【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：30　三角函数中的综合问题（含答案）

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(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
①b=3;②cs B=1314;③csin A=52 3.
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
2.(15分)(2025·云南昭通开学考试)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2(1-sin 2B)+b2(1-sin 2A)=c2.
(1)求角C;
(2)若a=2,求△ABC的面积S的取值范围.
3.(15分)(2024·浙江绍兴二模)在△ABC中,内角A,B,C对应边分别为a,b,c且bcs C+3csin B=a+2C.
(1)求B的大小;
(2)如图所示,D为△ABC外一点,∠DCB=∠B,CD=3,BC=1,∠CAD=30°,求sin∠BCA及△ABC的面积.
4.(17分)(2025·浙江衢州模拟)行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或|A|.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.将形如a11 a12a21 a22的符号称二阶行列式,并规定二阶的行列式计算如下:a11 a12a21 a22=a11a22-a12a21,设函数f(x)=2sinx sin2x2 sin(x+2π3)(x∈R).
(1)求f(x)图象的对称轴方程;
(2)在△ABC中,若f(A)=0,|AC|=m,m∈[2,4],对任意实数t恒有|AB-tAC|≥|BC|,求△ABC面积的最大值;
(3)在△ABC中,若cs∠BAC=13,点I为内心,且满足AI=xAB+yAC,求x+y的最大值.
答案：
1.解 (1)∵sin 2B=37bcs B,∴2sin B·cs B=37bcs B.
又A为钝角,∴B∈(0,π2),
∴cs B≠0,
∴2sin B=37b,∴bsinB=1433.
由正弦定理得asinA=bsinB,
则7sinA=1433,∴sin A=32,∴A=2π3.
(2)若选①.由(1)知A=2π3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即49=9+c2-2×3×c×cs2π3,即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
若选②.由cs B=1314,得sin B=3314.又2sin B=37b,∴b=3.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即49=9+c2-2×3×c×cs2π3,即c2+3c-40=0,
解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
若选③.由csin A=532,得32c=532,
∴c=5.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
即49=b2+25-2×b×5×cs2π3,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),
∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
2.解 (1)由a2(1-sin 2B)+b2(1-sin 2A)=c2,得a2+b2-c2=a2sin 2B+b2sin 2A,
由余弦定理得2abcs C=a2sin 2B+b2sin 2A,
再由正弦定理及倍角公式得2cs C=absin 2B+basin 2A=sinAsinB·sin 2B+sinBsinA·sin 2A=2sin Acs B+2sin Bcs A=2sin(A+B)=2sin C,得cs C=sin C,即tan C=1,故在锐角△ABC中有C=π4.
(2)a=2,C=π4,则S=12absin C=22b.
由正弦定理asinA=bsinB,有b=asinBsinA=2sin(3π4-A)sinA,所以b=2sin(3π4-A)sinA=2sinA+2csAsinA=2+2csAsinA.
又△ABC是锐角三角形,有0