2025年小升初数学核心考点讲练(通用版)专题35最优化问题(学生版+解析)

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（思维导图+知识梳理+35道真题特训）
一、最优化问题核心概念​​
最优化问题是指在一定约束条件下，寻找使目标（时间、成本、效率等）达到最优的解决方案。小升初考试中主要考查以下类型：
1、时间统筹问题。
特点：合理安排工序，缩短总耗时。
关键：找出可以并行的任务。
典型场景：家务安排、工序流程。
三步法解决问题：
（1）列出所有需要完成的任务及耗时；
（2）标出可以同时进行的任务；
（3）按照"长任务优先"原则安排。
2、费用优化问题。
特点：在多种方案中选择成本最低的。
关键：计算各方案总成本，考虑资源利用率。
典型场景：运输方案、采购选择。
比较法解决问题：
（1）列出所有可行方案；
（2）计算各方案总成本；
（3）考虑资源浪费情况；
（4）选择成本最低的方案。
3、资源分配问题。
特点：有限资源下的最优配置。
关键：建立变量关系，求极值。
典型场景：生产计划、投资分配。
建模法解决问题：
（1）设未知数表示决策变量；
（2）列出约束条件；
（3）建立目标函数；
（4）通过枚举求最优解。
4、路径选择问题。
特点：多路径中选择最优路线。
关键：计算各路径总耗时/成本。
典型场景：出行路线、物流配送。
图示法解决问题：
（1）画出所有可能路径；
（2）计算各路径总耗时/成本；
（3）比较选择最优。
一、填空题
1．光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了（ ）辆大车，（ ）辆小车。
【答案】2 1
【分析】分析题目，先用老师的人数加上少先队员的人数求出总人数，再设租了x辆大车，租了y辆小车，根据等量关系式：大车的数量×36＋小车的数量×24＝总人数列出方程，并进一步求出x和y的关系式，最后依次代入可能的x值求出对应的y值，再根据x、y都大于0且为整数解答即可。
【解答】94＋2＝96（人）
解：设租了x辆大车，租了y辆小车。
36x＋24y＝96
36x÷12＋24y÷12＝96÷12
3x＋2y＝8
当x＝1时，
3×1＋2y＝8
3＋2y＝8
2y＝8－3
2y＝5
2y÷2＝5÷2
y＝2.5
因为x和y都必须是整数，所以不符合条件，舍去；
当x＝2时，
3×2＋2y＝8
6＋2y＝8
2y＝8－6
2y＝2
2y÷2＝2÷2
y＝1
因为x和y都是整数，所以符合条件，即租了2辆大车，1辆小车。
光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置（租了两种类型的车）。他们租了2辆大车，1辆小车。
2．下表是甲、乙两个乒乓球比赛的队员成绩表。
乙队应怎样应战顺序才能获胜？（在表格中填“优”“良”“中”或“下”）
【答案】见详解
【分析】分析题目，乙队要想获胜，则应该尽可能多的场次选择比甲队队员强的队员应战，且最好只强一个等级，这样能保证四场比赛“三胜一负”，这样一定能保证获胜，据此解答。
【解答】根据分析可知，队员的实力排序如下：优＞良＞中＞下；
所以：选择乙队的优应战甲队的良；乙队的良应战甲队的中，乙队的中应战甲队的下，则乙队的下应战甲队的优，这样能保证胜3场输1场，则乙队获胜。
填表如下：
3．（如图）四年级180人去参加植树活动，现有大、小两种车型可以选择，租（ ）辆大客车和（ ）辆小客车最省钱。
【答案】3 2
【分析】大客车限乘40人，租金是每辆1000元，每人平均1000÷40＝25（元）。小客车限乘30人，租金是每辆900元，每人平均900÷30＝30（元）。要想最省钱，应在保证满座的情况下尽量多的租大客车。用总人数除以每辆大客车限乘人数，求出租大客车数量，再结合余数判断是否租小客车，租几辆，据此分析。
【解答】1000÷40＝25（元）
900÷30＝30（元）
25＜30，所以租大客车划算。
180÷40＝4（辆）……20（人）
剩下的20人租一辆小客车，不能坐满。可以租3辆大客车。
180－40×3
＝180－120
＝60（人）
60÷30＝2（辆）
租3辆大客车和2辆小客车能全部坐满，最省钱。
4．雯雯星期天想帮妈妈做下面的事情：洗衣机洗衣服用20分钟，扫地用6分钟，擦家具用10分钟，晾衣服用5分钟。经过合理安排，她做完这些事情至少要用（ ）分钟。
【答案】25
【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6＋10＝16分钟，然后晾衣服，所以做完这件事至少需要20＋5＝25分钟，据此解答即可。
【解答】根据题干分析可得：
20＋5＝25（分钟）
所以做完这些事至少需要25分钟。
【点评】本题考查合理安排时间，解答本题的关键是找到洗衣机洗衣服的同时可以同时做其他事情。
5．黑猫警长通知刑警大队全体警员（共300人）缉拿逃犯“一只耳”，他先通知三位队长，每位队长再分别同时通知三名警员，以此类推，每人再同时通知三人，每人同时通知三人共需0.8分钟，通知完毕共需（ ）分钟。
【答案】4
【分析】由题意可知，每次通知的人数是前一次的3倍，第一轮通知3人，第二轮通知32人，第三轮通知33人⋯，依此类推，先算出通知几轮能刚好大于或等于300人，再用每轮通知的时间乘轮数，即是通知完毕需要的时间。
【解答】第一轮通知3人；
二轮共可通知：3＋32＝3＋9＝12（人）
三轮共可通知：12＋33＝12＋27＝39（人）
四轮共可通知：39＋34＝39＋81＝130（人）
五轮共可通知：130＋35＝130＋243＝373（人）
130＜300＜373
所以用五轮可以通知完毕
0.8×5＝4（分钟）
则通知完毕共需4分钟。
6．黄山烧饼是安徽省黄山市的一种特色传统小吃。一个微型烤炉一次最多可以烤2个烧饼，烧饼两面都要烤，每面要烤2分钟。则烤6个烧饼最少要（ ）分钟。
【答案】12
【分析】6个烧饼两面都要烤，把6个烧饼分别编号为①、②、③、④、⑤、⑥号，具体操作：第一次烤①、②号烧饼正面；第二次烤①号反面、③号正面；第三次烤②号反面、④号正面；第四次烤③号反面，⑤号正面；第五次烤④号反面，⑥号正面；第六次烤⑤号反面，⑥号反面，经过6次全部烤完，用2乘6即可求出烤6个烧饼最少需要的时间。
【解答】2×6＝12（分钟）
则烤6个烧饼最少要12分钟。
7．有16个不同国家的集邮爱好者，想通过邮寄的方法相互交换各国最近发行的票，使得每人都有这16个国家的邮票。这16人之间总共至少要通信（ ）封。
【答案】30
【分析】让15个人分别把自己的邮票寄给第16个人，然后第16个人收集所有邮票再寄给那15个人，由此每人即可得到16个国家的邮票。
【解答】15＋15＝30（封）
这16人之间总共至少要通信30封。
【点评】解答此题的关键是，如何做到通信次数最少，那就只有同时寄出多张邮票，才能达到通信次数最少的目的。
8．爸爸想在网上书店买书，A店打八折销售，B店每满100元减20元。如果爸爸想买的这套书两家店原来的标价都是150元。
（1）到（ ）店买更划算。（填“A”或“B”）
（2）若爸爸在A店持有会员卡，在八折的基础上继续打折，共省了42元。则用会员卡又享受了（ ）折。
【答案】（1）A
（2）九
【分析】（1）A店：商店有时降价出售商品，叫作打折扣销售，俗称“打折”，几折就表示十分之几，也就是百分之几十，如：打八折出售，就是按原价的80%出售，商品的现价＝商品的原价×折扣；
B店：先求出150元里面有多少个100元，有几个100元就减去几个20元，实际价格＝商品的原价－优惠的价格，最后比较大小找出需要钱数较少的书店；
（2）在A店购买150元的书需要120元，使用会员卡后现在的价格为150－42＝108元，折扣＝现价÷原价×100%，据此解答。
【解答】（1）A店：八折＝80%
150×80%＝120（元）
B店：150÷100≈1（个）
150－20×1
＝150－20
＝130（元）
因为120元＜130元，所以到A店买更划算。
（2）（150－42）÷120×100%
＝108÷120×100%
＝0.9×100%
＝90%
＝九折
所以，用会员卡又享受了九折。
【点评】本题主要考查折扣问题，掌握现价、原价、折扣之间的关系是解答题目的关键。
9．李老师要通知39名学生到学校。老师先同时通知3名学生，这3名学生再分别同时通知3名同学，假设同时通知3人要耗时1分钟，全部通知到共需（ ）分钟。
【答案】3
【分析】第一分钟，老师通知三名学生，知道学生人数共3名同学；第二分钟，三名学生分别通知三人，共通知（3×3＝ 9）名同学，知道学生人数共（9＋3＝12）名同学；第三分钟，九名学生分别通知三人，共通知（9×3＝ 27）名同学，知道学生人数共（12＋27＝39）名同学；因为39＝39，所以39名学生全部通知到至少需要3分钟。
【解答】1分钟通知到的有3个人；
2分钟通知到的人数是：3＋3×3
＝3＋9＝12（人）
3分钟通知到的人数是：12＋3×3×3
＝12＋27
＝39（人）
39＝39
所以，全部通知到共需3分钟。
【点评】分别推算出每分钟可以通知到的人数，是解答此题的关键。
10．4月23日世界读书日期间，A、B两网店开展购书促销活动：A网店可享“每满200元减80元”；B网店可享“折上折”，即先打七折再打九折。王老师想买一些原价750元的图书，到（ ）网店购买比较便宜；若想获得最大优惠，你的建议是：（ ）。
【答案】B 到A网店买600元的图书，其余到B网店购买
【分析】（1）A网店“每满200元减80元”，就是750元里有几个200，实际付款就从750里面减少几个80元；B网店先打七折的基础上再打九折，实际付款是750元的70%的90%；然后再比较解答。
（2）由于王老师想买原价为750元的图书，若想获得最大优惠，结合A网店的优惠政策“每满200可减80元”，750元里有150元是没有优惠的，若买的书的价钱刚好是200的倍数，（200－80）÷200×100%＝60%，则相当于打六折，比B网店的“折上折”更优惠，所以7可在A网店购买600元的图书，剩余（750－600）元可在B网店购买，据此解答即可。
【解答】（1）A网店：
750÷200＝3……150（元）
750－3×80
＝750－240
＝510（元）
B网店：
750×70%×90%
＝525×90%
＝472.5（元）
472.5元元
在B网店购买比较便宜。
（2）
（200－80）÷200×100%
＝120÷200×100%
＝60%
70%×90%＝63%
即：A店若买的书的价钱刚好是200的倍数，则相当于打六折，比B店的折上折更便宜。
600－600÷200×80
＝600－3×80
＝600－240
＝360（元）
（750－600）×70%×90%
＝150×70%×90%
＝150×0.7×0.9
＝105×0.9
＝94.5（元）
360＋94.5＝454.5（元）
若想获得最大优惠，你的建议是：到A网店买600元的图书，其余到B网店购买。
【点评】此题考查生活应用中“满减”、“打折”的理解；最优化问题的灵活运用。
二、选择题
11．王师傅要修理甲、乙、丙3台机器，需要的时间分别为10分、30分、60分，一台机器停产1分钟造成经济损失5元，按（ ）的顺序修能使损失最小。
A．甲、乙、丙B．丙、乙、甲C．乙、丙、甲D．乙、甲、丙
【答案】A
【分析】要是经济损失最少，那么总停产时间要最短；先修理时间短的，再修理时间长的才能使总停产时间最短。
10分＜30分＜60分，甲的修理时间最短，丙的修理时间最长；那么先修理甲机器需要10分钟，这时乙和丙两台机器各等了10分钟；修理乙机器需要30分钟，这时丙机器等了30分钟，最后修理丙机器需要60分钟；这样总停产时间最短，造成的损失最小。
【解答】10×3＋30×2＋60
＝30＋60＋60
＝150（分钟）
5×150＝750（元）
总停产时间150分钟最短，经济损失最小是750元。
所以，按甲、乙、丙的顺序修能使损失最小。
故答案为：A
12．星期日丽丽打算做的家务及所用时间如下：洗衣机洗衣服20分钟，拖地要用7分钟，擦家具要用9分钟，晾衣服要用4分钟。经过合理安排，她做完这些家务至少要用（ ）分钟。
A．20B．24C．40D．29
【答案】B
【分析】洗衣机洗衣服的同时去拖地、擦家具，做完这两项家务后，休息会等待衣服洗好。衣服洗好后晾衣服。所以，将洗衣服用的时间加上晾衣服用的时间，即可解题。
【解答】7＋9＝16（分钟）
16＜20
20＋4＝24（分钟）
所以，经过合理安排，她做完这些家务至少要用24分钟。
故答案为：B
13．林林家的电饼铛煎一个鸡蛋需要4分钟（两面煎，每面需2分钟），一次最多可同时煎2个鸡蛋，林林想煎5个鸡蛋，最少需要（ ）分钟。
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】把5个鸡蛋编号，可以这样煎：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反； 一共煎5次，每次2分钟，最少需要（2×5）分钟。
【解答】2×5＝10（分钟）
最少需要10分钟。
故答案为：C
14．森林运动会比赛采取三局两胜制，下表是两组选手在障碍跑中各自组内的成绩排名。乙组要想获胜，应该按（ ）策略安排比赛顺序。
A．兔子—狗；羚羊—鹿；狮子—猎豹B．兔子—鹿；羚羊—狗；狮子—猎豹
C．兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—鹿D．兔子—猎豹；羚羊—鹿；狮子—狗
【答案】C
【分析】要想使第二组获胜的可能性更大，则应让乙组中第三名的兔子和甲组中的第一名猎豹比赛，让乙组中的第二名羚羊和甲组中的第三名狗比赛，让第二组中的第一名狮子和甲组中第二名鹿比赛，据此选择。
【解答】根据分析可知，乙组要想获胜，应该按兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—鹿策略安排比赛顺序。
故答案为：C
15．在生物学中，细胞分裂会产生新的细胞。一个细胞经过第一次分裂会变成两个细胞，经过第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，依此类推。某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，经过（ ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。
A．20B．120C．140D．200
【答案】C
【分析】第1次分裂后细胞有：1×2＝2（个）；
第2次分裂后细胞有：2×2＝4（个）；
第3次分裂后细胞有：4×2＝8（个）；
第4次分裂后细胞有：8×2＝16（个）；
第5次分裂后细胞有：16×2＝32（个）；
第6次分裂后细胞有：32×2＝64（个）；
第7次分裂后细胞有：64×2＝128（个）。
这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞，经过了7次分裂，平均每20分会分裂一次，则经过了（7×20）分钟，据此解答。
【解答】由分析得：7×20＝140（分）
即经过140分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。
故答案为：C
16．有一种传染性极强的病毒，携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过20分钟就会有（ ）人感染这种病毒。
A．81B．120C．31D．16
【答案】A
【分析】5分钟传染一次，20分钟可以传染次；第一个5分钟，从携带者传染开始，传染2人，这样共有3个传染源；第二个5分钟，3个传染源又传染给6个人，这个一共有9个传染源；依次类推，从而计算出第4个5分钟会有多少人感染。
【解答】病毒携带者1人；
第一次：2人，加上病毒携带者共3人；
第二次：6人，加上已感染者3人共9人；
第三次：18人，加上已感染者9人共27人；
第四次，54人，加上已感染者27人共81人。
由此可见，经过20分钟就会有81人感染这种病毒。
故答案为：。
【点评】本题考查了创新意识与探索能力，开动脑筋认真思考，积极寻找解决问题的突破口，难题就会迎刃而解。
17．学校体育室需要采购36个排球，原价40元/个。下面是同款足球四家商店给出的不同优惠措施，最便宜的是（ ）。
A．买五送一B．每满1000减200C．降一成销售D．全场八折
【答案】D
【分析】A．买五送一，也就是原来5个排球的钱可以买到6个，先计算出36里面有（36÷6＝6）个6，所以实际只需要花（6×5）个排球的价钱就可以得到36个排球；
B．满1000元减200元，先求出36个排球的总价，即36×40＝1440（元），再看1440里面有几个1000，即用11440减去几个200元，就是实际花的钱数；
C．一成就是10%，降一成即降价10%，现价是原价的，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，先求出每个排球的现价，再乘36即可得总价。
D．打八折，即按原价的80%出售，根据百分数乘法的意义，用原价乘80%求出打折后的单价，再乘总数量可得总价。
据此求出各选项的钱数，再比较解答即可。
【解答】A．36÷6＝6（组）
每组只花5个排球的价格
（元）
B．36×40＝1440（元）
（元）
C．一成＝10%
（元）
D．八折＝80%
（元）
学校体育室需要采购36个排球，原价40元/个。下面是同款足球四家商店给出的不同优惠措施，最便宜的是全场八折。
故答案为：D
18．旅行社推出“××风景区一日游”活动，如果小芸和小丽跟各自爸爸妈妈两个家庭六人一起去旅游，下面几种价格中最便宜的是第（ ）种。
A．双人游188元B．家庭游275元（3人）
C．成人票100元/张，学生票半价D．团体游480元（6人）
【答案】D
【分析】分别计算出几种价格的实际总钱数，比较即可。
A．总人数÷2×双人游价格＝总钱数；
B．家庭数×家庭游价格＝总钱数；
C．成人数×成人票单价＋学生数×学生票单价＝总钱数；
D．团体游6人共480元。
【解答】A．6÷2×188
＝3×188
＝564（元）
B．2×275＝550（元）
C．4×100＋2×（100÷5）
＝400＋2×50
＝400＋100
＝500（元）
D．480元
480＜500＜550＜564
最便宜的是团体游480元（6人）。
故答案为：D
19．在小红去培训班的路上，看到在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共有五个仓库。A号仓库存有10吨货物，B号仓库存有20吨货物，E号仓库存有40吨货物，其余两个仓是空的。现在想把所有的货物集中存放在任意一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要1元运费，那么放在哪个仓库才能使运费最少？（ ）
A．仓库EB．仓库DC．仓库CD．仓库B
【答案】A
【分析】分别假设把所有的货物集中存放在选项中的仓库里，先计算出其他仓库货物放在这个仓库里的运输路程。已知每吨货物运输1千米需要1元运费，根据单价×数量＝总价，用1乘运输路程，再乘仓库中货物的重量，求出各自的运费，再把它们相加可以求出总运费。最后比较各仓库的总运费即可解答。
【解答】A．100×4×1×10＋100×3×1×20
＝4000＋6000
＝10000（元）
则把所有的货物集中存放在仓库E，运费是10000元；
B．100×3×1×10＋100×2×1×20＋100×1×40
＝3000＋4000＋4000
＝11000（元）
则把所有的货物集中存放在仓库D，运费是11000元；
C．100×2×1×10＋100×1×20＋100×2×1×40
＝2000＋2000＋8000
＝12000（元）
则把所有的货物集中存放在仓库C，运费是12000元；
D．100×1×10＋100×3×1×40
＝1000＋12000
＝13000（元）
把所有的货物集中存放在仓库B，运费是13000元。
10000＜11000＜12000＜13000，则放在E仓库才能使运费最少。
故答案为：A
【点评】明确每两个仓库之间的间隔，从而确定仓库之间的路程是解题的关键。
20．张老师等七位老师要一起外出参加活动，为了联络方便，要建立一个“通讯网”。若通知的方式是打电话，下面方案最节省时间的是（ ）。
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得∶第一分钟可通知1人，合计2人；第二分钟这两个人又可以通知2人，累计通知4人；以此类推可得答案。
【解答】A．1打给2，2打给3，以此类推，一共是1＋1＋1＋1＋1＋1＝6分钟；
B．1打给2；在1打给3的同时，2打给5；在1打给4的同时，2打给6，3打给7，因为同时进行，所以这里只算一个一分钟，所以一共1＋1＋1＝3分钟；
C．1打给2；在2打给5的同时，1打给3，这里算一个一分钟，因为打电话是同时进行的；1打给4的同时，3打给6；最后4打给7，所以一共是1＋1＋1＋1＝4分钟；
D．1打给2；在1打给3的同时，2打给4，这里算一个一分钟；在2打给5的同时，3打给6，这里算一个一分钟；最后3再打给7，所以一共是1＋1＋1＋1＝4分钟。
所以B方案最短。
故答案为：B
【点评】本题主要考查的是怎样通知到每一个人最快的方案，解题的关键是熟练掌握每一分钟通知人的规律，进而累计得出答案。
三、解答题
21．妈妈出去买菜，小涵帮妈妈做家务，至少要多久才能把以下家务做完？
洗衣机洗衣服 30分钟
晾衣服 10分钟
擦灰 8分钟
扫地 10分钟
拖地 10分钟
【答案】40分钟
【分析】根据优化问题，要想时间用的最短，则在洗衣机洗衣服的同时擦灰、扫地、拖地，最后晾衣服即可。
【解答】10＋10＋8
＝20＋8
＝28（分钟）
28＜30
30＋10＝40（分钟）
答：至少要40分钟才能把这些家务做完。
22．用一只平底锅烙饼，每次最多能烙两张饼。两面都要烙，每面需要3分。现要烙5张饼，至少需要多少分？请你画图表表示出需要的时间。
【答案】15分
【分析】结合所学知识，一次最多烙2张饼，一面时间为3分钟，要求所花的时间最少，就要在保证平底锅不空着的情况下，要烙5张饼的最短时间是3×5（分钟），当烙2张饼及以上（两面都要），并且锅里只能同时烙2张时，最少需要的时间＝烙一面需要的时间×饼数；据此解答即可。
【解答】如下所示：
现要烙5张饼，至少需要：3×5＝15（分）
答：至少需要15分钟。
23．桌上放着4个口朝下的杯子，每次翻动3个，能否将4个杯子全变成杯口朝上？如果能，怎样翻？
【答案】能；理由见详解
【分析】根据题意可知，一个杯子第一次翻，杯口朝上，第二次翻，杯口朝下，由此可知，每个杯子翻动奇数次，杯口的方向就能改变。要把4个杯子的杯口由下变成向上，需要翻动每个杯子奇数次，杯口就能向上，每个杯子翻动一次不可行，因为有4个杯子，所以每个杯子至少要翻动3次，据此分析解答。
【解答】开始：下下下下下
第一次：上上上下（翻1，2，3）；
第二次：上下下上（翻2，3，4）；
第三次：下上下下（翻1，2，4）；
第四次：上上上上（翻1，3，4）。
答：每格杯子都翻动3次，就能将4个杯子全变成杯口朝上。
24．学校围棋队有30名队员（含队长），暑假突然有一个紧急比赛，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分，通知30名队员共需要多少分？（用画一画、写一写的方法得出答案）
【答案】画一画、写一写见详解；4分钟
【分析】（1）根据题意，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人，据此画图表示联络广式。
（2）从表中可知，第1分钟通知2名队员；第2分钟增加4名队员，共通知到2＋4＝6名队员；第3分钟增加8名队员，共通知到2＋4＋8＝14名队员；据此发现：增加的队员4是2的2倍，8是4的2倍；从第2分钟开始共通知到的队员人数关系6×2＋2＝14；按此规律填表。
（3）根据上一题得出的规律，继续往下写，即可得解。
【解答】（1）如图：
（2）我发现的规律
第1分钟通知到2人；
第2分钟增加4人，通知到2＋4＝6（人）
第3分钟增加8人，通知到2＋4＋8＝14（人）
① 时间每增加I分，增加的人数是前一次通知人数的2倍；
②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的2倍还多2人；
（3）第4分钟增加16人，通知到2＋4＋8＋16＝30（人）。
答：通知30名队员共需要4分。
25．在预防流感时，王老师为了了解同学们的体温情况，通知15名同学每天上报体温，每分钟通知1个人。要把15个人都通知到，最少需要多少分钟？
【答案】4分钟
【分析】王老师先通知一位同学，再和这位同学一起各再通知一位同学，所有接到通知的同学和王老师继续同时去通知其他同学，据此分析。
【解答】第1分钟：1名
第2分钟：1＋2＝3（名）
第3分钟：3＋4＝7（名）
第4分钟：7＋8＝15（名）
答：最少需要4分钟。
26．学校音乐小组有64人，现需通知外出演出，如果用打电话方式，每人通话1分钟，通知到每人需要多少分钟？如果只有6分钟时间，则至少有多少人没有通知到？
【答案】7分钟；1人
【分析】首先用1分钟通知第一位小组成员，第2分钟由第一次通知的人和1位小组成员两人分别通知1位小组成员，现在一共通知到1＋2＝3（位）小组成员，可以推出第3分钟最多通知到3＋4＝7（位）小组成员，以此类推，由此问题解决。
【解答】根据分析可得，
第一分钟通知到1位小组成员；
第2分钟最多可通知到3位小组成员；
第3分钟最多可通知到7位小组成员；
第4分钟最多可通知到15位小组成员；
第5分钟最多可通知到31位小组成员；
第6分钟最多可通知到63位小组成员；
第7分钟最多可通知到127位小组成员；
63＜64＜127
用打电话的方式最少7分钟可以通知到所有小组成员。
64－63＝1（位）
答：通知到每人需要7分钟；如果只有6分钟时间，则至少有1人没有通知到。
【点评】解决此题的关键是利用已通知的小组成员的人数加上接到通知的小组成员是下一次要通知的人数。
27．一个旅游团共25人到宾馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），一共有多少种不同的安排？在表中填一填。
如果一个3人间每天的住宿费是240元，一个2人间每天的住宿费是200元，这个旅游团每天的住宿费最少是多少元？
【答案】4种，填表见详解；
2080元
【分析】根据题目要求，利用一一列举的方法，从尽量住3人间，不够的才住2人间开始，排除房间有空床的情况，再根据，对各种住房情况进行统计，找到合适的住宿方案即可。
【解答】方案一：
（间）
方案二：
（间）
方案三：
（间）
方案四：
（间）
填表如下：
方案一：
（元）
方案二：
（元）
方案三：
（元）
方案四：
（元）
答：这个旅游团每天住7个3人间和2个2人间最省钱，需要2080元。
28．为加强爱国主义教育，提高思想道德素质，某校六年级220名师生要到武乡八路军太行纪念馆开展研学活动。
学校计划租用运输公司车辆，现有两种车辆可供选择：
A．限乘50人的大巴车，每辆租金是1200元。
B．限乘35人的中巴车，每辆租金为1050元。
请你根据以上信息为本次活动的师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。
【答案】租3辆大巴车，2辆中巴车最省钱；5700元
【分析】根据单价＝总价÷数量，用每辆车的租金除以限乘的人数求出平均一人的价格，优先选择价钱少的车乘坐；即1200÷50＝24（元），1050÷35＝30（元），优先选择大巴车，总共220名，用220除以50求出能坐几辆大巴车，即220÷50＝4（辆）……20（人）剩下20人坐中巴车，计算出总价格；由于上一种中巴车还空15个座位，那么当大巴车减少一辆，租3辆，此时的人数是50×3＝150（人），220－150＝70（人），这时租两辆中巴车正好完全坐下，之后求出此时的价格，再比较即可。
【解答】1200÷50＝24（元）
1050÷35＝30（元）
30＞24，优先选择大巴车；
220÷50＝4（辆）……20（人）
即4辆大巴车，1辆中巴车，此时的价格：
4×1200＋1050
＝4800＋1050
＝5850（元）
50×3＝150（人）
220－150＝70（人）
70÷35＝2（辆）
当租3辆大巴车，2辆中巴车，此时的价格：
3×1200＋2×1050
＝3600＋2100
＝5700（元）
5700＜5850
答：租3辆大巴车，2辆中巴车最省钱；总租金是5700元。
29．新华学校六年级有190名学生和5名老师去参观自然博物馆，新新运输公司有两种车辆可供选择：
（1）限坐35人的大客车，每人票价5.5元，满坐票价打八折；
（2）限坐10人的面包车，每人票价6.5元，满坐票价按优惠。
请你根据以上信息为六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。
【答案】租5辆大客车和2辆面包车最省钱；867.5元
【分析】先计算出大客车和面包车每人的单价，再得出尽量先坐满大客车，然后坐满面包车，不满座的情况下，再依次坐满大客车、面包车，再得出尽量坐满的情况下租车的辆数，算出所需的钱数。
【解答】大客车：（元）
面包车：（元）
即在满座的情况下，大客车的每人票价低，所以尽量先坐满大客车，然后坐满面包车，不满座的情况下，再依次坐满大客车、面包车。
（辆）……20（人）
即租5辆大客车和2辆面包车刚好坐满。
＝175×5.5×80%＋20×6.5×75%
＝962.5×80%＋130×75%
（元）
答：租5辆大客车和2辆面包车最省钱，总租金是867.5元。
30．某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。
（1）李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？
（2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？
【答案】（1）方式二
（2）15次
【分析】（1）分别计算出两种方式的实际钱数，比较即可。一年有12个月，方式一：单价×数量＝总价，每月次数×月数＝总次数，单价×总次数＝实际钱数；方式二：每次另外收费钱数×总次数，然后再加上240元的会员费是实际钱数。
（2）两种方式，游泳次数相同，每次相差16元，240元里面有几个16元，就有几次。
【解答】（1）方式一：30×（12×2）
＝30×24
＝720（元）
方式二：240＋14×（12×2）
＝240＋14×24
＝240＋336
＝576（元）
720＞576
答：他选择方式二更划算。
（2）240÷（30－14）
＝240÷16
＝15（次）
答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。
31．国际影城的影片告示如表所示：
现在有成人6人，儿童4人，请你算一算，怎样购票最省钱？
【答案】见详解
【分析】团体票要比成人票价便宜，又比儿童票贵，所以有3种购票方式：①直接购买，用成人的人数乘成人票价加上儿童的人数乘儿童票价即可；②全买团体票，用总人数乘团体票价即可；③6个成人买团体票，用6乘团体票价求出这6人的门票钱，4个儿童买儿童票，团体票和儿童票的门票钱相加即可；最后比较3种购票方式哪个最省钱即可。
【解答】①6×100＋4×40
＝600＋160
＝760（元）
②（6＋4）×70
＝10×70
＝700（元）
③6×70＋4×40
＝420＋160
＝580（元）
580＜700＜760
答：6个成人购买团体票，4个儿童买儿童票最省钱，一共要付580元。
【点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。
32．某校老师带领该班学生去旅游，A旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠。B旅行社说：包括老师在内按六折优惠。若每张全票价是280元，则（1）学生数多少时，两家旅行社收费一样多？（2）该校老师今年准备带5名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因。
【答案】（1）4人
（2）A旅行社
【分析】（1）半折就是50%，六折就是60%，设学生人数是人时，两旅行社收费一样，由题意可知等量关系式一张全票价＋全票价×50%×学生人数＝全票价×60%×（学生人数＋1），据此列方程并求解即可。
（2）当时，分别计算两家旅行社的费用，比较大小即可得解。
【解答】（1）解：设学生人数是人时，两旅行社收费一样。
答：学生数4人时，两家旅行社收费一样多。
（2）
（元）
（元）
答：选择A旅行社便宜。
【点评】考查方程的应用，关键找出等量关系，列方程，再求解。
33．A，B两个粮仓分别有80吨和100吨粮食，现甲、乙、丙三个供应点分别需要60吨、45吨、50吨粮食，从A，B两仓运大米到三个供应点的运费如下表所示。怎样运运费最少？至少需运费多少元？
【答案】见详解；790元
【分析】从A、B两仓运大米到三个供应点，差价依次是1元、5元、2元，所以A仓应尽量给乙供应点运粮食，A仓运45吨给乙，其次给丙供应点运（80－45＝35）吨；B仓应先给甲供应点运，B仓运60吨给甲，再运（50－35＝15）吨给丙供应点；分别计算出每次的运费，将所用运费相加即为需要的总运费。
【解答】A仓给乙供应点运45吨，运费为：45×6＝270（元）
A仓还剩下粮食：80－45＝35（吨），把35吨运给丙供应点，运费为：35×5＝175（元）
B仓给甲供应点运60吨，运费为：60×4＝240（元）
丙供应点还差粮食：50－35＝15（吨），B仓运15吨给丙供应点，运费为：15×7＝105（元）
总运费为：270＋175＋240＋105＝790（元）
答：运送方式如下：①A仓给乙运45吨，乙供应点完成；
②A仓剩余粮食35吨运给丙，丙差15吨；
③B仓给甲运60吨，甲供应点完成；
④B仓给丙运15吨，丙供应点完成。
至少需要运费790元。
【点评】解答本题的关键通过运费表计算运费的差价，当差价较大时选择便宜的运输方式才是最节省的。本题中让差价最大的乙供应点选择最便宜的运输方式，即选择A仓，其次是丙供应点，甲供应点的差价最小可以选择B仓库。
34．有18吨货物要运到集市，租一辆4吨大货车要500元运费，租一辆1吨小货车要200元运费。货运公司提供了设计好的三种方案（见表）。
你还能提出比货运公司更省钱的方案吗？如果能，请帮忙算出来。
【答案】租大货车4辆，小货车2辆最省钱
【分析】每辆大货车载质量乘租的辆数，可以算出大货车运送货物多少吨；每辆小货车载质量乘租的辆数，可以算出小货车运送货物多少吨；大货车运送货物吨数加上小货车运送货物吨数，即可算出一共运送了多少吨货物。每辆大货车租金乘租的辆数，可以算出租大货车需要多少钱；每辆小货车租金乘租的辆数，可以算出租小货车需要多少钱；大货车租金加上小货车租金，即可算出一共需要多少钱。据此算出各种运输方案需要的钱数，再选择最省钱的运输方案。
【解答】
2400＜2500＜2700＜3000＜3300＜3600
答：租大货车4辆，小货车2辆最省钱。
35．实验小学五年级61名师生到日月潭研学旅行，早上6：00起床，昨晚孩子们做梦都想着：日月潭位于阿里山以北、能高山之南的南投县鱼池乡水社村。是台湾最大的天然淡水湖泊，堪称明珠之冠。在清朝时即被选为台湾八大景之一，有“海外别一洞天”之称。区内依特色规划有六处主题公园，包括景观、自然、孔雀及蝴蝶、水鸟、宗教等六个主题公园，还有八个特殊景点，以及水社、德化社两大服务区。7：00出发，8：56到达景区，上午游览阿里山森林公园，看神木，乘小火车，观日出，看云海，下午租船游日月潭，租船方式：小船限乘16人，往返170元；中等船限乘21人，往返220元；大船限乘45人，往返460元。18：00师生念念不舍结束了当天的旅行，乘车准备回景区饭店。
（1）他们出发的时间是：（ ），景区游览所需时间（ ）。
（2）五年级师生游日月潭时怎么租船省钱？
【答案】（1）7：00；9时4分
（2）一条小船和一条大船
【分析】（1）根据题意可知，出发时间是7：00；景区浏览所需时间＝结束时间－开始时间，据此解答；
（2）根据师生人数和全部租小船的费用、租中等船的费用，租大船的费用，以及租小船和大船的费用进行比较，即可解答。
【解答】（1）它们出发的时间是7：00；
18时－8时56分＝9时4分
它们出发的时间是7：00，景区游览所需时间是9时4分。
（2）全部租小船：61÷16≈5（条）
5×170＝850（元）
全租中等船：61÷21≈3（条）
3×220＝660（元）
全租租大船：61÷45≈2（条）
2×460＝920（元）
一条小船和一条大船：16＋45＝61（人）
170＋460＝630（元）
630＜660＜850＜920，租一条小船和一条大船最省钱。
答：五年级师生游日月潭时租一条小船和一条大船省钱。场次
第一场
第二场
第三场
第四场
甲队队员
下
中
优
良
乙队队员
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
甲队队员
下
中
优
良
乙队队员
中
良
下
优
第一名
第二名
第三名
甲组
猎豹0.9秒
鹿9.5秒
狗9.9秒
乙组
狮子9.3秒
羚羊9.6秒
兔子10.0秒
饼
所需时间
第一次烙饼
1正、2正
3分钟
第二次烙饼
1反、3正
3分钟
第三次烙饼
2反、3反
3分钟
第四次烙饼
4正、5正
3分钟
第五次烙饼
4反、5反
3分钟
3人间个数
2人间个数
3人间个数
7
5
3
1
2人间个数
2
5
8
11
片名
《战狼3》
购票方式
成人票100元/人
儿童票40元/人
团体5人以上（含5人）70元/人
甲
乙
丙
A
3元
6元
5元
B
4元
11元
7元
大货车数量辆
小货车数量辆
运费元
0
18
3600
1
14
3300
2
10
3000