得：，
二次函数的表达式为，
，
顶点坐标为，
综上所述：二次函数的表达式为，顶点坐标为．
（2）对称轴为直线，
，
，
，
当时，即，
，
，
，，
当，时，．
（3）由题意，
二次函数满足当时，总有随的增大而减小，
，，
，
二次函数过点，
，，
，
又，
．
．
，
，
又，
，
．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
九．二次函数的三种形式（共3小题）
26．（2024•交口县模拟）用配方法将二次函数化为的形式为
A．B．C．D．
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
27．（2024•武威二模）将二次函数用配方法化成的形式为 ．
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
28．（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当取何值时，随的增大而减少？
（4）当取何值时，，，，
（5）当时，求的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
【分析】（1）直接利用配方法得出函数顶点式即可；
（2）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象；
（3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案；
（4）利用函数图象得出答案即可；
（5）利用以及是求出函数值进而得出答案；
（6）利用函数图象得出三角形面积即可．
【解答】解：（1）
；
（2）当，则，
解得：，，
故图象与轴交点坐标为：，，
当，，
故图象与轴交点坐标为：，
如图所示：
；
（3）当时，随的增大而减少；
（4）当或3时，，
当或时，，
当时；；
（5）当时，
时，，时，，
故的取值范围是：；
（6）如图所示：
函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：．
【点评】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求法，正确画出函数图象是解题关键．
一十．抛物线与x轴的交点（共2小题）
29．（2024•辽宁一模）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为
A．B．或C．或D．
【分析】由题意得：△，求得，再分类求解即可．
【解答】解：由题意得：△，
解得：，
当时，
则时，取得最小值，
即，则（舍去）；
当时，
则时，取得最小值，
即，则；
当时，
当时，取得最小值，
即，
方程无解，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线和轴的交点，分类求解是本题解题的关键．
30．（2024•贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，随的增大而减小
D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断．
【解答】解：选项顶点坐标为，对称轴为，故选项错误；
选项：由对称性可知，关于对称的点为，故选项错误；
选项：开口向下，当时，随的增大而增大，故选项错误；
选项：设二次函数解析式为，将代入得，，令得
，二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数基础知识是解题的关键．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
31．（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为
A．B．C．D．
【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论．
【解答】解：当时，；当时，．
一元二次方程的一个近似解的范围为．
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
32．（2023秋•蜀山区校级月考）根据下列表格中二次函数，，，为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是
A．B．
C．D．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得方程的一个解的范围．
【解答】解：由表格可得，
当时，；当时，；
方程的一个解的范围是，
故选：．
【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，解答本题的明确题意，求出的取值范围．
一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共2小题）
33．（2024•庐阳区校级四模）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0.25
0.76
0.01
0.04
与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元关于的函数关系式为
A．B．
C．D．
【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出关于的函数关系式．
【解答】解：该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，
该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元．
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
34．（2024•西平县三模）如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为
A．B．C．D．
【分析】根据铁丝的长度及弯成的长方形的一边长，可得出与该边相邻的一边长为，利用长方形的面积公式，即可找出与之间的函数关系式．
【解答】解：铁丝的长度为，且弯成的长方形的一边长为 ，
与该边相邻的一边长为．
根据题意得：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．
一十三．二次函数的应用（共2小题）
35．（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一
级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为，
①直接写出，的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为，分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得和的值；
②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的的值，相减即为两个位置间的距离；
（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为．用表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为时和的值，进而结合抛物线开口向下可得的取值范围．
【解答】解：（1）①经过点，
．
解得：．
经过点，
．
解得：；
②由①得：
．
火箭运行的最高点是．
．
．
整理得：．
解得：（不合题意，舍去），．
由①得：．
．
解得：．
．
答：这两个位置之间的距离为；
（2）当时，．
火箭第二级的引发点的坐标为．
设火箭落地点与发射点的水平距离为．
经过点，
．
解得：．
时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过时的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是时的值．
36．（2024•榕城区校级三模）【综合与实践】
为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，为球台，
为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点作平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，段抛物线的表达式为，设段抛物线的表达式为．
（1）①点的坐标为 ；
②用含的式子表示：点的坐标为 ；点的坐标为 ；
（2）当球在球网正上方时到达最高点，求此时球与的距离；
（3）若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍在解处正上方如线段，，，将球拍向前水平推出接球，如果接住了球，求的取值范围．
【分析】（1）①依题意求得点坐标；
②再求抛物线与轴交点即可；
（2）先求出解析式，再求得球与的距离；
（3）将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【解答】解：（1）①为中点，，
，
，
故答案为：；
②，是轴与抛物线的交点，
令，则，
解得：，，
，，
故答案为：，；
（2）段抛物线与轴交于，，
段抛物线的对称轴为直线：，
当球在上方到达最高点时，即，
，
段抛物线为，
当 时，，
，
球与的距离为；
（3）球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，
球过且最高点为1.25，
，
解得或14（舍，
，
当时，则，
解得：或21．
又，
，，
．
【点评】本题考查了二次函数的性质及应用．需认真审题，完成由实际问题到理论知识的转化，才能顺利解题．
一十四．二次函数综合题（共2小题）
37．（2024•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的最大值与最小值的差；
（3）为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，设的面积为，的面积为，求的最大值，并求出点的坐标．
【分析】（1）由的待定系数法即可求解；
（2）当时，取得最大值为4，当时，取得最小值为0，即可求解；
（3）由，即可求解．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点，
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，
当时，取得最大值为4，
当时，取得最小值为0，
故的最大值与最小值的差为；
（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
过点作轴交于点，
设点，则点，
，
则的最大值为，此时，点，．
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到面积的计算、函数的最值确定，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
38．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
【分析】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解；
（2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0，即可求解．
【解答】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6，
则，解得：
即b、c的值分别为2、﹣8；
②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，
方程无解；
当t＞﹣1时，y的最小值为﹣9，最大值为t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
（2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，
∴3x2+x2＝﹣b，
∴x2＝﹣b，
∴（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0，
∴c＝b2，
∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3，
∴．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的定义，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．
【解答】解：．函数，是一次函数，故本选项不符合题意；
．函数，是一次函数，故本选项不符合题意；
．函数，是二次函数，故本选项符合题意；
．函数，不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义（形如，其中、、为常数，的函数叫二次函数．
2．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
3．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故选：．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
4．对二次函数的性质描述正确的是
A．函数图象开口朝下
B．当时，随的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在轴左侧
D．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【解答】解：二次函数，对称轴为直线．
、，开口向上，本选项不符合题意；
、当时，随的增大而增大，本选项不符合题意；
、该函数图象的对称轴在轴左侧，本选项符合题意；
、该函数图象与轴的交点为，位于轴，正半轴，本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A．B．
C．D．
【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知，关于的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，即，．
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
7．二次函数，、为常数）的图象经过，，，四点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】先根据二次函数的图象经过，，求出对称轴，再根据函数图象判断即可．
【解答】解：二次函数的图象经过，，
二次函数对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，的大小关系为．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够找出对称轴和掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的，两处安装警示灯，则警示灯距离水面的距离为
A．8.4米B．9.6米C．10.4米D．11.6米
【分析】依据题意，由米，从而的横坐标为4，又在函数上，故可由时，求得，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，米，
的横坐标为4．
又在函数上，
当时，．
警示灯距离水面的距离为9.6米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握其性质是解决此题的关键．
9．如图，点，，，分别是正方形的边，，，上的点，且，设，四边形的面积为，则与的函数图象可能为
A．B．
C．D．
【分析】本题需先设正方形的边长为，然后得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的函数图象是．
故选：．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，、，，其中，有下列结论：①；②；③；④当为任意实数时，；⑤．其中，正确的结论有
A．②③④B．①③⑤C．②④⑤D．①③④
【分析】①根据函数图象和轴的交点个数与的关系进行判断；
②判断横坐标为的点的纵坐标的位置进行判断；
③根据点的对称性，由，确定的取值范围；
④由时，函数取最小值为，得，进而判断；
⑤由时，，与对称轴结合进行判断．
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
，故①正确；
该函数图象的对称轴是直线，当时的函数值小于，
时的函数值和时的函数值相等，都小于，
，故②错误；
该函数图象的对称轴是直线，与轴的交点为，、，，其中，
，故③正确；
当时，该函数取得最小值，
当为任意实数时，则，即，故④正确；
，
，
时，，
，故⑤错误；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题）
11．抛物线顶点坐标是 ．
【分析】将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案．
【解答】解：，
抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将抛物线的一般式配方成顶点式．
12．抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ．
【分析】根据表格找出抛物线对称轴，然后结合抛物线与轴的一个交点的坐标是，计算出抛物线与轴的另一个交点坐标．
【解答】解：由图表可知，横坐标和对应的纵坐标均为，
则抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点的坐标是，
抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，
则抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，根据表格判断出抛物线的对称轴是解题关键．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米关于滑行的时间（秒的函数解析式是，无人机着陆后滑行 20 秒才能停下来．
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出最大时对应的值．
【解答】解：由题意得，
，
，
时，飞机滑行的距离最大，
即当秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动．过点作轴于点，以
0
2
4
1
0
为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 1 ．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再根据矩形的性质得，由于的长等于点的纵坐标，所以当点在抛物线的顶点时，点到轴的距离最小，最小值为1，从而得到的最小值．
【解答】解：，
抛物线的顶点坐标为，
四边形为矩形，
，
而轴，
的长等于点的纵坐标，
当点在抛物线的顶点时，点到轴的距离最小，最小值为1，
对角线的最小值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
15．抛物线与轴交于两点，分别是，，，，则 2 ．
【分析】用韦达定理求解即可．
【解答】解：由韦达定理得：
，
故答案为2．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生熟练运用韦达定理．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 10 ．
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可．
【解答】解：
当时，得：，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数是二次函数；
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据形如函数是二次函数，可得答案．
（2）化成顶点是，根据二次函数的性质得到开口方向、对称轴及顶点坐标．
【解答】解：（1）由题意：，
解得，
时，函数是二次函数．
（2）二次函数的解析式为，
这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数；也考查了二次函数的性质．
18．已知抛物线与轴相交于点和，与轴的交点为，求的面积．
【分析】根据抛物线与轴交于点，可以求得的值；解方程可求得与轴的另一个交点为点，与轴的交点为，可以求得点和点的坐标，从而可以求得的面积．
【解答】解：抛物线与轴交于点，
，
解得，，
抛物线；
当时，
，
解得，，，
故点的坐标为，
当时，，即点的坐标为，
的面积．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与几何的综合等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键．
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料，
①设计一种砌法，使矩形花园的面积为；
②请设计一种砌法，使矩形花园的面积最大．
【分析】（1）设为，则为，根据三角形面积公式得到相应的一元二次方程，解方程即可得到结果；
（2）设为，矩形花园的面积为，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，即可求得结果，注意求出的边长要符合题意．
【解答】解：（1）设为，则为，
，
解得，，，
当时（不合题意，舍去），
当时（符合题意），
答：当砌墙宽为15米，长为30米时，花园面积为；
（2）设为，矩形花园的面积为，
则，
，故有最大值，
时，此时取得最大值，
，符合题意，
此时，
即当砌墙的宽为，长为时，矩形花园的面积最大．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式．
20．如图，二次函数的图象与轴交于、 两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象写出时，的取值范围．
【分析】（1）把，分别代入得到关于、的方程组，求出、即可；
（2）令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标；
（3）观察图象可得当或，抛物线都在直线的上方，即．
【解答】解：（1）由二次函数的图象经过、两点，
得，
解这个方程组，得，
抛物线的解析式为；
（2）令，得，
解这个方程，得，，
此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为；
（3）当或，．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为、、为常数，，再把抛物线上三个点的坐标代入得到、、的三元一次方程组，解方程组可确定二次函数的解析式．也考查了抛物线与轴的交点坐标以及二次函数与不等式．
21．如图，已知抛物线的顶点在轴的正半轴上，直线与轴交于点，抛物线经过点的且与直线交于另一点．
（1）①的坐标 ， ．
②求的值与点的坐标．
（2）连结，若将该抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点在内部（不包括三角形的边界），求的取值范围．
【分析】（1）①由直线与轴交于点，即可求得，代入即可求得，即可求得；②根据题意得到，△，解得，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；
（2）待定系数法求得直线的解析式，即可求得抛物线对称轴与直线、的交点坐标，根据交点坐标，借助图象即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）①直线与轴交于点，
，
抛物线经过点，
，
；
故答案为：，9；
②抛物线的顶点在轴的正半轴上，
，△，
解得，
抛物线为，
由解得或，
；
（2）设的解析式为，
，
，
解得，
的解析式为，
抛物线，
顶点坐标是
与抛物线对称轴的交点坐标，直线与抛物线对称轴的交点坐标是，
由图象可知，的取值范围是，
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
22．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元，每日销售量与销售单价（元满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设公司销售板栗的日获利为（元．
（1）直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式为 ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得关于的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得关于的一元二次方程，求得方程的根，再结合的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，
把，和，代入得：
，
解得：，
日销售量与销售单价之间的函数关系式为；
（2）由题意得：
，
，对称轴为直线．
当时，有最大值为48400元．
当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为48400元；
（3）当元时，有：，
，，
，
当时，，
又，
当时，日获利不低于42000元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面
（元
7
8
9
4300
4200
4100
的距离为．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为，再把代入，求出的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与作比较即可．
【解答】解：（1）如图，以所在直线为轴，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
根据题意得，，，
设抛物线的解析式为，把代入，得：
，
解得：．
抛物线的解析式为．
（2）根据题意，把代入解析式，
得．
，
货运卡车能通过．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
24．如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值？
（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形？若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线经过点，，三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得，即，表示点到的距离，又由，即可求得平行四边形的面积与之间的函数关系式，结合图象，求得自变量的取值范围；
（3）由当，且时，平行四边形是正方形，可得此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上，故可判定存在点，使平行四边形为正方形．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为，
抛物线经过点，，三点，则由题意可得：
，解得．
所求抛物线的解析式为：．
（2）点是抛物线上一动点，且在轴下方，
，
即，表示点到的距离．
是平行四边形的对角线，
，
与之间的函数关系式为：，的最大值为．
（3）当，且时，平行四边形是正方形，
此时点坐标只能，，而坐标为，点在抛物线上，
存在点，，使平行四边形为正方形，
此时点坐标为，．
【点评】此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法、平行四边形的性质以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．