第2部分-预习-第25讲 第22章 二次函数全章复习与测试（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

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一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
六．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
七．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
八．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
九．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
十一．二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值．
对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），
a＞0时，
当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值
当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值
当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值
当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值
a＜0时，
同样进行分类讨论．
一．二次函数的定义（共3小题）
1．（2024•秦都区校级一模）下列函数中，关于的二次函数是
A．B．C．D．
2．（2024•西城区二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件进价（元的关系．
A．①B．②C．③D．①③
3．（2024•旺苍县一模）已知是二次函数，则的值为
A．0B．1C．D．1或
二．二次函数的图象（共3小题）
4．（2024春•海淀区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为
A．B．
C．D．
5．（2024•龙华区校级模拟）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
6．（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
三．二次函数的性质（共7小题）
7．（2024春•丰城市校级月考）在二次函数的图象中，若随的增大而减小，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2024•涟水县模拟）二次函数的对称轴是
A．直线B．直线C．直线D．直线
9．（2024春•娄星区校级月考）二次函数的图象的顶点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（2024春•海淀区校级期末）若点，，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“”连接）．
11．（2024•郫都区模拟）新定义：对于三个数、、，我们用，，表示这三个数中最大的数，如：，0，．若直线与函数，，的图象有且只有2个交点，则的取值范围为 ．
12．（2024春•浦口区校级月考）函数．
（1）当点在函数的图象上时，求函数图象与轴的另一个公共点的坐标以及的值；
（2）当时，直接写出函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
13．（2023秋•五华区校级月考）如图所示，过点的抛物线与一次函数交于点和点．
（1）求抛物线与一次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）求的周长和面积．
四．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
14．（2024•从江县校级二模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
15．（2024•旺苍县三模）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有
A．2个B．3个C．4个D．5个
16．（2024•合江县二模）如图是二次函数图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④；⑤；⑥若两点，，在二次函数图象上，则，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
五．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
17．（2024•榕江县校级二模）已知二次函数为常数）的图象经过点，，则，的大小关系是
A．B．C．D．与的值有关
18．（2024•二七区校级四模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
19．（2024•东城区校级三模）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
六．二次函数图象与几何变换（共2小题）
20．（2024•柳北区校级四模）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线
A．B．C．D．
21．（2024•呼兰区校级一模）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式是
A．B．C．D．
七．二次函数的最值（共2小题）
22．（2024•龙马潭区二模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如点，，，，，，都是和谐点．若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，，当时，函数的最小值为，最大值为1，的取值范围是
A．B．C．D．
23．（2024春•九龙坡区校级期末）当时，二次函数的最小值为15，则的值为
A．或8B．8C．6D．或6
八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
24．（2024•海宁市三模）已知二次函数的图象经过点，，，，．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当时，
①若，求的取值范围；
②设直线的函数表达式为，求的最大值．
25．（2024•西湖区校级二模）已知二次函数，是实数，．
（1）若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，；
（3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围．
九．二次函数的三种形式（共3小题）
26．（2024•交口县模拟）用配方法将二次函数化为的形式为
A．B．C．D．
27．（2024•武威二模）将二次函数用配方法化成的形式为 ．
28．（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当取何值时，随的增大而减少？
（4）当取何值时，，，，
（5）当时，求的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
一十．抛物线与x轴的交点（共2小题）
29．（2024•辽宁一模）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为
A．B．或C．或D．
30．（2024•贵州）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，随的增大而减小
D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
31．（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为
A．B．C．D．
32．（2023秋•蜀山区校级月考）根据下列表格中二次函数，，，为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是
A．B．
C．D．
一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共2小题）
33．（2024•庐阳区校级四模）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元关于的函数关系式为
A．B．
C．D．
34．（2024•西平县三模）如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0.25
0.76
0.01
0.04
A．B．C．D．
一十三．二次函数的应用（共2小题）
35．（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为，
①直接写出，的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
36．（2024•榕城区校级三模）【综合与实践】
为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点作平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，段抛物线的表达式为，设段抛物线的表达式
为．
（1）①点的坐标为 ；
②用含的式子表示：点的坐标为 ；点的坐标为 ；
（2）当球在球网正上方时到达最高点，求此时球与的距离；
（3）若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍在解处正上方如线段，，，将球拍向前水平推出接球，如果接住了球，求的取值范围．
一十四．二次函数综合题（共2小题）
37．（2024•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的最大值与最小值的差；
（3）为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，设的面积为，的面积为，求的最大值，并求出点的坐标．
38．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠
x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
3．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
4．对二次函数的性质描述正确的是
A．函数图象开口朝下
B．当时，随的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在轴左侧
D．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A．B．
C．D．
6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为
A．，B．，C．，D．，
7．二次函数，、为常数）的图象经过，，，四点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
8．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的，两处安装警示灯，则警示灯距离水面的距离为
A．8.4米B．9.6米C．10.4米D．11.6米
9．如图，点，，，分别是正方形的边，，，上的点，且
，设，四边形的面积为，则与的函数图象可能为
A．B．
C．D．
10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，、，，其中，有下列结论：①；②；③；④当为任意实数时，；⑤．其中，正确的结论有
A．②③④B．①③⑤C．②④⑤D．①③④
二．填空题（共6小题）
11．抛物线顶点坐标是 ．
12．抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米关于滑行的时间（秒的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
14．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动．过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 ．
0
2
4
1
0
15．抛物线与轴交于两点，分别是，，，，则 ．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数是二次函数；
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．已知抛物线与轴相交于点和，与轴的交点为，求的面积．
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料，
①设计一种砌法，使矩形花园的面积为；
②请设计一种砌法，使矩形花园的面积最大．
20．如图，二次函数的图象与轴交于、 两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象写出时，的取值范围．
21．如图，已知抛物线的顶点在轴的正半轴上，直线与轴交于点，抛物线经过点的且与直线交于另一点．
（1）①的坐标 ， ．
②求的值与点的坐标．
（2）连结，若将该抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点在内部（不包括三角形的边界），求的取值范围．
22．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元，每日销售量与销售单价（元满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设公司销售板栗的日获利为（元．
（1）直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式为 ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
（元
7
8
9
4300
4200
4100
24．如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值？
（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形？若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由．