人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.19 平行四边形最短路径问题（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题18.19 平行四边形最短路径问题（基础篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在直角三角形中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 4．已知点与点，是一个平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（     ） A．8 B． C． D．6 5．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．2﹣ D．﹣1 6．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在中，，，，点是上一点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值是（ ）cm A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是（    ）. A．AC B．BC C．CD D．AB 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（　　） A．5 B．4 C．1.5 D．3 10．如图在中，，，为边上一动点（不与，重合），以、为一组邻边作平行四边形，平行四边形的对角线的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________． 12．已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 13．如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 _____． 14．如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__． 15．如图，在中，，，，点在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_____________． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是______． 17．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______． 18．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则的最小值为______． 19．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是____． 20．如图在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=6，M为AC边上一动点（不与A，C重合），以MA、MB为一组邻边作平行四边形MADB，则平行四边形MADB的对角线MD的最小值是______． 21．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__． 22．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为_____ 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以BA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为___． 24．如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF． （1）AD的长为_________． （2）EF的最小值为_________． 参考答案 1．B 【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解． 解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小． ∵OD⊥BC，BC⊥AB， ∴OD∥AB， 又∵OC＝OA， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD＝AB＝3， ∴DE＝2OD＝6． 故选B． 【点拨】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键． 2．B 【分析】设PQ与AC交于点O，作于，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，根据平行四边形的性质得，根据，得，当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，进行计算即可得． 解：如图所示，设PQ与AC交于点O，作于， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小， ∴PQ的最小值为：， 故选：B． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和垂线段最短的性质． 3．B 【分析】利用三角形中位线性质求解即可. 解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点， ∴， ∵点E在BC边上从点B向点C移动， ∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3， ∴线段MN的最小值为1.5. 故选：B 【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E运动到点C的位置时EF最小是解答此题的关键. 4．B 【分析】①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D ( (8-a， 6+a)，由勾股定理得CD2= (8-a-a) 2+ (6+a+a) 2=8a2-8a+100=8 (a-) 2+98，求出即可． 解：①CD是平行四边形的一条边，则AB=CD=； ②CD是平行四边形的一条对角线，如图所示， 过点C作CM⊥AO于点M，过点D作DF⊥AO于点F，交AC于点Q，过点B作BN⊥DF于点N，连结OC， 则∠BND=∠DFA=∠CMA= ∠QFA = 90°， ∠CAM十∠FQA= 90° ，∠BDN+∠DBN= 90° ，OM= CM， ∵四边形ACBD是平行四边形， ∴BD= AC，∠BCA=∠BDA，BDAC， ∴∠BDF=∠FQA， ∴∠DBN=∠CAM， ∴△DBN≌△CAM(AAS)， ∴DN= CM= OM=a，BN= AM=8-a，D(8-a，6+a)， 由勾股定理得CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2= 8a2-8a+100=8(a-)2+98， 当a=时，CD有最小值，是， ∵