高二数学第三次月考卷02（测试范围：人教A版2019选修1~4章）2024+2025学年高中上学期第三次月考.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第四章数列（第一章 空间向量与立体几何21%+第二章 直线和圆的方程21%+第三章 圆锥曲线的方程26%+第四章 数列32%）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列中，，则（ ）
A．40B．30C．20D．10
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，
，则，
，则，解得，，
．
故选：B．
2．经过点的直线在轴上的截距是（ ）
A．B．C．10D．2
【答案】A
【详解】直线的斜率为，
所以直线的方程为，
纵截距为.
故选：A
3．已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于抛物线：过点，所以，，
所以抛物线方程为，，，
所以抛物线的准线方程为.
故选：B.
4．设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，解得，即，
由，得，解得，则，
所以.
故选：B
5．已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【详解】圆 ，即，
则圆心，半径，由点，
则，
即点在圆外，则.
故选：C.
6．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．324B．420C．480D．768
【答案】C
【详解】因为为等比数列，且，显然的公比不为，
所以也成等比数列.
由，解得.
故选：C.
7．已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】正方体的棱长为1，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
由，得，，
所以点到直线BC的距离.
故选：B
8．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，，
设椭圆的右焦点为，连接，
因为，可知点为的中点，
且点为的中点，则∥，，
由椭圆定义可知：，
因为为切点，可知，则，
可得，即，
解得，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．为的最小值
【答案】AC
【详解】因为，所以，故A正确；
因为是等差数列且，所以公差，故B错误；
因为，所以，
又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．若点是双曲线上异于的任意一点，则
【答案】AD
【详解】如图，连接，
由双曲线定义可知，，
由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形，
因为，又
所以，，
由，所以，
由，得，
即有，
所以，所以离心率，故A正确；
又，所以，
所以渐近线方程为，，故B、C错误，
设点，因为是直线与双曲线的交点，
根据对称性可得，所以.
又点在双曲线上，代入可得，
两式相减可得，所以，故D正确.
故选：AD.
11．如图，已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）
A．直线与直线异面
B．若是侧棱上的动点，则的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．球的表面积为
【答案】AC
【详解】对于A，如图①，连接，则，所以，
所以直线与直线共面，故A错误；
对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，
如图②所示.因为底面边长为，所以，
则的最小值为，故B正确；
对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图
①所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则，故C错误；
对于D，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上
下底面的中心的连线的中点处.
，则，
所以球的表面积，故D正确.
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中12题第一空2分，第二空3分。
12．在正项等比数列中，，则 ，公比 ．
【答案】 1 2
【详解】因为正项等比数列中，，所以.
又，则，
又因为，所以，解得.
又因为，解得，
故公比．
故答案为：1；2.
13．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 .
【答案】14
【详解】由题意可得，
设，抛物线的准线：，
过分别作准线的垂线，垂足分别为，
根据抛物线的定义，得，
故，
因为的中点为，
所以，可得，
所以.
故答案为：.

14．已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是 .
【答案】
【详解】设，.
则，
表示两点到原点距离之和.
如图，建立直角坐标系，其中.
注意到点在直线上（其中），
过B作y轴垂线，垂足为.则，
设原点关于直线对称的点为，又直线斜率为-2.
则，即.
则由对称性， ，当且仅当C，B，D三点共线，
即DC垂直于y轴时取最小值；
又设DC垂直于y轴时，与直线交点为E.
则当点B位于点E上方或下方时，始终有，
要使最大，则点B需位于G点或H点，
可得最大值为.
则最小值与最大值的和是.
故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知直线，圆．
(1)若直线与圆无公共点，求实数的取值范围；
(2)若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值．
【详解】（1）易知圆的圆心坐标为，半径．（1分）
由直线与圆无公共点知，
圆心到直线的距离或．（5分）
故实数的取值范围是或．（6分）
（2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，为等腰直角三角形．
又圆心到直线的距离为，（7分）
可得，（9分）
又，即，（11分）
解得：．（13分）
16．（15分）
已知数列的前项和为，其中，且.
(1)求的通项公式.
(2)设，求的前项和.
【详解】（1）由，可得，（1分）
则，（2分）
两式相减，可得，即，（4分）
又由，（5分）
易知，
所以当时，，（6分）
所以数列的通项公式为.（7分）
（2）因为，可得，（8分）
则，（9分）
所以，（10分）
两式相减得（12分）
，（14分）
所以.（15分）
17．（15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点.
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）由于平面平面且两平面的交线为，又，平面
故平面，（2分）
平面，，（3分）
，且为的中点，，（4分）
又，平面，（5分）
平面．（6分）
（2）由于平面平面且两平面的交线为，又平面，
故平面，（7分）
如图，作于，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，（8分）
则，，，，．（9分）
设平面的法向量为，，.
即，可取，则．（11分）
设平面的法向量为，
，，
即可取，则．（13分）
，（14分）
即平面与平面的夹角余弦值为．（15分）
18．（17分）
已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
【详解】（1）根据题意（3分）
解得，（4分）
所以椭圆的方程为（5分）
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，
联立方程消去，整理得，（7分）
，得（8分）
设，则.（10分）
（i），（11分）
，（12分）
与的面积之比为1.
（ii）证明：（13分）
（15分）
.（16分）
综上，.（17分）
19．（17分）
若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)证明：.
【详解】（1）因为第二次得到数列，（1分）
所以第三次得到数列（2分）
所以；（4分）
（2）设第次构造后得的数列为，（5分）
则，（6分）
则第次构造后得到的数列为
，（7分）
则（8分）
，
，（9分）
可得，，（10分）
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，即；（11分）
（3）由（2）得，（12分）
所以当时，，（13分）
当时，所以（15分）
，
综上所述，.（17分）