【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 57　定点与定值问题（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 57　定点与定值问题（含答案），共5页。试卷主要包含了设双曲线C，已知抛物线Γ，已知椭圆C，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
(1)求双曲线C的方程;
(2)求证:k1k2为定值.
2.(15分)(2024·浙江宁波模拟)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)与椭圆x25+y24=1有公共的焦点.
(1)求抛物线Γ的标准方程.
(2)如图,过抛物线Γ的焦点F的直线与抛物线Γ交于点A(x1,y1),B(x2,y2),点P(2,0),直线AP,BP分别与抛物线Γ交于点C,D.证明:
①直线CD过定点;
②△PAB与△PCD的面积之比为定值.
3.(17分)(2024·浙江金丽衢十二校一模)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为椭圆C上异于顶点的一动点,∠F1PF2的角平分线分别交x轴、y轴于点M,N.
(1)若x0=12,求|PF1|;
(2)求证:|PM||PN|为定值;
(3)当△F1PN面积取到最大值时,求点P的横坐标x0.
4.(17分)(2025·浙江“七彩阳光”联盟开学考试)阅读材料:“到角公式”是解析几何中的一个术语,用于解决两直线对称的问题.其内容为:若将直线l1绕l1与l2的交点逆时针方向旋转到与直线l2第一次重合时所转的角为θ,则称θ为l1到l2的角,当直线l1与l2不垂直且斜率都存在时,tan θ=k2-k11+k1k2(其中k1,k2分别为直线l1和l2的斜率).结合阅读材料,回答问题:
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A(-2,1)为椭圆上一点,B(0,-1),四边形AF1BF2的面积为23,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在的直线l的方程;
(3)过点A且斜率存在的直线l1,l2分别与椭圆交于点P,Q(均异于点A),若点B到直线l1,l2的距离相等,证明:直线PQ过定点.
答案：
1.(1)解 由题意可得ba=13,|c|1+32=1,c2=a2+b2,解得a2=9,b2=1,c2=10,故双曲线C的方程为x29-y2=1.
(2)证明 由(1)知A1(-3,0),A2(3,0),
由题意可知直线l斜率不为0,故可设l:x=my+2(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=my+2,x29-y2=1,消去x可得(m2-9)y2+4my-5=0,
该方程的判别式Δ=16m2+20(m2-9)=36m2-180>0,即m2>5,则y1+y2=-4mm2-9,y1y2=-5m2-9,则y1+y2y1y2=-4mm2-9-5m2-9=4m5,即my1y2=54(y1+y2),k1=y1x1+3,k2=y2x2-3,则k1k2=y1x1+3y2x2-3=y1x1+3·x2-3y2=y1my1+5·my2-1y2=my1y2-y1my1y2+5y2=54(y1+y2)-y154(y1+y2)+5y2=5y1+5y2-4y15y1+5y2+20y2=y1+5y25(y1+5y2)=15,即k1k2为定值15.
2.(1)解 由题意得抛物线Γ的焦点坐标为F(1,0),所以抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)证明 ①若直线AB与x轴重合,则直线AB与抛物线只有一个交点,不符合题意,
同理可知,直线CD也不与x轴重合,
设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB的方程为x=my+1,联立x=my+1,y2=4x,消去x得y2-4my-4=0,该方程的判别式Δ=16m2+16>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,设直线AC的方程为x=ny+2,联立x=ny+2,y2=4x,消去x得y2-4ny-8=0,所以该方程的判别式Δ'=16n2+32>0,所以y1+y3=4n,y1y3=-8,所以y3=-8y1,同理可得y4=-8y2,所以kCD=y3-y4x3-x4=y3-y4y324-y424=4y3+y4=4-8y1-8y2=-y1y22(y1+y2)=12m,所以直线CD的方程为x=2m(y-y3)+x3,由对称性知定点在x轴上,令y=0,x=-2my3+x3=-2my3+y324=-2m-8y1+14(-8y1)2=16my1+16y12=4(y1+y2)y1+16y12=4+4(y2y1+4y12)=4,
所以直线CD过定点E(4,0).
②记定点E(4,0),
S△PAB=12|PF|·|y1-y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=1216m2+16=2m2+1,
S△PCD=12|PE|·|y3-y4|=12×2×-8y1+8y2=8|y1-y2||y1y2|=81+m2,则S△PABS△PCD=14,
所以△PAB与△PCD的面积之比为定值14.
3.(1)解 由已知得F1(-1,0),且P(x0,y0)在椭圆上,
则x024+y023=1,
即y02=3-3x024,
则|PF1|=(x0+1)2+y02=2+12x0.
所以当x0=12时,|PF1|=94.
(2)证明 设M(m,0),在△F1PF2中,PM是∠F1PF2的角平分线,所以|PF1||PF2|=|MF1||MF2|,
由(1)知|PF1|=2+12x0,同理|PF2|=(x0-1)2+y02=2-12x0,即2+12x02-12x0=m+11-m,解得m=14x0,所以M(14x0,0),
过点P作PH⊥x轴于点H,所以|PM||PN|=|MH||OH|=34.
(3)解 记△F1PN的面积为S,由(2)可得N(0,-13y0),则S=12|F1M|·y0+13y0=16(x0+4)34(4-x02)=312(x0+4)4-x02,其中x0∈(-2,0)∪(0,2),则S'=-364-x02(x02+2x0-2),当x0∈(-2,0)∪(0,3-1)时,S'>0,S单调递增;当x0∈(3-1,2)时,S'