人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.24 平行四边形（中考真题专练）（培优篇）（专项练习）（附答案）

这是一份人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.24 平行四边形（中考真题专练）（培优篇）（专项练习）（附答案），共35页。
专题18.24 平行四边形（中考真题专练） （培优篇）（专项练习） 一、单选题 1．（2020·四川自贡·统考中考真题）如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．（2020·辽宁·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 3．（2012·山东烟台·中考真题）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【 】 A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 D．h2=h1 4．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2011·四川成都·中考真题）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　） A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm 6．（2012·四川德阳·中考真题）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　） A． B． C． D． 7．（2018·湖北荆门·统考中考真题）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　） A． B． C．1 D．2 8．（2018·四川达州·统考中考真题）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 9．（2013·四川达州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2018·黑龙江伊春·中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论： ①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．（2020·湖北武汉·中考真题）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________． 12．（2011·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作， ，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则 _____________. 13．（2018·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____． 14．（2018·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是_____． 15．（2017·青海西宁·中考真题）如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，若，则AE的长为___. 16．（2016·江苏常州·中考真题）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__． 17．（2015·湖北十堰·统考中考真题）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=____时，四边形ADFE是平行四边形． 18．（2015·湖北随州·统考中考真题）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____． 三、解答题 19．（2020·辽宁大连·中考真题）如图1，中，点分别在边上，，点G在线段上，，． （1）填空：与相等的角是_____； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）若（如图2），求的值． 20．（2020·四川乐山·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 21．（2019·重庆·统考中考真题）在中，BE平分交AD于点E． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且．求证：． 22．（2019·重庆·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P显AD上一点，连接CP． （1）若DP=2AP=4，CP=，CD=5，求△ACD的面积． （2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD=CM+2CE． 23．（2018·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE. （1）求证：△ABF≌△EDA； （2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC． 24．（2018·重庆·统考中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点. （1）若，，求的面积； （2）若，求证：. 参考答案 1．B 【分析】延长EF，DA交于G，连接DE，先证明△AFG≌△BFE，进而得到BE=AG，F是GE的中点，结合条件BF⊥GE进而得到BF是线段GE的垂直平分线，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解. 解：延长EF，DA交于G，连接DE，如下图所示： ∵F是AB的中点，∴AF=BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF 且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)， 设， 由GF=EF，且∠DFE=90°知， DF是线段GE的垂直平分线， ∴， 在Rt△GAE中，． 在Rt△AED中，， ∴，解得， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解题的关键. 2．B 【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案． 解：延长DE与BC交于点F，如图： ∵， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠A=∠F， 在△BDF中，， ∴， ∴∠A=80°； 故选：B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，求出∠F的度数． 3．C 解：直接根据三角形中位线定理进行解答即可： 如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD， ∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线．∴h1=2OC． 同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点， 设B′点的最大高度为h2， 则h2=2OC．∴h1=h2．故选C． 4．A 【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF， ∴∠ABE=∠CDF， A.若添加，则无法证明，故A错误； B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确； C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确； D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确． 故选：A． 【点拨】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．A 解：由题意得：⑤的面积=四边形ABCD面积﹣（①+②+③+④）=4cm2， ∴EFGH的面积=14+4=18cm2， 又∵∠F=30°， ∴菱形的边长为6cm， 而①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm．故选A． 6．D 解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE． ∵APBE， ∴四边形APEB是平行四边形． ∴PEAB．， ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴EFBD． ∴EF∥AB． ∴P，E，F共线． 设BD=a， ∵，∴PE=AB=4a． ∴PF=PE﹣EF=3a． ∵PH∥BC， ∴S△HBC=S△PBC． ∵PF∥AB， ∴四边形BFPH是平行四边形． ∴BH=PF=3a． ∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4， ∴S△PBC：S△ABC=3：4． 故选D． 7．C 【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长． 解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图， ∵△ACB为等腰直角三角形， ∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°， ∵O为AB的中点， ∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ， 在Rt△AOP和△COQ中 ， ∴Rt△AOP≌△COQ， ∴AP=CQ， 易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形， ∴PE=AP=CQ，QF=BQ， ∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1， ∵M点为PQ的中点， ∴MH为梯形PEFQ的中位线， ∴MH=（PE+QF）=， 即点M到AB的距离为，而CO=1， ∴点M的运动路线为△ABC的中位线， ∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1， 故选C． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 8．C 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=． 故选C． 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9．B 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值． 解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°， ∴BC⊥AB． ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD=OE，OA=OC． ∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC． ∴OD∥AB． 又点O是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD=AB=1.5， ∴ED=2OD=3． 故选B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 10．D 【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断； ②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长； ③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断； ⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE•OC=，，代入可得结论． 解：①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①正确； ②∵BE=EC，OA=OC， ∴OE=AB=，OE∥AB， ∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°， Rt△EOC中，OC=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°， Rt△OCD中，OD=， ∴BD=2OD=，故②正确； ③由②知：∠BAC=90°， ∴S▱ABCD=AB•AC， 故③正确； ④由②知：OE是△ABC的中位线， 又AB=BC，BC=AD， ∴OE=AB=AD，故④正确； ⑤∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=， ∴S△AOE=S△EOC=OE•OC=××， ∵OE∥AB， ∴， ∴， ∴S△AOP= S△AOE==，故⑤正确； 本题正确的有：①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 11．26°． 【分析】设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、 ∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可． 解：设∠BAC=x ∵平行四边形的对角线 ∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x ∵AE=BE ∴∠EBA =∠BAC=x ∴∠BEC=2x ∵ ∴BE=BC ∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x ∵AD//BC， ∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°． 故答案为26°． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键． 12． 【分析】先根据是等边三角形可求出的高，再根据三角形中位线定理可求出，进而可得出，找出规律即可得出． 解：∵是边长为1的等边三角形， ∴的高， ∵是的中位线， ∴， ∴； 同理可得，； … ∴； ∴． 故答案是． 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 13． 【分析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长． 解：设EF=x， ∵点E、点F分别是OA、OD的中点， ∴EF是△OAD的中位线， ∴AD=2x，AD∥EF， ∴∠CAD=∠CEF=45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=2x， ∴∠ACB=∠CAD=45°， ∵EM⊥BC， ∴∠EMC=90°， ∴△EMC是等腰直角三角形， ∴∠CEM=45°， 连接BE， ∵AB=OB，AE=OE ∴BE⊥AO ∴∠BEM=45°， ∴BM=EM=MC=x， ∴BM=FE， 易得△ENF≌△MNB， ∴EN=MN=x，BN=FN=， Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2， ∴()2＝x2+(x)2， x=2或-2（舍）， ∴BC=2x=4． 故答案为4． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题． 14．2≤a+2b≤5． 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 解：过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°， ∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°， ∴EH=EP=a， ∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2； 当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5． 故答案为：2≤a+2b≤5 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 15． 解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G， 在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB， 由于▱ABCD沿EF对折， ∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC， ∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB， ∴∠D′CF=∠ECB， 在△D′CF与△ECB中， , ∴△D′CF≌△ECB（ASA）, ∴D′F=EB，CF=CE， ∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF 设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x， ∵BC=4，∠CBG=60°， ∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2， ∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x 在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2=x2， 解得：x=AE= 考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质． 16．1． 试题分析：先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据，判断ab的最大值即可． 解：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°， ∴∠EPC=150°， ∴∠CPF=180°﹣150°=30°， ∴PF平分∠BPC， 又∵PB=PC， ∴PF⊥BC， 设Rt△ABP中，AP=a，BP=b， 则CF=CP=b，， ∵△APE和△ABD都是等边三角形， ∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°， ∴∠EAD=∠PAB， ∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS）， ∴EP=AP=CP， ∴四边形CDEP是平行四边形， ∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab， 又∵≥0，∴2ab≤， ∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为1． 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；最值问题． 17．． 解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由如下： ∵=， ∴∠CAB=30°， ∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB， ∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB， ∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°， ∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中， ∵∠ACB=∠EFA，∠BAC=∠AEF，AB=AE， ∴△ABC≌△EAF（AAS）， ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA⊥AB， ∵EF⊥AB， ∴AD∥EF， ∵△ABC≌△EAF， ∴EF=AC=AD， ∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为． 考点：1．平行四边形的判定；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 18．4或6． 解：试题分析：本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论：（1）当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，延长B′A交BC于点G，利用平行四边形和直角三角形的性质，可求出BC的长为6；（2）当∠AB′D=90°时，如图2，由平行四边形的性质可求出四边形ACDB′是等腰梯形，然后根据∠AB′D=90°，得出四边形ACDB′是矩形，再通过解直角三角形，得出BC的长为4． 解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，∠B′AD=90°， ∴∠B′GC=90°， ∵∠B=30°，AB=2， ∴∠AB′C=30°， ∴GC=B′C=BC， ∴G是BC的中点， 在RT△ABG中，BG=AB=×2=3， ∴BC=6； 当∠AB′D=90°时，如图2， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACDB′是等腰梯形， ∵∠AB′D=90°， ∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC=90°， ∵∠B=30°，AB=2， ∴BC=AB÷=2×=4， ∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形． 故答案为4或6． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质；3．等腰梯形、矩形和直角三角形． 19．（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）由可得到答案； （2）在上取点，使 连接，先证明再证明四边形是平行四边形，从而得到为的中位线，从而可得答案； （3）如图，在上取点，使 连接， 同理可得：四边形是平行四边形，证明 再证明得到 设 利用勾股定理求解 即可得到答案． 解：（1）    故答案为： （2） 理由如下： 在上取点，使 连接， ， 四边形是平行四边形， 为的中位线， （3）如图，在上取点，使 连接， 同理可得：四边形是平行四边形， 为的中位线， 设 ， 设 【点拨】本题考查的等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 20．（1）；（2）补图见分析，仍然成立，证明见分析；（3），证明见分析 【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证． 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）补全图形如图所示，仍然成立， 证明如下：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为， 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决． 21．（1）；（2）证明见分析. 【分析】（1）作于O，由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，证出，得出，由三角形面积公式即可得出结果； （2）作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明得出，再证明得出，即可得出结论． （1）解：作于O，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵BE平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）证明：作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．（1）；（2）见分析. 【分析】（1）作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4-x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果； （2）连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论. （1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示： 设PG＝x，则DG＝4﹣x， 在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2， 在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2， ∴17﹣x2＝9+8x﹣x2， 解得：x＝1，即PG＝1， ∴GC＝4， ∵DP＝2AP＝4， ∴AD＝6， ∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12； （2）证明：连接NE，如图2所示： ∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM， ∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°， ∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC， 在△NBF和△EAF中， ， ∴△NBF≌△EAF（AAS）， ∴BF＝AF，NF＝EF， ∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF， ∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF， 在△ANE和△ECM中，， ∴△ANE≌△ECM（ASA）， ∴CM＝NE， 又∵NF＝NE＝MC， ∴AF＝MC+EC， ∴AD＝MC+2EC． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键. 23．（1）证明见分析；（2）证明见分析. 分析：（1）证明AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题； （2）只要证明FB⊥AD即可解决问题. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC， ∵BC=BF，CD=DE， ∴BF=AD，AB=DE， ∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF， ∴∠ADE=∠ABF， 在△ABF与△EDA中， ∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD ∴△ABF≌△EDA． （2）证明：延长FB交AD于H． ∵AE⊥AF， ∴∠EAF=90°， ∵△ABF≌△EDA， ∴∠EAD=∠AFB， ∵∠EAD+∠FAH=90°， ∴∠FAH+∠AFB=90°， ∴∠AHF=90°，即FB⊥AD， ∵AD∥BC， ∴FB⊥BC． 点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 24．（1）；（2）证明见分析 【分析】（1）由AH=3，HE=1可求得AB的长，根据勾股定理可求得BH的长，然后根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，结合图形根据已知条件可以得到，继而可得到，通过证明，可得，根据等腰三角形的性质可求得，再根据平行四边形的性质可以证明，从而得，继而可得. 解：（1） ， ， 又在中，， ； （2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N， =90°， =45°， =45° ， ， ， =90°， ， =180°， =180°， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点拨】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.