2025-2026 专题02 二次函数（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版（不含答案）-

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知识点01 二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.
(2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.
(3)三类解析式
一般式：(a、b、c是常数，)；
顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
知识点02 待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
知识点03 二次函数的图象与性质
知识点04 二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.
(2)、b的符号共同决定对称轴的位置
当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
知识点05 二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：
(2)图象的对称：化成顶点式，结合图象，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
知识点06 二次函数与一元二次方程
二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
知识点07 二次函数与不等式
(1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
(2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.
知识点08 二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
题型一 二次函数有关概念
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4D．y＝（x+1）2﹣x2
【典例2】已知y=a+2x2-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a=2B．a≠2C．a=-2D．a≠-2
【典例3】把y=3-3x6+x变成一般式，它的常数项为 ．
【变式1】已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a≠2C．a≥2D．a≠﹣2
【变式2】若关于x的函数 y=2-ax2-x是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【变式3】把y=2-3x6+x变成一般式，它的常数项为 ．
题型二 待定系数法求二次函数的解析式
【典例1】如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+2B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【典例2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是 ．
【变式1】已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（ ）
A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．无法确定
【变式2】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2+3
【变式3】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
题型三 二次函数的图象与性质
【典例1】二次函数y=3x−12−2图象的顶点坐标为（ ）
A．−1,−2B．1,2C．−1,2D．1,−2
【典例2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx−a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y=ax2−bx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】已知一个二次函数y=ax2+bx−3图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示．
(1)求m的值．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）．
(3)根据图象，直接写出当−2mam+b（m≠1的实数）
题型五 二次函数图象的变换
【典例1】将抛物线y=x−12+2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=x−32+5B．y=x+12−1
C．y=x−32−1D．y=x+12+5
【典例2】将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（ ）
A．（3，6）B．（﹣3，6）C．（1，0）D．（﹣1，6）
【变式1】将抛物线y=x2−6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=(x−4)2−6 B．y=(x−1)2−3
C．y=(x−2)2−2 D．y=(x−4)2−2
【变式2】抛物线y=−12(x+1)2−1可以由抛物线y=−12x2（ ）得到．
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
题型六 二次函数与一元二次方程
【典例1】若二次函数y=kx2−k−3x−4的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为 ．
【典例2】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么b2−4ac 0．（用>，0) 有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程 ax2+bx+c+n=0(0