2025年小升初数学核心考点讲练(通用版)专题41计算立体图形的表面积(学生版+解析)

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长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
圆柱的表面积=侧面积+2个底面积
侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积
一、填空题
1．有7个分开摆放的棱长1cm的小正方体，把它们搭成一个几何体（如下图），表面积比原来减少了( )cm2。
【答案】18
【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，求出一个小正方体表面积，再乘7，是原来7个小正方体表面积和；拼成的几何体，看上去表面积比大正方体少了3个小正方形，里面有出现了同样的3个小正方形，所以拼成的几何体的表面积＝8个小正方体拼成的大正方体的表面积，求出大正方体表面积，与原来7个小正方体表面积和求差即可。
【解答】1×1×6×7＝42（cm2）
1＋1＝2（cm）
2×2×6＝24（cm2）
42－24＝18（cm2）
【点评】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式。
2．用边长是1厘米的小正方体摆成的几何体，从上面和左面看到的形状如图，要摆成这样的几何体，最少要用( )个小正方体，此时，这个几何体的表面积是( )平方厘米。
【答案】6 26
【分析】根据从上面看到的形状可知，这个立体图形有两排，第一排有一个小正方体，第二排有4个小正方体；根据从左面看到的形状可知，有两列，第一列有1个小正方体，第二列有2个小正方体，如下图；从前面和后面各可以看到5个面，从左面和右面各可以看到3个面，从上面和底面各可以看到5个面，总共可以看到5×2＋3×2＋5×2＝26（个）面，再乘每个面的面积即可。
【解答】要摆成这样的几何体，最少要用6个小正方体；
（5×2＋3×2＋5×2）×（1×1）
＝26×1
＝26（平方厘米）
【点评】解答本题的关键是根据从不同方位看到的平面图确定立体图形的性状，再根据从不同方位看到的小正方形的面数确定表面积。
3．“母亲节”这天，张楠亲手为妈妈做了一个形状近似圆柱的蛋糕。蛋糕直径10cm，高8cm，这个蛋糕的体积是( )cm3。张楠想用包装纸制作一个长方体蛋糕盒，正好可以把蛋糕放进去，她至少需要准备( )cm2包装纸。（接头损耗忽略不计）
【答案】628 520
【分析】①由题可知：蛋糕形状近似圆柱，求蛋糕的体积就是计算圆柱的体积，已知底面直径10厘米计算出半径，根据公式计算体积即可；
②要让长方体蛋糕盒正好装下圆柱蛋糕，长方体的长和宽得和圆柱底面直径一样，是10厘米，高得和圆柱的高一样，是8厘米，计算包装纸的大小就是计算长方体的表面积，根据公式长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算出表面积即可；
【解答】①3.14×（10÷2）2×8
＝3.14×25×8
＝78.5×8
＝628（立方厘米）
所以这个蛋糕的体积是628立方厘米。
②（10×10＋10×8＋10×8）×2
＝（100＋80＋80）×2
＝260×2
＝520（平方厘米）
所以至少需要520平方厘米的包装纸。
4．一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，这时表面积就减少，原来长方体的表面积是( )。
【答案】480
【分析】一个长方体如果高减少3cm就变成一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等；高减少3cm，表面积就减少96cm2，则减少的表面积就是4个相同的长方形的面积之和，用96除以4求出一个面的面积，再除以3计算出原来长方体的长，原来长方体的宽和长相等，用长加上3cm就是原来长方体的高；最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入相应数值计算，据此解答。
【解答】原来长方体的长：96÷4÷3＝8（cm）
原来长方体的宽：8cm
原来长方体的高：8＋3＝11（cm）
（8×8＋8×11＋8×11）×2
＝（64＋88＋88）×2
＝240×2
＝480（cm2）
因此原来长方体的表面积是480cm2。
5．用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是( )cm2，容积是( )cm3。（纸板厚度忽略不计）
【答案】224 1344
【分析】根据长方体的展开图知，这个长方体的长是16cm，高是6cm，宽是（20－6＝14）cm，根据长方体的底面积＝长×宽，体积（容积）＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。
【解答】20－6＝14（cm）
16×14＝224（cm2）
224×6＝1344（cm3）
这个纸盒的底面积是224cm2，容积是1344cm3。
6．一盒计算器长、宽、高分别为15厘米、7厘米、4厘米。淘气把2盒这种规格的计算器包成一包，至少要( )平方厘米包装纸。
【答案】562
【分析】以长、宽的面为衔接面，所需包装纸最少，这样减少的2个面最大；然后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出包一个盒子的用纸，然后求出单独包2个盒子的用纸，进而减去2个最大衔接的面即可得出结论。
【解答】（7×15＋7×4＋15×4）×2×2－7×15×2
＝（105＋28＋60）×2×2－7×15×2
＝193×2×2－7×15×2
＝772－210
＝562（平方厘米）
至少需要562平方厘米的包装纸。
7．如果将一个长、宽、高分别是14cm，7cm，6cm的长方体木块平均分成两个小长方体，表面积最少会增加( )cm2；最多会增加( )cm2。
【答案】84 196
【分析】根据长方体表面积的意义可知，把这个长方体木块平均分成两个小长方体，表面积增加两个切面的面积；要使表面积增加的最少，也就是平行与长方体的最小面切开；要使表面积增加的最多，也就是平行与长方体的最大面切开；根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个切面的面积，再乘2即可。
【解答】7×6×2
＝42×2
＝84（cm2）
14×7×2
＝98×2
＝196（cm2）
表面积最少会增加84cm2，最多会增加196cm2。
【点评】掌握长方体切割的特点，明白要使表面积增加最多或表面积增加最少，要平行于哪些面的切开。
8．一个正方体密封盒的棱长是9厘米，它的表面积是( )平方厘米；在盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是( )平方厘米；如果放入一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。
【答案】486 254.34 190.755
【分析】，，；求正方体的表面积，直接代入公式即可；求圆柱的侧面积时，因为“在盒内放入一个最大的圆柱”，所以圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，再带入公式即可；求圆锥的体积时，因为“放入一个最大的圆锥”，所以圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，再带入公式即可。
【解答】由分析可知：
（平方厘米）
（平方厘米）
（立方厘米）
所以一个正方体密封盒的棱长是9厘米，它的表面积是486平方厘米；在盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是254.34平方厘米；如果放入一个最大的圆锥，圆锥的体积是190.755立方厘米。
【点评】本题考查正方体的表面积、圆柱的侧面积、圆锥体积公式的灵活运用，学生需熟练掌握以上公式。
9．一条长方体木块，从上部截去高5厘米的长方体，剩下部分是正方体。表面积减少了120平方厘米，那么原来长方体的体积是( )立方厘米。
【答案】396
【分析】根据长方体的特点，相对的面面积相等，从上部截去高5厘米的长方体后剩下是正方体，可知底面是正方形，表面积减少了120平方厘米，减少的只是前后左右的4个相等侧面积，用120÷4＝30厘米，求出减少的一个侧面，再除以截去部分的高，就可以求出剩下部分正方体的棱长，据此求出底面积，再用底面棱长加上截去的高，就是原来长方体的高，据此解答。
【解答】由题意可知底面是正方形，底面边长为：
120÷4÷5
＝30÷5
＝6（厘米）
原来的体积：
6×6×（5＋6）
＝36×11
＝396（立方厘米）
【点评】本题考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出剩下部分正方体的棱长，再根据长方体体积公式，即可解答。
10．将一根长1m的圆柱形木材，截成4段如图，表面积增加了72dm2，原来圆柱形木材的体积( )dm3。
【答案】120
【分析】根据题意，把一根圆柱形木材截成4段，需截3次；每截一次，增加圆柱2个底面圆的面积，截3次，增加圆柱6个底面圆的面积；
用增加的表面积除以6，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来圆柱形木材的体积。注意单位的换算：1m＝10dm。
【解答】1m＝10dm
2×（4－1）
＝2×3
＝6（个）
72÷6＝12（dm2）
12×10＝120（dm3）
原来圆柱形木料的体积是120dm3。
11．如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】62.8 37.68
【分析】依据题意结合图示可知，这个圆柱的底面半径是2厘米，高是3厘米，利用圆柱的表面积＝π×底面半径的平方×2＋π×底面半径×2×高，圆柱的体积＝π×底面半径的平方×高，结合题中数据计算即可。
【解答】3.14××2＋3.14×2×2×3
＝3.14×4×2＋3.14×2×2×3
＝3.14×4×2＋3.14×4×3
＝25.12＋37.68
＝62.8（平方厘米）
3.14××3
＝3.14×4×3
＝37.68（立方厘米）
所以这个圆柱的表面积是62.8平方厘米，体积是37.68立方厘米。
12．刘阳把一个底面直径为4分米，高为6分米的圆柱体木料表面刷上油漆，要刷( )平方分米。如果把这根木料沿着底面直径切成两个半圆柱，表面积增加( )平方分米；如果切成两个小圆柱体，表面积增加( )平方分米（如图）。
【答案】100.48 48 25.12
【分析】根据题意，在圆柱体木料的表面刷上油漆，求要刷的面积，就是求圆柱的表面积，根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。
如果把这根木料沿着底面直径切成两个半圆柱，则增加的表面积是2个长为圆柱的高，宽为圆柱底面直径的长方形的面积之和；根据长方形面积计算公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘2即是增加的表面积。
如果切成两个小圆柱体，则增加的表面积是2个圆柱的底面积之和，根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个面的面积，再乘2即是增加的表面积。
【解答】3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2
＝3.14×4×6＋3.14×22×2
＝3.14×4×6＋3.14×4×2
＝75.36＋25.12
＝100.48（平方分米）
6×4×2＝48（平方分米）
3.14×（4÷2）2×2
＝3.14×22×2
＝3.14×4×2
＝25.12（平方分米）
刘阳把一个底面直径为4分米，高为6分米的圆柱体木料表面刷上油漆，要刷（100.48）平方分米。如果把这根木料沿着底面直径切成两个半圆柱，表面积增加（48）平方分米；如果切成两个小圆柱体，表面积增加（25.12）平方分米。
13．把一块底面积为20、长为12.56的长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4的圆柱形钢材，这根钢材的长度是( )。如果把这根圆柱形钢材截成4个同样的小圆柱，这些小圆柱的表面积之和比原来这根圆柱形钢材的表面积增加了( )。
【答案】20 75.36
【分析】根据题意，用长方形钢坯的底面积乘它的长，求出它的体积，也就是圆柱形钢坯的体积，除以圆柱钢坯的底面积，即可求出它的长；如果把这根圆柱形钢材截成4个同样的小圆柱，这些小圆柱的表面积之和比原来这根圆柱形钢材的表面积增加了6个底面积的面积。
【解答】20×12.56÷[3.14×（4÷2）2]
＝20×12.56÷[3.14×22]
＝20×12.56÷[3.14×4]
＝20×12.56÷12.56
＝20（dm）
3.14×（4÷2）2×6
＝3.14×22×6
＝3.14×4×6
＝75.36（dm2）
所以，这根钢材的长度是20。如果把这根圆柱形钢材截成4个同样的小圆柱，这些小圆柱的表面积之和比原来这根圆柱形钢材的表面积增加了75.36dm2。
【点评】熟练掌握长方体、圆柱的体积计算公式，是解答此题的关键。
二、选择题
14．用两块同样大小的铁皮制成一个长方体和一个正方体铁桶，它们容积相比，（ ）。
A．长方体大B．正方体大C．同样大D．无法确定
【答案】B
【分析】首先理解题意：同样大小的铁皮说明两个铁桶的表面积相等；然后举例说明：假设铁皮的面积是24平方分米，对于正方体来说，正方体有6个面，6个面都完全相同，所以面积也相等，可计算出1个面的面积，即可知道正方体棱长为2分米，根据正方体体积（容积）＝棱长×棱长×棱长可计算出正方体容积；对于长方体来说，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，假设长方体的长是3分米，宽是2分米，根据表面积是24平方分米计算出高，再根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，计算出长方体容积，最后对正方体和长方体容积作比较。
【解答】假设铁皮的面积是24平方分米，
正方体：24÷6＝4（平方分米）
2×2＝4（平方分米）
2×2×2＝8（立方分米）
长方体：假设长是3分米，宽是2分米，
24÷2＝12（平方分米）
3×2＝6（平方分米）
12－6＝6（平方分米）
3＋2＝5（分米）
6÷5＝1.2（分米）
3×2×1.2＝7.2（立方分米）
综上计算：8立方分米＞7.2立方分米可知正方体容积大于长方体容积。
所以在表面积相同的情况下，正方体的容积比长方体的容积大。
故答案为：B
15．一种长方体饼干盒，长、宽、高的（如图），买3盒这样的饼干包装成一件礼品，用最节约纸的方式包装，需要包装纸（ ）。（接口处不计）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据长方体表面积的意义可知，把3盒这样的饼干包装成一件礼品，要使需要的包装纸最少，也就是把饼干盒的最大面重合摞起来，拼成一个长3cm，宽2cm，高cm的长方体，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。
【解答】（cm）
（cm2）
需要包装纸42cm2。
故答案为：B
16．一块长方体肥皂的长是15厘米，宽是8厘米，高是8厘米。这块肥皂的表面积是（ ）平方厘米。
A．62B．608C．960D．144
【答案】B
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答即可。
【解答】（15×8＋15×8＋8×8）×2
＝（120＋120＋64）×2
＝304×2
＝608（平方厘米）
故答案为：B
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．一个长、宽、高分别是8米、5米、4米的长方体油箱，若把它的高增加1米，这个油箱的表面积就增加（ ）平方米。
A．26B．52C．80D．92
【答案】A
【分析】将长方体的高增加，表面积增加的是前后左右4个面的面积，用长×增加的高×2＋宽×增加的高×2，即可求出增加的表面积。
【解答】8×1×2＋5×1×2
＝16＋10
＝26（平方米）
故答案为：A
【点评】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。
18．小华把棱长是1cm的小正方体积木靠墙角搭成了一个立体图形（如图），露在外面的面积是（ ）cm2。
A．20B．21C．24
【答案】B
【分析】每个小正方形的面积是1cm2，分别计算出立体图形的前、右、上三个面各有多少个小正方形，求出三者之和，即可知道露出的面积是多少。
【解答】1×1＝1（cm2）
前面露出6个小正方形，右面露出6个小正方形，上面露出9个小正方形。
6＋6＋9＝21（个）
21×1＝21（cm2）
露在外面的面积是21cm2。
故答案为：B
19．如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（ ）。（圆周率取3）
A．方法一表面积增加的多B．方法二表面积增加的多
C．两种方法表面积增加的一样多D．无法确定
【答案】C
【分析】圆柱的表面积＝2个底面面积＋侧面面积，把圆柱按照平行于高的方向切割（方法一），增加两个长方形面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高。把圆柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加两个底面面积。根据S长方形＝ab，S圆＝πr2解答。
【解答】方法一表面积增加：
4×3×2
＝12×2
＝24（dm2）
方法二表面积增加：
3×（4÷2）2×2
＝3×22×2
＝3×4×2
＝24（dm2）
所以两种方法增加的表面积一样多。
故答案为：C
20．太和殿又称“金銮殿”“至尊金殿”“金銮宝殿”，是中国现存规制最高的古代宫殿建筑，是古代皇帝举行重大朝典之地。已知太和殿有72支顶梁柱，直径均为1.06米，高度均为12.7米，要计算太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是（ ）。
A．3.14×（1.06÷2）2×12.7×72
B．2×3.14×1.06×12.7×72
C．3.14×1.062×12.7×72
D．3.14×1.06×12.7×72
【答案】D
【分析】根据圆柱的侧面积公式，代入数据可计算1支顶梁柱的侧面积，再乘72，即可得解。
【解答】3.14×1.06×12.7×72
＝3.3284×12.7×72
＝42.27068×72
＝3043.48896（平方米）
太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是3.14×1.06×12.7×72。
故答案为：D
21．有一根圆柱形的木料（如图）。如果截去5厘米长的一段，木料的表面积减少（ ）平方厘米。
A．175.84B．125.6C．226.08D．150.72
【答案】B
【分析】减少的表面积等于底面直径为8厘米、高为5厘米的圆柱的侧面，根据侧面积＝底面周长×高解答即可。
【解答】3.14×8×5
＝3.14×40
＝125.6（平方厘米）
所以木料的表面积减少125.6平方厘米。
故答案为：B
22．一根较长的圆柱形木头，工人师傅把它锯成四根长度相等的小圆柱形木头。小明发现四个小圆柱的表面积之和比大圆柱的表面积增加了8.4dm2，请你帮忙算一算，大圆柱的底面积是（ ）dm2。
A．1.05B．1.4C．2.1D．4.2
【答案】B
【分析】把一个圆柱锯成了4根同样大小的小圆柱，需要锯（4－1）次，每锯一次增加2个底面，求出增加的底面个数，用增加的面积÷增加的底面个数＝原来的底面积，据此列式计算。
【解答】（4－1）×2
＝3×2
＝6（个）
8.4÷6＝1.4（dm2）
大圆柱的底面积是1.4dm2。
故答案为：B
23．如图，把一个直径为4厘米，高为8厘米的圆柱，沿底面直径切开，表面积增加了（ ）平方厘米。
A．128B．32C．64
【答案】C
【分析】沿直径平均切成两半，也就是说增加的面积是2个长方形的面积，长是圆柱的高8厘米，宽就是这个圆柱的直径，即4厘米，据此利用长方形的面积公式计算即可选择。
【解答】8×4×2＝64（平方厘米）
即表面积增加了64平方厘米。
故答案为：C
【点评】此题抓住圆柱切割的特点，弄清表面积变化的情况，从而解决问题。
24．冰球运动（IceHckey）是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动，冰球一般是用硬橡胶制成的圆柱体，厚2.54厘米，直径7.62厘米，重156～170克，如果将3个冰球重叠在一起，表面积比原来减少了（ ）平方厘米。
A．3.14×（7.62÷2）2×2.54B．3.14×7.622×4C．3.14×（7.62÷2）2×4
【答案】C
【分析】3个冰球重叠在一起，减少的表面积是4个圆柱的底面积，S＝πr2，代入数据即可。
【解答】直径：7.62厘米，半径：（7.62÷2）厘米
减少的面积是4个底面圆形的面积，列式为：
3.14×（7.62÷2）2×4
故答案为：C
【点评】本题考查图形的组合与分割问题，当n个立体图形组合在一起时，减少[（n－1）×2]个重叠面的面积。
25．一个长、宽与高都是的长方体，将它挖掉一个棱长的小正方体后（如图），它的表面积（ ）。
A．比原来大B．比原来小C．不变
【答案】A
【分析】由题意可知，将这个长方体挖掉一个小正方体后，表面积减少了2个正方形的面积，但又增加了4个正方形的面积，所以挖掉一个小正方体后的长方体比原来的长方体的表面积增加了2个正方形的面积。
【解答】由分析可知：
将它挖掉一个棱长的小正方体后（如图），它的表面积比原来大。
故答案为：A
【点评】本题考查长方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
26．小明用棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起摆出了一个立体图形，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米。
A．194B．196C．206D．234
【答案】A
【分析】把每个正方体的表面积都加起来，再减去接触面的面积，就为这个立体图形的表面积。由于每个接触面在紧贴的两个正方体中都不能算，所以每个接触面的面积都要减去2次。接触面分别为：3厘米正方体的底面、2厘米正方体的底面和左面、1厘米正方体的底面、左面和后面。
【解答】4个正方体的表面积的和：5×5×6＋3×3×6＋2×2×6＋1×1×6＝234（平方厘米）
接触面的面积和：3×3×2＋2×2×4＋1×1×6＝40（平方厘米）
立体图形的表面积：234－40＝194（平方厘米）
故选：A。
【点评】本题考查组合立体图形的表面积。确定重叠处的面积是解答此题的关键。
三、计算题
27．求表面积。
【答案】282.6
【分析】组合图形的表面积等于两个圆柱表面积之和减去重叠面面积，重叠部分是小圆柱的两个底面面积，也就是说，组合图形的表面积相当于大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积。
【解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5
＝3.14×16×2＋125.6
＝100.48＋125.6
＝226.08
3.14×6×3＝56.52
226.08＋56.52＝282.6
28．计算下面组合图形的表面积。
【答案】88m2
【分析】通过观察图形可知，由于两个长方体和一个正方体粘合在一起，把中间正方体的上面向上平移，左边长方体比正方体高出部分的面补在前面，同理右边长方体比正方体高出部分的面补在后面，如下图，所以整个图形的表面积相当于一个长为6m，宽为2m，高为4m的长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋长×高）×2，据此解答。
【解答】据分析可知，组合图形的表面积为：
（6×4＋6×2＋4×2）×2
＝（24＋12＋8）×2
＝44×2
＝88（m2）
29．计算下面立体图形的表面积。
【答案】295.36dm3
【分析】通过观察图形发现，上面的圆柱与下面的长方体粘合在一起，所以上面的圆柱只求它的侧面积，下面的长方体求出它的表面积，然后合并起来即可，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【解答】3.14×4×6＋（10×4＋10×5＋4×5）×2
＝75.36＋（40＋50＋20）×2
＝75.36＋110×2
＝75.36＋220
＝295.36（dm3）
四、解答题
30．有一个工具箱下半部分为正方体，上半部分为圆柱体一半（下图），如果把工具箱的表面涂上油漆（包括底面），求涂油漆部分的面积。
【答案】2942平方厘米
【分析】可以将两个半圆拼成一个完整的圆，涂色部分包括正方体5个面、圆柱侧面积的一半、以及圆柱一个底面积，据此列式解答即可。
【解答】20²×5＋3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）²
＝2000＋628＋3.14×100
＝2000＋628＋314
＝2942（平方厘米）
答：涂油漆部分的面积是2942平方厘米。
【点评】关键是观察图形特点，灵活运用正方体和圆柱表面积公式，圆柱侧面积＝底面周长×高。
31．如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。
（1）这个零件的体积是多少立方厘米？
（2）如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【答案】（1）219.8立方厘米；307.72平方厘米
【分析】（1）大圆柱体积－小圆柱体积＝零件体积；
（2）用大圆柱侧面积＋两个底面面积＋小圆柱侧面积即可。
【解答】（1）3.14×（6÷2）×10－3.14×（4÷2）×5
＝3.14×9×10－3.14×4×5
＝282.6－62.8
＝219.8（立方厘米）
答：这个零件的体积是219.8立方厘米。
（2）3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5
＝56.52＋188.4＋62.8
＝307.72（平方厘米）
答：一共要涂307.72平方厘米。
【点评】本题考查了组合体的体积和表面积，体积用减一减的方法，求表面积时可以将小圆柱下面的底面积平移到上面，就组成了完整的大圆柱表面积。
32．长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？
【答案】288平方分米
【分析】从题意可知：这个长方体的玻璃盒的长＝宽＝圆柱的底面直径＝4分米，高＝16分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算，即可求出需要玻璃的面积。
【解答】（4×4＋4×16＋4×16）×2
＝（16＋64＋64）×2
＝144×2
＝288（平方分米）
答：制作这个玻璃盒至少要288平方分米的玻璃。
33．纯鲜果汁厂新开发一款果汁，设计师设计了两款包装盒，一款为圆柱形桶装，桶的底面半径为0.5分米，高为2分米；另一款为长方体盒装，盒子长1分米、宽0.5分米、高2分米。
（1）如果采用同样的材料制作，（不考虑接口处损耗）两种包装各需要多大面积的材料？
（2）只考虑容积和包装材料，哪种包装方式更省材料？请说明理由。
【答案】（1）圆柱形桶装包装需要7.85平方分米，长方体盒装包装需要7平方分米。
（2）圆柱形桶装包装的更省材料。
【分析】（1）根据圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面积×2，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出两种包装的表面积；
（2）根据圆柱的体积＝底面积×高，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出两种包装的体积；然后用表面积÷体积，分别求出两种包装每立方分米需要的材料，进而确定更省材料的一种包装。
【解答】（1）2×0.5×3.14×2＋3.14×0.52×2
＝3.14×2＋0.785×2
＝6.28＋1.57
＝7.85（平方分米）
（1×0.5＋1×2＋0.5×2）×2
＝（0.5＋2＋1）×2
＝3.5×2
＝7（平方分米）
答：圆柱形桶装包装需要7.85平方分米，长方体盒装包装需要7平方分米。
（2）3.14×0.52×2
＝3.14×0.25×2
＝0.785×2
＝1.57（立方分米）
7.85÷1.57＝5（平方分米）
1×0.5×2＝1（立方分米）
7÷1＝7（平方分米）
7平方分米＞5平方分米
答：因为圆柱形桶装每1立方分米需要5平方分米的材料，长方体盒装每1立方分米需要7平方分米的材料，所以圆柱形桶装包装的更省材料。
34．用一根长48分米的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为8分米，长、宽的比是1∶1。再把它的侧面和底面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸？
【答案】68平方分米
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，高已知，用长、宽、高的和减去高，求出长与宽的和，然后利用按比例分配的方法，把长看作1份、宽看作1份，用长与宽的和除以长、宽的份数和，再分别乘它们的份数，即可求出长与宽；把它的侧面和底面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，是求剩下5个面的总面积，根据长方体的表面积公式S＝ab＋（ah＋bh）×2求解即可。
【解答】48÷4－8
＝12－8
＝4（分米）
4÷（1＋1）
＝4÷2
＝2（分米）
2×1＝2（分米）
2×1＝2（分米）
2×2＋（2×8＋2×8）×2
＝2×2＋（16＋16）×2
＝2×2＋32×2
＝4＋64
＝68（平方分米）
答：至少需要68平方分米的纸。
35．圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么长方体的侧面积可以用“底面周长×高”计算吗？请以下图的长方体为例，写出你的想法。
【答案】可以；见详解
【分析】要去求长方体的侧面积，首先根据长方体的表面积公式可得：S＝a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出长方体的侧面积。再根据长方形的周长公式，求出长方体的底面周长，再乘高，即可求出“底面周长×高”的值，与前面用长方体的表面积公式求出的值比较，如果相等，说明长方体的侧面积可以用“底面周长×高”来计算；如果不相等，则不能用此公式计算，据此解答。
【解答】
＝80＋40
＝120（平方厘米）
＝12×2×5
＝120（平方厘米）
两种方法求出的侧面积相等，说明可以用“底面周长×高”计算。
答：长方体的侧面积可以用“底面周长×高”计算。
【点评】此题的解题关键是充分理解长方体的侧面积的特征，并熟练运用不同的方法求出长方体的侧面积。
36．吴老师买了一套新房，客厅长6米，宽4米，高3米。请同学们帮吴老师算一算装修所需要的部分材料。
（1）客厅准备用边长5分米的方砖铺地面，需要多少块？
（2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等10平方米不粉刷，实际粉刷的面积是多少平方米？
【答案】（1）96块；（2）74平方米
【分析】（1）先把5分米化为0.5分米，然后根据长方形的面积公式，用6×4即可求出客厅的底面积，再根据正方形的面积公式，用0.5×0.5即可求出一块方砖的面积，最后根据除法的意义，用6×4÷（0.5×0.5）即可求出需要方砖多少块；
（2）根据题意可知，粉刷的面积等于上面、前面、后面、左面、右面的面积和减去门窗、电视墙等的面积，据此6×4＋6×3×2＋4×3×2－10用即可求出粉刷的面积。
【解答】（1）5分米＝0.5米
6×4÷（0.5×0.5）
＝24÷0.25
＝96（块）
答：需要96块。
（2）6×4＋6×3×2＋4×3×2－10
＝24＋36＋24－10
＝84－10
＝74（平方米）
答：实际粉刷的面积是74平方米。
【点评】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用。
37．一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，恰好完全浸没在水中，水深2厘米（如下左图）。如果把这个容器如下右图放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。
（1）当把这个容器如下右图放置时，占地面积是多少？
（2）这个圆柱体铁块的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）20平方厘米
（2）40立方厘米
【分析】（1）占地面积指的是底面积，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。
（2）圆柱露出水面的体积＝第一个图长×宽×水深－第二个图长×宽×水深，将圆柱体积看作单位“1”，露出水面的体积÷对应分率＝圆柱体积，据此列式解答。
【解答】（1）5×4＝20（平方厘米）
答：占地面积是20平方厘米。
（2）12×5×2－5×4×5.5
＝120－110
＝10（立方厘米）
10÷＝40（立方厘米）
答：这个圆柱体铁块的体积是40立方厘米。
【点评】关键是掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式，理解分数除法的意义。
38．某学校要修建一个长方体沙坑，在比例尺是1∶50的设计图上，沙坑的长为16厘米，宽为5厘米，深为1厘米。按图施工完成后，如果在这个沙坑的底面和侧面抹上水泥，那么抹水泥部分的面积是多少平方米？
【答案】30.5平方米
【分析】用长方体沙坑的长、宽、深的图上距离，分别除以比例尺，先求出对应的实际距离，并将单位统一到米。在沙坑的底面和侧面抹水泥，那么是求这个长方体底面以及前后左右四个面的面积和，据此结合长方体的表面积公式，列式求出抹水泥部分的面积。
【解答】长：16÷＝800（厘米）＝8（米）
宽：5÷＝250（厘米）＝2.5（米）
深：1÷＝50（厘米）＝0.5（米）
8×2.5＋8×0.5×2＋2.5×0.5×2
＝20＋8＋2.5
＝30.5（平方米）
答：抹水泥部分的面积是30.5平方米。
【点评】本题考查了比例尺的应用以及长方体的表面积，解题关键是熟记公式求出长、宽、深的实际距离。
39．一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深2.5米，如果每平方米用水泥8千克，共需水泥多少千克？
【答案】904.32千克
【分析】利用底面周长除以3.14除以2求出底面半径，利用底面积公式S＝πr2求出底面积，再利用侧面积＝Ch求出侧面积，再把底面积和侧面积相加即可求出需要用水泥的面积。将用水泥的面积乘8，求出共需水泥多少千克。
【解答】25.12÷3.14÷2＝4（米）
（3.14×42＋25.12×2.5）×8
＝（3.14×16＋62.8）×8
＝（50.24＋62.8）×8
＝113.04×8
＝904.32（千克）
答：共需水泥904.32千克。
40．一个塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚（如图），长20米，横截面是一个半径2米的半圆。
（1）大棚的空间大约是多少？
（2）做这个大棚需要用多大的一块塑料薄膜？
【答案】（1）125.6立方米
（2）138.16平方米
【分析】（1）从图中可知，蔬菜大棚是一个半圆柱；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，再除以2，即是大棚的空间大小。
（2）求做这个大棚需要塑料薄膜的面积，就是求圆柱的底面积与侧面积的一半之和，根据圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积S侧＝2πrh，代入数据计算求解。
【解答】（1）3.14×22×20÷2
＝3.14×4×20÷2
＝125.6（立方米）
答：大棚的空间大约是125.6立方米。
（2）3.14×22＋2×3.14×2×20÷2
＝3.14×4＋2×3.14×2×20÷2
＝12.56＋125.6
＝138.16（平方米）
答：做这个大棚需要用138.16平方米的塑料薄膜。
41．修建一个圆柱形的沼气池，底面直径3米，深2米。在池的四壁与下底面抹上水泥。
（1）抹水泥部分的面积是多少平方米？
（2）这个沼气池的最大容积是多少立方米？
【答案】（1）25.905平方米
（2）14130升
【分析】（1）由题意可知：抹水泥部分的面积＝沼气池的侧面积＋下底的面积，又因圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆锥的底面直径已知，于是可以求出其底面周长和底面积，进而可以求出抹水泥部分的面积；
（2）利用圆柱的体积公式v＝πr2h即可求出这个水池最多能装多少水。
【解答】（1）3.14×3×2＋3.14×（）2
＝9.42×2＋3.14×2.25
＝18.84＋7.065
＝25.905（平方米）
答：抹水泥部分的面积是25.905平方米。
（2）3.14×（）2×2
＝3.14×2.25×2
＝7.065×2
＝14.13（立方米）
14.13立方米＝14130升
答：这个水池最多能装14130升水。
【点评】此题主要考查圆柱的侧面积和圆的面积及体积的计算方法。
42．一块圆柱形木料按图甲中的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按图乙中的方式切成大小、形状相同的三块，表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，体积减少多少立方厘米？
【答案】50.24立方厘米
【分析】按乙的切法增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积可求出圆柱底面半径，进而求出直径，按甲的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，切成的最大圆锥与圆柱底面积相等、高相等；等底、等高的圆锥体积是圆锥体积的，去掉的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱的体积计算公式V＝Sh，求出圆柱的体积，乘（1－）就是减少的体积。
【解答】50.24÷4＝12.56（平方厘米）
设圆柱底面半径为r厘米
3.14×r2＝12.56
3.14×r2÷3.14＝12.56÷3.14
r2＝4
因为22＝4
所以r＝2
96÷8÷2
＝12÷2
＝6（厘米）
12.56×6×（1－）
＝75.36×
＝50.24（立方厘米）
答：体积减少50.24立方厘米。
【点评】此题较难，关键是先根据乙的切法求出圆柱的底面积，进而求出底面半径，再根据甲的切法求出圆柱的高。
43．一个无盖的圆柱形铁皮水桶（如图）。
（1）做这样的一个水桶至少需要多少铁皮？
（2）李奶奶打算用这个水桶收集生活废水，它最多能装水多少升？（铁皮的厚度忽略不计）
【答案】（1）75.36平方分米
（2）62.8升
【分析】（1）求需要多少铁皮即求圆柱的侧面积与底面积的和，根据圆的面积公式：S＝πr2，和圆柱的侧面公式：S＝2πrh，据此解答即可；
（2）根据圆柱的体积公式，V＝Sh，据此代入数值进行计算即可。
【解答】（1）3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2
＝3.14×20＋3.14×4
＝62.8＋12.56
＝75.36（平方分米）
答：做这样的一个水桶至少需要75.36平方分米铁皮。
（2）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝12.56×5
＝62.8（立方分米）
＝62.8（升）
答：它最多能装水62.8升。
【点评】本题考查圆柱的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。
44．2018年12月8日，我国发射的“嫦娥四号”月球探测器上携带的“月面微型生态圈”开启了人类进行月面生物实验的篇章，科学家在这个小空间里创造动植物生长环境，实现生态循环。它高18厘米，直径16厘米，是一个由特殊铝合金材料制成的圆柱体（如图所示）。尽管这个圆柱体净容积只有约0.8升，总重量仅3千克但内含乾坤：里面放置着马铃薯种子、拟南芥种子、蚕卵、土壤、水、空气以及照相机和信息传输系统等科研设备。你知道这个“月面微型生态圈”的表面积大约是多少吗？（圆柱体容器上的功能键忽略不计）
【答案】1306.24平方厘米
【分析】根据圆柱的面积公式＝2×底面积＋侧面积，圆柱的底面积：，侧面积＝底面周长（）×高，将数据代入，据此即可得出答案。
【解答】2×3.14×（16÷2）2＋3.14×16×18
＝6.28×82＋50.24×18
＝6.28×64＋904.32
＝401.92＋904.32
＝1306.24（平方厘米）
答：这个“月面微型生态圈”的表面积大约是1306.24平方厘米。
【点评】本题考查学生对圆柱表面积公式的掌握和运用，要求学生熟练掌握。
45．李师傅想用一个底面直径为10厘米、高为15厘米的圆柱体木桩加工工艺品。
工序一：截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，使得圆锥的体积是235.5立方厘米；
工序二：把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在圆锥部分雕刻上花纹，圆柱外部涂上颜料；
工序三：把做好的工艺品用长方体纸盒进行包装，请你帮李师傅算一算。
（1）截取的木桩有多高？
（2）拼接后，需涂颜料的面积是多少平方厘米？
（3）这个长方体纸盒的体积至少是多少立方厘米？
【答案】（1）9厘米
（2）266.9平方厘米
（3）1500立方厘米
【分析】（1）截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，那么圆锥与圆柱等底；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出截取木桩的高。
（2）先用原来木桩的高减去圆锥的高，即是剩下圆柱的高；把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在剩下圆柱的外部涂上颜料，那么需涂颜料的面积＝圆柱的侧面积＋底面积，其中S侧＝πdh，代入数据计算即可求解。
（3）把底面直径为10厘米，高为15厘米的木桩工艺品用长方体纸盒进行包装，则这个长方体的长、宽都等于木桩的底面直径，高等于木桩的高；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体纸盒的体积。
【解答】（1）圆锥的底面积：
3.14×（10÷2）2
＝3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
圆锥的高：
235.5×3÷78.5
＝706.5÷78.5
＝9（厘米）
答：截取的木桩有9厘米高。
（2）3.14×10×（15－9）＋78.5
＝3.14×10×6＋78.5
＝188.4＋78.5
＝266.9（平方厘米）
答：需涂颜料的面积是266.9平方厘米。
（3）10×10×15＝1500（立方厘米）
答：这个长方体纸盒的体积至少是1500立方厘米。