【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：58　证明、探究性问题（含答案）

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课时规范练58　证明、探究性问题1.(15分)(2024·浙江衢州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(2,-26),直线l1:y=kx+m(km≠0)与C交于A,B两点(异于坐标原点O).(1)若OA·OB=0,证明:直线l1过定点.(2)已知k=2,直线l2在直线l1的右侧,l1∥l2,l1与l2之间的距离d=5,l2交C于M,N两点,试问是否存在m,使得|MN|-|AB|=10?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.2.(17分)(2024·江苏南京、盐城一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,直线l:x=4与x轴交于点M,且|AM|=a|AF|.(1)求C的方程.(2)若B为l上的动点,过B作C的两条切线,分别交y轴于点P,Q,①证明:直线BP,BF,BQ的斜率成等差数列.②圆N经过B,P,Q三点,是否存在点B,使得∠PNQ=90°?若存在,求|BM|;若不存在,请说明理由.3.(17分)(2024·浙江金华模拟)已知双曲线Γ:x2-y23=1,F为双曲线Γ的右焦点,过F作直线l1交双曲线Γ于A,B两点,过点F且与直线l1垂直的直线l2交直线x=12于点P,直线OP交双曲线Γ于M,N两点.(1)求双曲线Γ的离心率;(2)若直线OP的斜率为32,求|AB|的值;(3)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1k2k3k4≠0,k1+k2≠0,记k1+k2=u,k1k2=v,k3+k4=w,试探究v与u,w满足的方程关系,并将v用w,u表示出来.4.(17分)(2024·广东深圳一模)已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线x=n2m的距离的比为常数mn,其中m>0,n>0,且m≠n.记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明轨迹的形状.(2)设点B(-m,0),若曲线C上两动点M,N均在x轴上方,AM∥BN,且AN与BM相交于点Q.①当m=22,n=4时,求证:1|AM|+1|BN|的值为定值.②当m>n时,记△ABQ的面积为S,其内切圆半径为r,试探究是否存在常数λ,使得S=λr恒成立?若存在,求λ(用m,n表示);若不存在,请说明理由.答案：1.(1)证明 将点(2,-26)代入y2=2px,解得p=6.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=12x,y=kx+m,消去x得ky2-12y+12m=0,由km≠0,则y1y2=12mk,x1x2=y1212·y2212=(y1y2)2144=m2k2.因为OA·OB=0,所以x1x2+y1y2=m2k2+12mk=0恒成立,则m=-12k,所以l1的方程转化为y=k(x-12),故直线l1过定点(12,0).(2)解 联立y2=12x,y=2x+m,消去y得4x2+(4m-12)x+m2=0,则x1+x2=-m+3,x1x2=m24,且该方程的判别式Δ=(4m-12)2-16m2=48(3-2m)>0,即m