人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.21 平行四边形最短路径问题（培优篇）（专项练习）（附答案）

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专题18.21 平行四边形最短路径问题（培优篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是(　　) A． B．1 C． D． 2．如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（　　） A．等于定值5﹣ B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 6．如图，等边中，，为中点，，为边上动点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D．15 7．如图，中，，，D为边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 8．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为(    ). A． B． C． D． 10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为(   ) A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3 二、填空题 11．如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________． 12．已知在中，，，点，分别在直角边和上运动，，当点到达点时，点停止运动，点为的中点，则的最小值为________． 13．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 14．如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________． 15．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为  ____________ 16．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______． 17．已知，在中，，点D为一动点，且，连接BD，点E为BD中点，则CE的最小值为______． 18．如图，在ABC中，，，AD平分交BC于点D，P为直线AB上一动点．连接DP，以DP、DB为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若．则CQ的最小值为______． 三、解答题 19．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： (1) 若，，，公园的面积为 　　； (2) 在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； (3) 若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 20．在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积． 根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 　 　cm2． 如图2，在中，，且，求线段的最小值． 如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积． 21．（1）【问题探究】如图，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形． 请你完善以下证明过程： ∵是的中线 ∴______=______ ∵ ∴四边形是平行四边形 （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连接． 求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长． 22．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP． (1) 如图1，，，且．求：△ABP的面积． (2) 如图2，若，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论． (3) 如图3，作于D，于E，若，，，当DE最小时，请直接写出DE的最小值． 23．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE． (1) 如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB； (2) 如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值． 24．已知等腰直角与有公共顶点． （1）如图①，当点在同一直线上时，点为的中点，求的长； （2）如图②，将绕点旋转，点分别是的中点，交于，交于． ①猜想与的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论； ②参考图③，若为的中点，连接，在旋转过程中，线段的最小值是多少（直接写出结果）． 参考答案 1．D 【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论． 解：分三种情况： ①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1， 过A作AF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B=180°， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°， Rt△ABF中，∠BAF=30°， ∴BF=AB=1，AF=， ∴此时△ABE的最大面积为：×4×=2； ②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=S▱ABCD=×4×=2； ③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2， 综上，△ABE的面积的最大值是2； 故选：D． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题． 2．C 【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求． 解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AMCN， ∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中， ， ∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB＝． 由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5． 故选：C． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 4．C 【分析】如图，取的中点，连接、、，作于.首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 解：如图，取的中点，连接、、，作于. ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴， 易知的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为. 故选：C． 【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题． 5．D 【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC＝＝4，OB＝＝，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，由直角三角形的性质得出AE＝OB，同理：CF＝OD，即可得出结果 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵EF＝BD， ∴OB＝EF＝OD， ∴BE＝OF，OE＝DF， ∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB， ∴AC＝＝4， ∴OA＝2， ∴OB＝＝， 当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点， ∴AE＝OB， 同理：CF＝OD， ∴AE+CF＝OB＝， 即AE+CF的最小值为； 故选D． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 6．A 【分析】如图，取的中点，连接，作关于的对称点，过作的延长线于点，连接，可知四边形是平行四边形，则，当三点共线时取等于号，则的长度即为的最小值，求得即可 解：如图，取的中点，连接，作关于的对称点，过作的延长线于点，连接， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当三点共线时取等于号，则的长度即为的最小值， 由作图可知：，，， ， ， ， ， ． 故选A． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线，将转化为． 7．C 【分析】首先根据已知得出最小时，的位置，进而利用三角形面积求出的长，进而得出答案． 解：当为边时，． 当为对角线时，如图所示：过点作于点， 过点作于点，当于点时，此时最小， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，，， ． ， 的最小值为：． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 8．B 【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解． 解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD， ∵∠BAD=45°，AB=10 ∴为等腰直角三角形， 由题意可得，垂直平分，， ∴， ∴， 在中，，当、两点重合时， 即的最小值为 故选：B． 【点拨】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解． 9．B 【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论． 解：取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大． ∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2． ∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝1． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM． 故选B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．B 【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于，交于．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系． 解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值， ∵C1C2∥DE，C1C2＝DE， ∴四边形C1DEC2是平行四边形， ∴C1D＝C2E， 又∵CC1关于AB对称， ∴CD＝C1D， ∴CD+EF＝C2F， ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝2， ∴CN＝，AN＝3， 过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝， ∴C2M∥C1N，C1C2∥MN， ∴MN＝C1C2＝， ∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°， ∴∠MC2E＝∠A＝30°， 在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2， ∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣， ∴EF， ∴C2F． 故选：B． 【点拨】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键． 11． 【分析】先延长交于点，得出，再判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形的面积，最后根据，判断的最大值即可． 解：延长交于点， ∵在正和正中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积， 又∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即四边形面积的最大值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造平行四边形的高线是解答本题的关键． 12． 【分析】取的中点，的中点，连接，根据题意，当在上运动时，在上运动，当时，取得最小值，进而勾股定理即可求解． 解：如图，取的中点，，的中点，连接， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴,， 根据题意可得，当在点时，在点，点与点重合， 当在点时，在点，点与点重合， ∴当在上运动时，在上运动，当时，取得最小值， 在中，， ∴, 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理，三角形中位线的性质，确定的运动轨迹是解题的关键． 13．## 【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可． 解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ， ． ，， ∴四边形为平行四边形， ． ，，三点共线， 此时的周长最小． ， ，即， ， 周长的最小值为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 14．9.6 【分析】设交于点，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 解：设交于点，过点作于点，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴, 在中，， ∵， ∴， 当点与点，重合时，最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 15．45 【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题． 解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、． ∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到， ∴，，， ∵， ∴， ∵D、T关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴B、A、T共线， ∴， ∵， ， ∴四边形EGCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的最小值为45． 故答案为：45． 【点拨】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题． 16． 【分析】如图，延长到，使得，连接，过点作于点．首先证明四边形是平行四边形，推出，推出点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，求出的长，可得结论． 解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动，当点与重合时，的值最小， 在中，，，， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 17． 【分析】取AB中点O，连接CO、EO，根据中位线的性质和勾股定理求出CO、OE长，再根据CE≥OC-OE求出最小值即可． 解：取AB中点O，连接CO、EO， ∵在中，， ∴， ∵点E为BD中点，点O为AB中点，， ∴，， ∵CE≥OC-OE， ∴， CE的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了中位线和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构建三角形，利用三角形三边关系求解． 18． 【分析】过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H，如图1，利用直角三角形的性质和勾股定理，求出OC=3，则可求得OB= OC=3，AB=3+3，继而求出DH=3；过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M，△QGM≌△DHM(AAS)，得到QG=DH=3，故Q到直线AB的距离始终为3，所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为3，根据垂线段最短，当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，最小值为：CO+3，即可求解． 解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H， 在Rt△ACO中，∠CAB= 60°， ∴∠ACO=30°， ∴AO=AC=3， ∴OC==3， 在Rt△BCO中，∠CBA=45°， ∴OB=CO=3， ∴AB=AO+BO=3+3， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB=∠CAB=30°， 在Rt△DHB中，∠CBA =45°， 可设DH=HB=a， ∴AD=2DH=2a， ∴AH==a， ∴AB=AH+BH=a+a， ∴a+a=3+3， ∴a=3， ∴DH=3， 如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M， ∵四边形DPQB为平行四边形， ∴DM=QM， 在△QGM与△DHM中， ， ∴△QGM≌△DHM(AAS)， ∴QG=DH=3， 故Q到直线AB的距离始终为3， 所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为3， 根据垂线段最短， 当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3， 最小值为：CO+3=3+3， 故答案为：3+ 3． 【点拨】本题考查直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，垂直线段最短，平行线间的距离，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，本题属动点最短距离问题，综合性较强． 19．(1) (2) (3)万元 【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案； （2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可； （3）由题意可知为定值，从而将沿MN向下平移2km至，连接交于点，此时点N位于处，此时即为取最小值，过M作于点G，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得． 解：（1）解：四边形是平行四边形，，， ，， 在中，过点作于点，如图： ，，， ， ， ， ； 公园的面积为； 故答案为：． （2）解：连接、，如图： 在中，， ， ， ，，， ， ， ． 种植郁金香区域的面积为． （3）解：将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处， 此时即为取最小值，过作于点，如图： ，， 为的中位线， ， 四边形和四边形均为平行四边形， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中， 由勾股定理得：， ， 、、和的最小值为：， 投入资金的最小值为：万元． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，本题难度略大． 20．(1)12.5 (2) (3)不是，， 【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积； （2）由勾股定理可得，由配方法可求解； （3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解． 解：（1）解：由题意可得，，， 则的面积， 即四边形的面积为， 故答案为：12.5； （2）解：， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为2； （3）解：如图，过点B作于H， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 当时，有最小值，即的最小值为， 此时：，， 是等边三角形， ． 综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 21．（1），；（2）见分析；（3） 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明； （2）延长至点F，使，连接CF，同（1）证四边形是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，推出，即可证明； （3）作辅助线（见分析），同（2）可证四边形是平行四边形，得出，同（1）可证四边形是平行四边形，得到，，； 时，MC取最小值，取最小值，利用三角形等面积法求出MC，再利用勾股定理即可求出CE． 解：（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：，； （2）证明：如图，延长至点F，使，连接CF，BF， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图所示，连接AE，BM，延长DM至点N，使，连接CN，BN． ∵点D是的中点， ∴， 又∵，， ∴． 同（2）可证，四边形是平行四边形， ∴， ∴当MC取最小值时，取最小值， ∵， ∴时，MC取最小值． 同（1）可证四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵在中，，， ∴． 故线段CE的长为． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式等，第3问有一定难度，解题的关键是应用第（1）（2）问的结论，利用等面积法求出MC． 22．(1)； (2)，证明见详解； (3)DE的最小值为． 【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，由,列等量关系,计算得到的长，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）连接CE并延长，交BA的延长线与点H，证明，,进一步推理得到；由三角形中位线定理知道；证明，得到,代入中即可得到答案； （3）延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，推理得到当AP有最小值的时候，DE有最小值，在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，利用勾股定理求解即可． (1) 解：过点A作AG⊥BC于点G，如下图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴BC=2BG=2， ∴， ∴； (2) ,理由如下： 证明：连接CE并延长，交BA的延长线与点H，作图如下： ∵， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：,即：， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵F是BE的中点， ∴AF是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 解：延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，如下图： ∴DE为△PMN的中位线， ∴MN=2BE， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，AM=AN，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴当AP有最小值的时候，DE有最小值， ∴在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值， 过点B作BF⊥AC于点F，如下图： ∵， ∴∠BFC=∠BFA=， 在中，， ∴， ∴FB=FC， 由勾股定理，得：，即， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， 即：， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理，得，即， ∵， ∴， ∴AP的最小值为3， ∴， ∴DE的最小值为：． 【点拨】本题考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，直接开平方法解一元二次方程，二次根式的加减，等知识点，能够用化归的思想，利用辅助线画准确图形是解该类型题的关键． 23．(1)见分析 (2) 【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，先证明△DCF≌△DGH（ASA），进而证得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再证明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可证得结论； （2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，应用平行四边形的性质和含30°直角三角形三边关系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三边关系可得：BM＝BF＝，FM＝BM＝，进而可得DM＝，求得：FG＝，再证四边形BPQF是平行四边形，得出BP＝FQ，再证明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根据FQ+QG≥FG，可得出：当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，即BP+QN的最小值为FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值． (1) 如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K， ∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE， ∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°， ∴∠CDF＝∠GDH， ∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC， ∴∠DCF＝∠DGH， 在△DCF和△DGH中， ， ∴△DCF≌△DGH（ASA）， ∴DF＝DH，CF＝GH， ∵∠FDH＝90°， ∴△DFH是等腰直角三角形， ∴∠DFH＝∠DHF＝45°，FH＝DH， ∵DC＝DG，∠CDG＝90°， ∴∠CGD＝DCG＝45°， ∴∠CGD＝∠DHF， ∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH， ∴∠GCH＝∠BDM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG， 在△DMB和△CGH中， ， ∴△DMB≌△CGH（AAS）， ∴DB＝CH， ∵CF＝GH，BM＝GH， ∴CF＝BM， ∵CF+FH＝CH， ∴BM+DH＝DB； ； (2) 如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝， 连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，CD＝AB＝， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°， ∵BD⊥CD，CD＝， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴BC＝2CD＝2， ∴BD＝＝＝， ∵CE平分∠DCB， ∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°， ∵BFCE， ∴∠CBF＝∠BCE＝30°， ∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°， ∵FM⊥BD，BF＝， ∴BM＝BF＝＝，FM＝BM＝×＝， ∴DM＝BD-BM＝＝， ∴DF＝＝＝， ∵DF2+BF2＝， ∴DF2+BF2＝BD2， ∴BF⊥DF， ∵BFCE， ∴CE⊥DF， ∵∠DCE＝30°， ∴∠CDF＝90°-30°＝60°， ∵BC＝2，BC＝4CN， ∴CN＝＝， ∴CG＝CN＝， ∴DG＝CD-CG＝-＝， ∵GH⊥DF，∠CDF＝60°， ∴DH＝DG＝＝，GH＝DH＝×＝， ∴FH＝DF-DH＝+＝， ∴FG＝＝＝， ∵BFCE，BF＝PQ， ∴四边形BPQF是平行四边形， ∴BP＝FQ， 在△CNQ和△CGQ中， ， ∴△CNQ≌△CGQ（SAS）， ∴QN＝QG， ∵FQ+QG≥FG， ∴当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG， ∴BP+QN的最小值为FG， ∵PQ＝，FG＝， ∴BP+PQ+QN的最小值为FG+PQ＝＝， 故BP+PQ+QN的最小值为． ； 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，截长补短方法，熟练运用所学知识点是解题关键 24．（1）；（2）①；证明见分析；②线段的最小值是． 【分析】（1）如图：过点作于点，先说明FQ是△ADE的中位线，然后再求得FQ、BQ，最后再运用勾股定理解答即可； （2）①连接交于，先证明可得，然后再说明GM是△ABD的中位线可得，然后再根据角的关系证明﹔②如图：连接CG，取中点O，连接OK、OM，再根据勾股定理和三角形中位线的性质求得CG和OK,进而求得OM,最后根据三角形的三边关系即可解答． 解：（1）过点作于点， ∵点是的中点， ∴FQ是△ADE的中位线 ， ； （2）①﹔ 证明:连接交于． ， ．即； 在和中， ， （SAS）， 分别是的中点， ∴GM是△ABD的中位线 且 ， ， ﹔ ②如图：连接CG，取中点O，连接OK、OM ∴，OK=AG=1 ∵∠CMG=90°，O为CG的中点 ∴OM=CG= ∵MK＞OM-OK ∴当O、K、M共线时，MK取最小值OM-OK=-1． 【点拨】本题主要考查了三角形的中线、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．