2025年小升初数学核心考点讲练(通用版)专题38分数综合性问题(学生版+解析)

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（思维导图+知识梳理+45道真题特训）
一、分数加减法
1、分数加减法与整数加减法的意义完全相同，在应用题中的关系也有很多相同的地方。
2、分数加减法应用题的难点在于有时候分数表示与单位1相对应的分率．判断的标准是看有没有单位，注意单位1。
3、最后按照分数加减法的方法直接计算得出结果。
二、分数乘法
1、分数乘法问题。
指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题．
2、特征。已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量
3、解题关键。准确判断单位“1”的量，找准要求问题所对应的分率，然后，根据一个数乘分数的意义正确列式．
三、分数除法
1、分数除法。
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
2、特征。
已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
3、解题关键。
从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。
甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。
甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。
已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。
一、填空题
1．和风小学六年级人数是五年级人数的，五年级与六年级人数的比是（ ）；四年级人数比五年级人数多，四年级人数和五年级人数比是（ ）。
【答案】9∶8 7∶5
【分析】和风小学六年级人数是五年级人数的，把五年级人数看作单位“1”，则六年级人数为1×＝，用1∶化简即可求出五年级与六年级人数的比；四年级人数比五年级人数多，五年级人数看作单位“1”，则四年级人数为1×（1＋）＝，用∶1化简即可求出四年级人数和五年级人数比；据此解答即可。
【解答】1∶
＝（1×9）∶（×9）
＝9∶8
1×（1＋）
＝1×
＝
∶1
＝（×5）∶（1×5）
＝7∶5
所以，和风小学六年级人数是五年级人数的，五年级与六年级人数的比是9∶8；四年级人数比五年级人数多，四年级人数和五年级人数比是7∶5。
2．某小学的六年级共有学生150名，从中选出男生的与14名女生去参加元旦演出，则剩下的男生人数与女生人数的比是3∶4，该小学六年级共有（ ）名男生。
【答案】72
【分析】由题可知的单位“1”是男生人数，数量未知，所以设男生人数有x名，则女生人数有（150－x）名；选出男生（即x名）后，剩下x名，选出14名女生后，剩下（150－x－14）名；已知剩下的男生人数与女生人数的比是3∶4，根据剩下男生、女生人数的比列比例，根据比例的基本性质解比例。
【解答】解：设该小学六年级共有x名男生，则女生有（150－x）名。
（x－x）∶（150－x－14）＝3∶4
x∶（136－x）＝3∶4
3×（136－x）＝x×4
408－3x＝x
1224－9x＝8x
17x＝1224
17x÷17＝1224÷17
x＝72
所以该小学六年级共有72名男生。
【点评】本题关键在于通过设未知数，分别表示出剩下的男生和女生人数，再利用剩下男、女生人数的比例关系建立方程求解。这种通过数量关系建立等式的方程思想是解决此类问题的核心。
3．土星是太阳系八大行星之一，它的赤道周长约是38万千米。天王星的赤道周长约是土星的，地球的赤道周长约是天王星的，地球的赤道周长约是（ ）万千米。
【答案】4
【分析】已知土星的赤道周长约是38万千米，天王星的赤道周长约是土星的，把土星的赤道周长看作单位“1”，单位“1”已知，用土星的赤道周长乘，求出天王星的赤道周长；
已知地球的赤道周长约是天王星的，把天王星的赤道周长看作单位“1”，单位“1”已知，用天王星的赤道周长乘，求出地球的赤道周长。
【解答】38××
＝16×
＝4（万千米）
地球的赤道周长约是4万千米。
4．希望小学组织1200名学生观看“防溺水”教育宣传片，观看后有的学生能够基本掌握防溺水相关知识，而基本掌握的学生中又有的学生能够熟练背诵“防溺水六不准”，那么能熟练背诵“防溺水六不准”的学生有（ ）人。
【答案】300
【分析】已知共有1200名学生观看“防溺水”教育宣传片，观看后有的学生能够基本掌握防溺水相关知识，把观看的总人数看作单位“1”，单位“1”已知，用总人数乘，求出能够基本掌握防溺水相关知识的学生人数；
已知基本掌握的学生中又有的学生能够熟练背诵“防溺水六不准”，把能够基本掌握防溺水相关知识的学生人数看作单位“1”，单位“1”已知，用能够基本掌握防溺水相关知识的学生人数乘，求出能熟练背诵“防溺水六不准”的学生人数。
【解答】1200××
＝900×
＝300（人）
那么能熟练背诵“防溺水六不准”的学生有300人。
5．快递员李叔叔要为客户派送96个包裹，他第一小时派送了这些包裹的，第二小时派送了余下包裹的，李叔叔还有（ ）个包裹没有派送。
【答案】60
【分析】由题意可知，把108个包裹看作单位“1”，由于送了这些包裹的，则还剩下这些包裹的1－没送，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即可求出没送的包裹，把余下的包裹数量看作单位“1”，用同样的方法可求出还没有派送的包裹数量。据此解答。
【解答】
（个）
快递员李叔叔要为客户派送96个包裹，他第一小时派送了这些包裹的，第二小时派送了余下包裹的，李叔叔还有60个包裹没有派送。
6．45千克减少千克后是（ ）千克，45千克减少它的后是（ ）千克。
【答案】/ 30
【分析】第一问求一个具体量减少后的值，用减法计算即可；第二问，由题意可知，把45千克看作单位“1”，减少它的，即，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可得解。
【解答】（千克）
（千克）
45千克减少千克后是（或）千克，45千克减少它的后是30千克。
7．学校轮滑社团有学生40人，参加烹饪社团的人数比轮滑社团的多，参加烹饪社团的学生有（ ）人。
【答案】55
【分析】把学校轮滑社团的学生人数看作“1”，则烹饪社团的学生是轮滑社团人数的（1＋），由此用乘法解答即可。
【解答】40×（1＋）
＝40×
＝55（人）
故参加烹饪社团的学生有55人。
8．笑笑计划3天看完一本140页的故事书。第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，第三天还要看（ ）页才能看完这本故事书。
【答案】56
【分析】第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，则第二天看了全书的×＝。把全书的总页数看作单位“1”，则第三天看的页数应是全书总页数的（1－－），已知总页数是140页，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用140乘（1－－）即可求出第三天看的页数。
【解答】140×（1－－×）
＝140×（1－－）
＝140×
＝56（页）
则第三天还要看56页才能看完这本故事书。
9．一个圆柱形木块，削去6立方分米后，正好削成一个最大的圆锥，原来这个木块的体积是（ ）立方分米。
【答案】9
【分析】根据题意，一个圆柱形木块，削去6立方分米后，正好削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高；因为圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的6立方分米是圆柱体积的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出圆柱的体积。
【解答】6÷（1－）
＝6÷
＝6×
＝9（立方分米）
原来这个木块的体积是9立方分米。
10．中国二十四节气中的“冬至”是一年中白昼最短、黑夜最长的一天。这一天，某地区的白昼时间是黑夜的。该地区这天黑夜时间有（ ）小时。
【答案】14
【分析】已知一天有24小时，某地区的白昼时间是黑夜的，把黑夜的时间看作单位“1”，则全天时间是黑夜的（1＋），单位“1”未知，用全天时间除以（1＋），求出黑夜时间。
【解答】24÷（1＋）
＝24÷
＝24×
＝14（小时）
该地区这天黑夜时间有14小时。
11．随着疫情防控进入常态化阶段，复工复产全面推进，国内需求加快释放，为外贸企业转内销提供了机遇，某外贸公司生产的航空湿巾八月的销售量比七月增加，已知该外贸公司八月航空湿巾的销售量为2800包，该外贸公司七月航空湿巾的销售量为（ ）包。
【答案】2000
【分析】已知八月航空湿巾的销售量为2800包，比七月增加，把七月航空湿巾的销售量看作单位“1”，则八月的销售量是七月的（1＋），单位“1”未知，用八月航空湿巾的销售量除以（1＋），求出七月航空湿巾的销售量。
【解答】2800÷（1＋）
＝2800÷
＝2800×
＝2000（包）
该外贸公司七月航空湿巾的销售量为2000包。
12．嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。据了解，嫦娥五号预选着陆区南北宽约120千米，比东西长约短，嫦娥五号预选着陆区东西长约（ ）千米。
【答案】450
【分析】着陆区南北宽比东西长约短，以东西长为单位“1”，等量关系为东西长×南北宽，根据等量关系列方程。再根据等式的性质“等式两边同时除以一个数等式不变”解方程即可。
【解答】设嫦娥五号预选着陆区东西长约x千米。
嫦娥五号预选着陆区东西长约450千米。
13．小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，第三天看了60页，刚好把书看完，这本书共有（ ）页。
【答案】270
【分析】把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的，则还剩下。再把剩下部分看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用剩下部分乘就是第二天看的部分所占的分率，进而求出第三天看的页数60页占全书的几分之几，已知一个数的几分之几求这个数用除法。
【解答】
（页）
则这本书共有270页。
14．抢红包是微信群里一项有趣的活动，在奶奶60岁生日宴会上，玲玲和琳琳一共抢到了65元红包，已知玲玲抢到的红包钱数是琳琳的，那么玲玲抢到了（ ）元红包，琳琳抢到了（ ）元红包。
【答案】25 40
【分析】已知玲玲抢到的红包钱数是琳琳的，把琳琳的红包钱数看作单位“1”，两人一共抢到的红包钱数是琳琳的（1＋），根据分数除法的意义，用两人抢到的总钱数除以（1＋）即可求出琳琳抢到的红包钱数。然后用总钱数减去琳琳抢到的红包钱数，即可求出玲玲抢到的红包钱数。
【解答】琳琳：65÷（1＋）
＝65÷
＝65×
＝40（元）
玲玲：65－40＝25（元）
玲玲抢到了25元红包，琳琳抢到了40元红包。
15．甲、乙两仓库储存的彩电数量之比为7∶3，如果从甲仓库调出30台到乙仓库，那么甲、乙两仓库储存的彩电数量之比为3∶2，原来甲仓库储存彩电（ ）台，乙仓库储存彩电（ ）台。
【答案】210 90
【分析】将甲、乙两仓库的彩电总数量看作单位“1”，原来甲仓库彩电数量是总数量的，从甲仓库调出30台到乙仓库，此时甲仓库彩电数量是总数量的，少了总数量的（－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出甲、乙两仓库的彩电总数量。将比的前后项看成份数，甲、乙两仓库的彩电总数量÷原来总份数，求出一份数，一份数×原来甲仓库份数＝原来甲仓库储存彩电数量，一份数×原来乙仓库份数＝原来乙仓库储存彩电数量，据此解答即可。
【解答】30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷
＝30×10
＝300（台）
300÷（7＋3）
＝300÷10
＝30（台）
原来甲仓库：30×7＝210（台）
原来乙仓库：30×3＝90（台）
所以，原来甲仓库储存彩电210台，乙仓库储存彩电90台。
【点评】将原来甲、乙两仓库储存的彩电数量之比为7∶3转化为甲仓库彩电数量是总数量的，再将现在甲、乙两仓库储存的彩电数量之比为3∶2转化为甲仓库彩电数量是总数量的，最后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出单位“1”的具体数量。
二、选择题
16．两根同样长的铁丝，从第一根上截去米，从第二根上截去它的，余下部分（ ）。
A．第一根长B．第二根长
C．两根一样长D．无法确定
【答案】D
【分析】已知两根同样长的铁丝不知道具体长度，当这两根铁丝等于1米时，从第一根上截去米，从第二根上截去它的，余下的部分一样长；当大于1米时，第二根比第一根截去的长，余下的短；当小于1米时，第二根截去的比第一根截去的短，余下的长，据此解答。
【解答】由于不明确这两根铁丝的具体长度，那么米和第二根铁丝的不能比较出长短关系，所以余下部分也无法比较长短关系。
故答案为：D
17．学校举行劳动技能比赛，如图，六年级有64人参加，四年级有多少人参加？下面列式正确的是（ ）。
A．6B．6
C．6D．6
【答案】A
【分析】求四年级人数，先把六年级人数看作单位“1”，五年级人数是六年级的，用六年级人数×，求出五年级人数，再把五年级人数看作单位“1”，四年级人数是五年级人数的，再用五年级人数×，即64××，据此解答。
【解答】根据分析可知，学校举行劳动技能比赛，如图，六年级有64人参加，四年级有多少人参加？下面列式正确的是64××。
故答案为：A
18．周日豆豆和乐乐一起去图书馆各自买了一些书后，发现两人剩下的钱同样多。豆豆说：我买书用去了所带钱的；乐乐说：我买书用去了所带钱的。那么豆豆所带的钱和乐乐所带钱的比是（ ）。
A．3∶4B．3∶2C．2∶3D．2∶1
【答案】C
【分析】把豆豆带的钱设为X，把乐乐带的钱看作Y，求出豆豆剩的钱为X×（1－），乐乐剩的钱为Y×（1－），由于两人剩下的钱同样多，可列式：X×（1－）＝Y×（1－），再根据比例的性质两内项之积等于两外项之积，求出X与Y的比值，即可求解。
【解答】设豆豆带的钱为X，乐乐带的钱为Y。
X×（1－）＝Y×（1－）
所以， X＝Y。
根据比例的性质可得：
X∶Y＝∶＝2∶3
所以，豆豆所带的钱和乐乐所带钱的比是2∶3。
故答案为：C
19．小玲参加数学竞赛，全卷总题数是24道题，小玲做完了所有的题，做对的题数占总题数的。小玲做错了（ ）道题。
A．10B．8C．6D．4
【答案】C
【分析】把全卷总题数看作单位“1”，小玲做对的题数对应的分率是，则小玲做错的题数对应的分率是，根据做错的题数＝总题数×做错题数对应的分率求解即可。
【解答】
＝
＝6（道）
则小玲做错了6道题。
故答案为：C
【点评】本题考查分数乘法的应用，解答此题的关键是要找出题目中单位“1”，再根据一个数乘分数的意义，列式计算。
20．学校图书馆在世界读书日期间新进了一批图书，其中文学类图书有1200本，科技类图书比文学类多，新进的科技类图书有多少本？正确的列式是（ ）。
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据科技类图书比文学类多，可知：文学类的本数＋文学类的本数×＝科技类的本数，据此列式计算科技类图书的本数。
【解答】1200＋1200×
＝1200＋720
＝1920（本）
因此求新进的科技类图书正确列式为：1200＋1200×。
故答案为：A
21．某小学原来体育测试达标人数与未达标人数的比是，补测时又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的，该小学参加体育测试的一共有（ ）人。
A．240B．560C．600D．800
【答案】D
【分析】将总人数看作单位“1”，根据达标人数与未达标人数的比是，可知达标人数是总人数的，根据达标人数是未达标人数的，可知达标人数是总人数的，因此60名同学的对应分率是（－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式计算即可。
【解答】60÷（－）
＝60÷（－）
＝60÷
＝60×
＝800（人）
该小学参加体育测试的一共有800人。
故答案为：D
22．李大爷养了200只鹅，鹅的数量是鸭的，李大爷养了（ ）只鸭。
A．80B．100C．500D．700
【答案】C
【分析】将鸭的只数看作单位“1”，鹅的只数÷对应分率＝鸭的只数，据此列式计算。
【解答】200÷＝200×＝500（只）
李大爷养了500只鸭。
故答案为：C
23．一套服装，裤子的价格是120元，___________，衣服价格是多少元？”如果解决这个问题的算式是那么横线上可能补充的内容是（ ）。
A．裤子价格比衣服便宜B．裤子价格比衣服贵
C．衣服价格比裤子便宜D．衣服价格比裤子贵
【答案】A
【分析】根据“求比一个数多几分之几或少几分之几的数是多少，用乘法计算；已知比一个数多几分之几或少几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，把各选项的条件填入题目中逐一分析即可解答。
【解答】A．裤子价格比衣服便宜，把衣服的价格看作单位“1”，则裤子的价格是衣服的（1－），根据分数除法的意义，用即可求得衣服价格是多少元，符合题意；
B．裤子价格比衣服贵，把衣服的价格看作单位“1”，则裤子的价格是衣服的（1＋），根据分数除法的意义，用即可求得衣服价格是多少元，不符合题意；
C．衣服价格比裤子便宜，把裤子的价格看作单位“1”，则衣服的价格是裤子的（1－），根据分数乘法的意义，用即可求得衣服价格是多少元，不符合题意；
D．衣服价格比裤子贵，把裤子的价格看作单位“1”，则衣服的价格是裤子的（1＋），根据分数乘法的意义，用即可求得衣服价格是多少元，不符合题意；
故答案为：A
24．“书法小组有30人，___________，航模小组有多少人？”在横线上填入合适的条件，可以用算式“30÷（1－）”来解决，你选择的信息是（ ）。
A．书法小组的人数比航模小组少
B．航模小组的人数比书法小组少
C．书法小组的人数是航模小组的
D．航模小组的人数比书法小组的人数多
【答案】A
【分析】根据分数乘法和分数除法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法；再通过各个选项里单位“1”的确定，把4个选项里的条件代入逐项进行分析，即可解答。
【解答】A．把航模小组的人数看作单位“1”，书法小组的人数是航模小组的（），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用30除以（）计算，该选项可以用算式“”来解决，符合题意；
B．把书法小组的人数看作单位“1”，航模小组的人数是书法小数的（），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用30乘（）计算，该选项不可以用算式“”来解决，不符合题意；
C．把航模小组的人数看作单位“1”，书法小组的人数是航模小组的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用30除以计算，该选项不可以用算术“”来解决，不符合题意；
D．把书法小组的人数看作单位“1”，航模小组的人数是书法小组的（），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用30乘（）计算，该选项不可以用算式“”来解决，不符合题意。
故答案为：A
25．一瓶矿泉水喝了后，还剩375毫升，这瓶矿泉水原来有多少毫升？下面的解答方法中，（ ）是正确的。
A．B．
C．解：设这瓶矿泉水原来x毫升。D．解：设这瓶矿泉水原来x毫升。
【答案】C
【分析】将这瓶矿泉水看作单位“1”，用单位“1”减去喝的分率，求出剩下的分率。单位“1”未知，用剩下的375毫升除以对应分率，即可求出这瓶矿泉水原来有多少毫升。或者用方程解决问题，将这瓶矿泉水原来有的设为x毫升，根据“原有的－喝了的＝剩下的”列方程解题。
【解答】方法一：
375÷（1－）
＝375÷
＝375×
＝500（毫升）
方法二：
解：设这瓶矿泉水原来x毫升。
x－x＝375
（1－）x＝375
x＝375
x÷＝375÷
x＝375×
x＝500
对比选项中的解法，可知A、B列式错误，C的方法是正确的，D列的方程错误。
故答案为：C
26．有一根绳子，第一次剪下一半又1米，第二次剪下剩下的一半又1米，还剩1米。这根绳子原来有多长？（ ）
A．7米B．8米C．9米D．10米
【答案】D
【分析】假设原来有x米，根据题意可列方程为：（x÷2－1）÷2－1＝1，据此解出方程即可。
【解答】解：设绳子原来有x米。
（x÷2－1）÷2－1＝1
（x÷2－1）÷2－1＋1＝1＋1
（x÷2－1）÷2＝2
（x÷2－1）÷2×2＝2×2
x÷2－1＝4
x÷2－1＋1＝4＋1
x÷2＝5
x÷2×2＝5×2
x＝10
绳子原来有10米。
故答案为：D
【点评】本题可用列方程解决问题，也可用逆推法解决问题。
27．甲、乙、丙三根不同的鱼竿，甲与乙的长度之比是6∶5，如果将甲鱼竿的浸入河水里，将丙鱼竿的一部分浸入河水里，甲与丙浸入河水里的长度之比是5∶4，未浸入河水里的那部分鱼竿一样长，则乙、丙两根鱼竿的长度之比是（ ）。
A．6∶5B．24∶25C．13∶15D．25∶26
【答案】D
【分析】已知甲与乙的长度之比是6∶5，则乙鱼竿的长度是甲的；
已知甲与丙浸入河水里的长度之比是5∶4，则丙浸入河水里的长度是甲浸入河水里长度的；
将甲鱼竿的浸入河水里，即甲浸入河水里的长度占甲全长的，那么丙浸入河水里的长度占甲全长的的，即×；
已知甲与丙未浸入河水里的那部分鱼竿一样长，因为甲未浸入河水里的长度是全长的1－＝，所以丙未浸入河水里的长度也是甲全长的；那么丙鱼竿的长度是甲的（×＋）；
根据比的意义可写出乙、丙两根鱼竿的长度之比，并化简比。
【解答】乙鱼竿的长度是甲的：6∶5＝
丙鱼竿的长度是甲的：
×＋（1－）
＝＋
＝＋
＝
乙、丙两根鱼竿的长度之比是：
∶
＝（×30）∶（×30）
＝25∶26
则乙、丙两根鱼竿的长度之比是25∶26。
故答案为：D
【点评】先把比转化成分数，分析出乙、丙鱼竿的长度占甲鱼竿长度的几分之几是解题的关键，再根据比的意义得出它们的长度之比，并化简比。
28．兴旺小学买来480台电脑，其中的分给了6年级，又把分给六年级的分给了6年3班，6年级3班分得电脑（ ）台。
A．80B．96C．16D．26
【答案】C
【分析】把兴旺小学买来的480台电脑看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用480×求出分给六年级的电脑台数，再用六年级的电脑台数乘就是分给6年级3班的台数。
【解答】480××
＝80×
＝16（台）
所以6年级3班分得电脑16台。
故答案为：C
29．某小学共有950名学生，六年级人数占全校的，下面问题（ ）与算式950×（1－）相符合。
A．六年级有多少人？B．其余年级有多少人？
C．其余年级比六年级多多少人？D．其余年级比六年级少多少人？
【答案】B
【分析】把全校总人数看作单位“1”，六年级人数占全校的，则其余年级人数占全校的（）；根据求一个数的几分之几是多少，用全校人数乘（）计算，所得结果即为其余年级的人数是多少人。
【解答】A．六年级有多少人，用（）计算，不符合题意；
B．其余年级有多少人，用计算，符合题意；
C．其余年级比六年级多多少人，用计算，不符合题意；
D．其余年级人数占全校的（），六年级人数占全校的，其余年级的人数比六年级人数多，不符合题意。
故答案为：B
30．有30本故事书，故事书比连环画少，连环画有（ ）本。
A．36B．30C．25D．24
【答案】A
【分析】已知故事书有30本，比连环画少，把连环画的本数看作单位“1”，则故事书的本数是连环画的（1－），单位“1”未知，用故事书的本数除以（1－），求出连环画的本数。
【解答】30÷（1－）
＝30÷
＝30×
＝36（本）
连环画有36本。
故答案为：A
三、解答题
31．《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？
【答案】斗
【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。
【解答】
＝
＝
＝
＝
＝（斗）
答：这个人原来背斗米出关。
【点评】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。
32．《九章算术》是中国古代第一部数学专著。书中记载了这样一个数学问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税，过中关时用剩余米的纳税，过内关时再用剩余米的纳税，最后还剩5斗米。这个人一共背了多少斗米过关卡？
【答案】斗
【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的，最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的，过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的，过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。
【解答】
（斗）
【点评】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。
33．丽丽读一本故事书，第一周看的页数是未看页数的，第二周看了60页，此时未看的页数与整本书页数之比是3∶8，这本书共有多少页？
【答案】120页
【分析】根据题意，第一周看的页数是未看页数的，则未看页数为7份，已看页数为1份，总页数为1＋7＝8份；已看页数占总页数的；由于第二周看了60页，此时未看的页数与整本书页数之比是3∶8，未看的页数占总页数的，则已看的页数占总页数的1－＝，第一周已看页数是总页数的，由此可知60页占了总页数的－，单位“1”是总页数，单位“1”未知，用除法，级60÷（－）。
【解答】1－＝
60÷（－）
＝60÷（－）
＝60÷
＝60×2
＝120（页）
答：这本书共有120页。
【点评】求出第一周没看页数占总页数的分率，同时要注意后面3∶8表示的是未看页数与总页数的比，理解清楚题目是解答本题的关键。
34．小明家到学校全程的处是少年宫，他从学校往家走，走到全程的处时，离少年宫0.6千米。求小明家到学校的路程。（先在图中画一画，再解答）
【答案】2.7千米
【分析】把全程看作单位“1”，平均分成9份，小明家到学校全程的处是少年宫，则从小明家往学校方向数出8份，即是少年宫的位置；小明从学校往家走，走到全程的即处，则从学校往小明家的方向数出3格即是小明走到的位置，离少年宫0.6千米，据此在线段图上标注信息和数据，完成线段图。
把全程看作单位“1”，小明家到学校全程的处是少年宫，则少年宫离学校的距离是全程的1－＝；从图中可以看出，0.6千米占全程的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出全程。
【解答】如图：
1－＝
0.6÷（－）
＝0.6÷（－）
＝0.6÷
＝0.6×
＝2.7（千米）
答：小明家到学校的路程是2.7千米。
35．妙妙和甜甜分别做一个相同的许愿瓶（所折纸星星的数量相同），当妙妙折了所有纸星星的时，甜甜还有没有折，当妙妙折完全部的纸星星时，甜甜还有32颗纸星星没有折，则两人分别要折多少颗纸星星？
【答案】160颗
【分析】由题意可知，把纸星星的总数量看作单位“1”，速度一定时，妙妙所折的纸星星数与甜甜所折的纸星星数成正比例，即妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率也成正比例，设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占整体的，等量关系式是妙妙折了所有纸星星的∶此时甜甜所折的纸星星数占总数的分率＝1∶妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的分率，据此列方程并解答，再根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数用除法计算，用妙妙折完时，甜甜还没折的数量除以其对应的分率即可得解。
【解答】解：设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。
32÷（1－）
＝32÷
＝32×5
＝160（颗）
答：两人分别要折160颗纸星星。
【点评】关键是要妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率成正比例，再设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。据此列比例求解，最后用分数的应用题的求单位“1”的具体量的方法解答即可。
36．端午节学校举行包粽子实践活动，五年级有45人参加，五年级报名参加活动的人数比六年级的人数多，六年级有多少人参加活动？
【答案】36人
【分析】把六年级报名参加人数看作单位“1”，则五年级报名参加人数是六年级的（1＋），根据分数除法的意义，用45÷（1＋）即可求出六年级参加活动的人数，据此解答即可。
【解答】45÷（1＋）
＝45÷
＝45×
＝36（人）
答：六年级有36人参加活动。
37．甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地中点处12千米。已知甲车的速度是乙车的，A、B两地之间的路程是多少千米？（先在图中画一画，再解答）
【答案】120千米
【分析】已知甲车的速度是乙车的，速度比甲车快。甲、乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇时距 A、B 两地中点处 12 千米。因为乙车速度快，所以乙车超过了中点，甲车还没过中点。那么甲车行驶的路程就是一半路程减去12 千米，乙车行驶的路程就是一半路程加上 12 千米。计算乙车比甲车多行驶的路程是：12＋12＝24 千米，据此画图；
因为甲、乙两车同时出发，行驶的路程比等于速度比，所以相遇时甲车行驶的路程是乙车的，即相遇时甲、乙两车行驶路程比是2∶3，据此可知：相遇时甲车行了全程的，乙车行了全程的，把A、B两地之间的路程看作单位“1”，则相遇时乙车比甲车多行了全程的－，用多行的路程除以对应的分率解答即可。
【解答】由题意可知：相遇时乙车比甲车多行驶的路程是：12＋12＝24（千米），即相遇地点在中点左侧12千米。如图：
相遇时甲、乙两车行驶路程比是2∶3，据此可知：相遇时甲车行了全程的，乙车行了全程的；
（12＋12）÷（－）
＝24÷（－）
＝24÷
＝24×5
＝120（千米）
答：A、B两地之间的路程是120千米。
【点评】解题的关键是明确相遇时乙车比甲车多行了多少千米以及行驶的时间相同的情况下，路程的比等于速度比，再结合按比例分配的方法以及分数除法的意义解答。
38．周庄古镇是中国第一水乡。龙龙为了领略江南水乡诗情画意的韵味，自驾从家到周庄古镇旅游。路上用了两天时间，第一天行了全程的还多96千米，第二天所行路程与第一天所行路程的比是1∶3，龙龙家距离周庄古镇有多少千米？
【答案】640千米
【分析】把龙龙家与周庄古镇的距离看作单位“1”，第二天所行路程与第一天所行路程的比是1∶3，则第一天行了全程的，而且第一天行了全程的还多96千米，说明96千米刚好占全程的（－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出龙龙家与周庄古镇的距离，据此解答。
【解答】96÷（－）
＝96÷（－）
＝96÷
＝96×
＝640（千米）
答：龙龙家距离周庄古镇有640千米。
39．有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4∶3，乙筐水果原来有多少千克？
【答案】60千克
【分析】把甲筐水果原来的质量看作单位“1”， 从甲筐取出它的，还剩1－，根据求一个数的几分之几是多少，用96×（1－）求出甲筐水果剩下的质量，把甲筐水果余下的部分看作4份，乙筐水果余下的部分看作3份，用甲筐水果剩下的质量除以4，求出1份是多少，再乘3求出乙筐水果剩下的质量，从乙筐取出它的20%以后，还剩下（1－20%），对应的数量是乙筐水果剩下的质量，用乙筐水果剩下的质量除以（1－20%）即可求出乙筐水果原来有多少千克。
【解答】96×（1－）
＝96×
＝64（千克）
64÷4×3
＝16×3
＝48（千克）
48÷（1－20%）
＝48÷0.8
＝60（千克）
答：乙筐水果原来有60千克。
40．习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？
【答案】400棵
【分析】将胡杨棵数看作单位“1”，胡杨棵数×沙柳对应分率＝沙柳棵数；再将沙柳棵数看作单位“1”，沙柳棵数×沙枣对应分率＝沙枣棵数，据此列式解答。
【解答】800××
＝500×
＝400（棵）
答：这个区域种植沙枣树400棵。
41．学校开展“大阅读”活动，小芳计划在三天内看完一本240页的故事书，第一天看了全书的，第二天与第三天看的页数比是5∶4，第二天看了多少页？
【答案】80页
【分析】把全书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，这时剩下全书的（1－），根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用240乘（1－）即可求出剩下的页数，即第二天与第三天看的总页数。第二天与第三天看的页数比是5∶4，则第二天看了第二天与第三天看的总页数的，用第二天与第三天看的总页数乘，即可求出第二天看了多少页。
【解答】240×（1－）
＝240×
＝144（页）
144×
＝144×
＝80（页）
答：第二天看了80页。
42．学校啦啦操表演队列由四、五、六三个年级的学生组成，其中五年级有160人。关于这三个年级的人数还有以下信息，请选择信息求出六年级表演的人数。
①五年级的人数占表演总人数的。②四、五两个年级的人数比是3∶4；
③六年级的人数比四年级的人数多。④六年级的人数比表演总人数的30%多8人。
要求六年级表演的人数，选择的信息是（ ）（填序号）。
解答过程：
【答案】②③
200人
【分析】答案不唯一，如选择信息②③，将比的前后项看成份数，五年级人数÷对应份数＝一份数，一份数×四年级对应份数＝四年级人数，将四年级人数看作单位“1”，六年级的人数是四年级的（1＋），四年级的人数×六年级对应分率＝六年级的人数；
如选择信息①④，将总人数看作单位“1”，五年级人数÷对应分率＝总人数，求一个数的百分之几是多少用乘法，总人数×30%＋8＝六年级的人数。
【解答】选择的信息是②③。
160÷4×3＝120（人）
120×（1＋）
＝120×
＝200（人）
答：六年级表演的人数是200人。
选择的信息是①④。
160÷＝160×4＝640（人）
640×30%＋8
＝640×0.3＋8
＝192＋8
＝200（人）
答：六年级表演的人数是200人。
43．（如下图）某商家推出一款足球纪念品，并给足球纪念品设计了圆柱形的包装盒，用绸带捆扎进行装饰。
（1）这个包装盒的表面积是多少？
（2）如果绸带打结处正好是底面圆心，打结用去的绸带长30厘米。捆扎这个包装盒至少要用绸带多少厘米？
（3）阅读下面的文本，计算这个足球纪念品的体积？
【答案】（1）471平方厘米；
（2）110厘米；
（3）立方厘米
【分析】从图中可知，球的直径是（20－10）厘米，圆柱的底面直径和高等于球的直径。
（1）把足球纪念品放入一个圆柱形的包装盒，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求出包装盒的表面积。
（2）从图中可知，捆扎这个包装盒用绸带的长度＝4条圆柱的底面直径＋4条圆柱的高＋打结用的长度，代入数据计算求解。
（3）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出圆柱形容器的容积；根据圆柱容球定理可知，此时球的体积正好是圆柱体积的，把圆柱的容积看作单位“1”，单位“1”已知，用圆柱的容积乘，求出这个足球纪念品的体积。
【解答】球的直径、圆柱的底面直径、圆柱的高：20－10＝10（厘米）
（1）3.14×10×10＋3.14×（10÷2）2×2
＝3.14×10×10＋3.14×52×2
＝3.14×10×10＋3.14×25×2
＝314＋157
＝471（平方厘米）
答：这个包装盒的表面积是471平方厘米。
（2）10×4＋10×4＋30
＝40＋40＋30
＝110（厘米）
答：捆扎这个包装盒至少要用绸带110厘米。
（3）3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
785×＝（立方厘米）
答：计算这个足球纪念品的体积是立方厘米。
44．某小区开展“垃圾分类，我们一起来”活动，倡导居民将垃圾分为四类：厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾。已知这个小区12月共产生了20吨垃圾，其中有害垃圾1吨。小雨调查了产生垃圾的情况，制作了右面的统计图。请根据信息和统计图完成下面题目。
（1）将扇形统计图补充完整。
（2）可回收垃圾有（ ）吨，厨余垃圾有（ ）吨。
（3）回收的废纸占可回收垃圾的，如果把这些废纸用于制造再生纸，可以制成多少千克的再生纸？（回收的废纸可以加工出相当于废纸原重的再生纸。）
【答案】（1）见详解
（2）8；9
（3）2400千克
【分析】（1）用有害垃圾÷12月共产生垃圾的总重量×100%，求出有害垃圾占共产生垃圾的百分比，再用1减去厨余垃圾占共产生垃圾的百分比，减去有害垃圾占共产生垃圾的百分比，减去其他垃圾占共产生垃圾的百分比，求出可回收垃圾占共产生垃圾的百分比，完成统计图。
（2）用共产生垃圾的总重量×可回收垃圾占共产生垃圾的百分比，求出可回收垃圾的重量；用共产生垃圾的总重量×厨余垃圾占共产生垃圾的百分比，求出厨余垃圾的重量。
（3）用可回收垃圾的重量×，求出回收废纸的重量，再用回收废纸的重量×，求出可以制成再生纸的重量，注意单位名数的换算。
【解答】（1）1÷20×100%
＝0.05×100%
＝5%
1－45%－5%－10%
＝55%－5%－10%
＝50%－10%
＝40%
如图：
（2）20×40%＝8（吨）
20×45%＝9（吨）
可回收垃圾有8吨，厨余垃圾有9吨。
（3）8××
＝3×
＝2.4（吨）
2.4吨＝2400千克
答：可以制成2400千克的再生纸。
45．线上销售具有便捷、高效、覆盖面广等优势。王叔叔通过线上销售鸭舌，①第一周销售鸭舌360千克；②第二周销售的鸭舌比第一周多；③第三周销售的鸭舌是第一周的；④第四周销售的鸭舌比第一周少15%。
（1）根据以上信息，算式“360×”求的是： 。
（2）想知道“第三周销售鸭舌多少千克？”，需要用到的信息是 （填序号），请你再算一算。
（3）第四周销售鸭舌多少千克？
【答案】（1）第二周销售的鸭舌比第一周多的千克数
（2）③
（3）306千克
【分析】（1）“360×”是将第一周销售鸭舌的数量看作单位“1”，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，确定算式所求的量即可；
（2）把第一周销售鸭舌的数量看作单位“1”，用第一周销售鸭舌的数量乘即可。
（3）把第一周销售鸭舌的数量看作单位“1”，用1减去15%算出第四周销售的鸭舌的数量占第一周的百分率，再用第一周销售鸭舌的数量乘这个百分数即可。
【解答】（1）算式“360×”求的是第二周销售的鸭舌比第一周多的千克数；
（2）想知道“第三周销售鸭舌多少千克？”，需要用到的信息是③。
360×＝288（千克）
答：第三周销售鸭舌288千克。
（3）360×（1－15%）
＝360×85%
＝306（千克）
答：第四周销售鸭舌306千克。古希腊著名的数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的。