【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 63　排列与组合（含答案）

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1.某单位计划举行庆祝活动,共有4个节目,要求A节目不排在第一个,则节目安排的方法数为( )
A.9B.18
C.24D.27
2.(2024·江苏宿迁三模)甲、乙、丙等5人站成一排,甲、乙相邻,且乙、丙不相邻,则不同排法共有( )
A.24种B.36种
C.48种D.72种
3.(2020·新高考Ⅱ,6)3名学生假期到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去1个村,每个村至少去1名志愿者,则不同的安排方法共有( )
A.2种B.3种
C.6种D.8种
4.(2024·浙江舟山模拟)某种产品的加工需要经过A,B,C,D,E,F,G七道工序,要求A,B两道工序必须相邻,C,D两道工序不能相邻,则不同的加工顺序有( )
A.960种B.836种
C.816种D.720种
5.(2024·山东滨州二模)某单位安排5名同志在5月1日至5日值班,每天安排1人,每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天,丙不安排在5月3日,则不同的安排方案共有( )
A.42种B.40种
C.36种D.30种
6.(2025·上海青浦模拟)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n(n≥2,n∈N)满足下列性质T的一个排列,性质T:排列a1,a2,…,an中有且仅有一个a1>ai+1(i∈{1,2,…,n-1}),当n=5时,满足性质T的数列的个数是( )
A.6B.24
C.5D.120
7.(2024·河南新乡二模)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人,其中甲分得2本,乙、丙每人至少分得一本,则不同的分法有( )
A.248种B.168种
C.360种D.210种
8.(2024·山东青岛二模)甲、乙、丙、丁、戊5名调查员分别去城东、城南、城西、城北四个区域进行数据采集,每个区域至少去一名调查员,若甲不去城东,则不同的安排方法共有( )
A.36种B.60种
C.96种D.180种
9.(多选题)(2024·新疆克孜勒苏模拟)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念,下列结论正确的是( )
A.站成一排不同的站法共有120种
B.若甲和乙不相邻,则不同的站法共有36种
C.若甲站在最中间,则不同的站法共有24种
D.若甲不站排头,则不同的站法共有96种
10.(2024·福建泉州模拟)围棋在中国古时称“弈”,是一种策略性二人棋类游戏.围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成.则围棋棋盘上的矩形数量为 .(用数字作答)
11.(2024·浙江衢州模拟)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且2不在第二位,则这样的六位数共有 个.
12.(2024·浙江瑞安模拟)F公司的甲部门有3男2女五名职工,乙部门有2男3女五名职工.公司通知每个部门任选2名职工,且所选的4名职工必须是2男2女,公司再将A,B,C,D四个不同新型项目随机分配给每人分管一项,则不同的分配方案种数为 .(用数字作答)
13.(2024·山东聊城三模)2本相同的图画书和2本不同的音乐书全部分给3个小朋友,每人至少1本,且2本图画书不分给同一个小朋友,则不同的分法共有 种.
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14.(2024·河南九师联盟联考)有除颜色外大小相同的9个小球,其中有2个红球,3个白球,4个黑球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,要求2个红球相邻,3个白球两两互不相邻,不同的排列种数为( )
A.100B.120
C.10 800D.21 600
15.(2025·重庆九龙坡模拟)在某次竞赛活动的组织过程中,有甲、乙等5名教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少有一名教师参加.若甲、乙两名教师不参加同一个服务项目,则不同的安排方案有( )
A.108种
B.114种
C.150种
D.240种
16.(多选题)(2025·浙江平湖模拟)现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、后勤4项工作可以安排,且每人只安排1项工作,则下列说法正确的是( )
A.不同安排方案的种数为54
B.若每项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为C52A44
C.若后勤工作不安排,其余三项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为(C53C21+C52C32)A33
D.若每项工作至少有1人参加,甲不能从事后勤工作,则不同安排方案的种数为C41C42A33+C42A33
17.(2024·浙江金华模拟)将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的排列方法有 种.
18.(2024·福建厦门模拟)有10名演员,其中8人会唱歌,5人会跳舞,现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目,则不同的选派方法共有 种.
19.(17分)(2025·北京房山检测)设数列{dn}(n∈N*),dn为1,2,3,…,n的满足下列性质T的排列a1,a2,…,an的个数,性质T:排列中仅存在一个i,i∈{1,2,…,n-1},使得ai>ai+1.
(1)求d1,d2的值,并写出n=3时其中一种排列的情形;
(2)若n=4,求满足性质T的所有排列的情形;
(3)求数列{dn}的通项公式.
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20.(多选题)某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买),甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票,且甲、乙不坐前两排.( )
A.若甲、乙左右相邻,则购票的情况共有54种
B.若甲、乙不在同一列,则购票的情况共有1 154种
C.若甲、乙前后相邻,则购票的情况共有21种
D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧,且不坐同一排,则购票的情况共有508种
答案：
1.B 解析 由题意,先从后面3个位置中选择一个安排A节目,然后其他3个节目任意排在剩下的3个位置,共有C31A33=18种方法.
2.B 解析 甲、乙捆绑在一起看成一个整体,与丙以外的2人全排列,有A33A22=12(种)排法,又因为乙、丙不相邻,所以把丙放入一共有3种,所以一共有12×3=36(种)排法.
3.C 解析 先将3名学生分成两个组,有C31C22=3(种)方法;再将分好的两组学生安排到2个村,有A22=2(种)方法.根据分步乘法计数原理,得不同的安排方法共有3×2=6(种).
4.A 解析 先捆绑A,B,再和E,F,G排列,然后插入C,D,共有A22A44A52=2×24×20=960(种)排法.
5.B 解析 甲、乙相邻的排列数是A22A44,其中甲、乙相邻且丙排在5月3日的排列数为2A22A22,所以不同的安排方案共有A22A44-2A22A22=40(种).
6.B 解析 当n=5时,a1,a2,…,a5是1,2,3,4,5的一个排列,由排列a1,a2,…,a5中有且仅有一个a1>ai+1(i∈{1,2,3,4}),可得a1=2,a2,a3,a4,a5是1,3,4,5的任意一个排列,则满足性质的数列一共有A44=24(个).
7.D 解析 第一类:甲、乙、丙每人分得2本,有C62C42C22=90(种)分法;
第二类:甲分得2本,乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本,有C62C41C33A22=120(种)分法.所以由分类加法计数原理可得共有90+120=210(种)不同的分法.
8.D 解析 城东去1人,不同安排方法有C41C42A33=144(种);
城东去2人,不同安排方法有C42A33=36(种),
所以不同的安排方法共有144+36=180(种).
9.ACD 解析 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排,不同的站队方式共有A55=120(种),故A正确;甲和乙不相邻的站队方式有A33A42=72(种),故B不正确;甲在最中间的不同的站队方式有A44=24(种),故C正确;甲不站排头,则先从其余四人中选一人站排头,再将其余三人与甲任意排,故不同的站队方式有C41A44=96(种),故D正确.故选ACD.
10.29 241 解析 矩形是在同一平面内,由两组平行线段组成,且每两相交线段均垂直的闭合图形.则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可构成矩形,即C192C192=29 241.
11.108 解析 排偶数形成4个空,将3个奇数插入即可,有A33A43=144(个),若2在第二位,则前一位是奇数,还剩2个偶数和2个奇数,再排偶数形成3个空,将2个奇数插入即可,共有C31A22A32=36(个),所以所求六位数共有144-36=108(个).
12.1 104 解析 因为从甲、乙两部门各选2名职工,且所选的4名职工是2男2女,有C32C32+C31C21C31C21+C22C22=46(种)选法,又将A,B,C,D四个不同新型项目随机分配给每人分管一项,有A44=24(种)分法,所以不同的分配方案种数为46×24=1 104.
13.15 解析 由题可知,1个小朋友分得2本书,且此2本均为音乐书,或者1本图画书、1本音乐书,其他小朋友各分得1本书.
若2本均为音乐书,有C31=3(种)分法;
若1本图画书、1本音乐书,有C31C21A22=12(种)分法.故共有3+12=15(种)不同的分法.
14.A 解析 将4个黑球放好有一种,形成5个空,从中选一个空将2个红球作为一个整体排上,有C51种排法,如此就形成6个空,将3个白球插空到6个空中,有C63种排法,故共有C51C63=100(种)不同排法.
15.B 解析 5名教师按3∶1∶1分组有C53种方法,按2∶2∶1分组有C52C32A22种分法,因此5名教师的安排方案有(C53+C52C32A22)A33种,当甲、乙在同一组时,甲乙可视为1个人,即相当于4名教师的安排方案,有C42A33种,所以所求不同的安排方案有(C53+C52C32A22)A33-C42A33=25×6-6×6=114(种).
16.BD 解析 对A,若每人都安排1项工作,每人有4种安排方法,则不同安排方案的种数为45,故A错误;对B,先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,则不同安排方案的种数为C52A44,故B正确;对C,先将5人分为3组,有(C53C21A22+C52C32A22)种分组方法,将分好的3组安排翻译、导游、礼仪3项工作,有A33种情况,则不同安排方案的种数是(C53C21A22+C52C32A22)A33,故C错误;对D,第一类,先从乙、丙、丁、戊中选出1人从事后勤工作,再将剩下的4人分成3组,安排翻译、导游、礼仪3项工作,则不同安排方案的种数为C41C42A33.
第二类,先从乙、丙、丁、戊中选出2人从事后勤工作,再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪3项工作,则不同安排方案的种数为C42A33.所以不同安排方案的种数是C41C42A33+C42A33,故D正确.故选BD.
17.1 728 解析 由于任意相邻两项互质,所以偶数必须隔开,所以先把四个奇数排成一列有A44种方法,然后把偶数插空进去,四个偶数中只有6不能与3相邻,其他偶数可以随意插空,所以先考虑把6插空,有A31种选择,剩下的3个偶数在剩下的4个空中随意插空,所以共有A44A31A43=1 728(种)排列方法.
18.199 解析 由题意,易知10名演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞,3人既会唱歌又会跳舞,以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究:
①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员,有C32C32种选派方法;
②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员,有C51C31C42种选派方法;
③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员,有C52C52种选派方法.
由分类加法计数原理知,选派方法共有C32C32+C51C31C42+C52C52=199(种).
19.解 (1)由性质T的定义可知:当n=1时,由1构成的排列不满足性质,故d1=0;
当n=2时,由构成的排列2,1满足性质T,故d2=1;
当n=3时,由1,2,3构成的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得ai>ai+1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),从中任选一个即可.
(2)若n=4,由1,2,3,4构成的所有A44=24种排列中,符合性质T的排列有(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,2,4),(3,4,1,2),(4,1,2,3),故d4=11.
(3)由(1),(2)可得d1=0,d2=1,d3=4,d4=11,同理可得d5=26,可归纳出dn=2n-n-1.
证明:∵在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,an)中,若a1=n(1≤i≤n-1),从(n-1)个数1,2,3,…,n-1中选(i-1)个数,从小到大排列为a1,a2,…,ai-1,其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置,∴满足题意的排列个数为Cn-1i-1,若ai=n-1,则满足题意的排列个数为dn-1,
综上,dn=dn-1+∑i=1n-1Cn-1i-1=dn-1+2n-1-1,即dn-dn-1=2n-1-1,∴dn=(dn-dn-1)+(dn-1-dn-2)+…+(d2-d1)=21+22+…+2n-1-(n-1)×(-1)=2×(1-2n-1)1-2+1-n=2n-n-1,故数列{dn}的通项公式为dn=2n-n-1.
20.ABD 解析 若甲、乙左右相邻,先选座位,在第三排有10种,在第四排有4种,在第五排有3种,在第六排有6种,在第七排有4种,共有27种.再考虑甲、乙顺序,有A22=2(种),所以一共有27×2=54(种)购票情况,故A正确;
甲、乙在同一列的情况共有A32+A52+A52+A32+A22+A42+A52+A52=106(种),则甲、乙不在同一列的情况有A362-106=1 154(种),故B正确;
若甲、乙前后相邻,先选座位,有2+4+4+1+2+4+4=21(种),再考虑甲乙顺序,有A22=2(种),所以一共有21×2=42(种)购票情况,故C错误;
中心线左侧有18个座位,右侧有18个座位.甲、乙分坐于两侧,有A22×18×18=648(种).
甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑),有A22(5×6+3×3+3×2+4×4+3×3)=140(种),所以甲、乙分坐于两侧,且不坐同一排的购票情况共有648-140=508(种),故D正确.
故选ABD.