数学（人教A版2019A卷）（范围：数列、导数、计数原理）2022-2023学年高二数学下学期期中考前必刷卷

2022-2023学年高二下学期期中考前必刷卷

数学·全解全析

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由可得，，

．

故选：C

2．数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【详解】数列各项正、负交替，故可用来调节，

又，，，，…，

所以通项公式为，

故选：A

3．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】这2个新节目插入节目单中，

若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，

选1个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，

此时有种插法，

若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，

选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，

此时有种插法，

所以共有种插法，

故选:B.

4．的展开式中的系数是 （    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】A

【详解】，而的展开式中含的项为，

所以的展开式中的系数是.

故选：A

5．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（    ）

A．287 B．272 C．158 D．143

【答案】D

【详解】因为数列满足，且，

所以，

,

所以.

故选：D.

6．已知正项数列中，，则数列的前120项和为（    ）

A．4950 B．10 C．9 D．

【答案】B

【详解】由，可得数列是首项为1公差为1的等差数列，

则，又，则，

则

则数列的前120项和为

故选：B

7．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．

C．函数在上有极大值

D．函数有三个极值点

【答案】B

【详解】当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以有，因此选项B正确；

当时，，单调递增，

所以在上没有极大值，因此选项C不正确；

当时，，单调递增，

因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，

所以选项A不正确，选项D不正确，

故选：B

8．已知函数与，若存在使得，则不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】对于A选项，若，当时，，当时，，

相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即A错误；

对于B选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得

，解得，即，即，

存在，所以选项B正确；

对于C选项，，令，得，则，即，

存在，所以选项C正确；

对于D选项，，可得出，存在所以选项D正确；

故选：A

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）

9．20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：

抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法；

抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法；

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，A错误，B正确；

间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为，

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，C正确；

法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为，

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，D正确；

故选：BCD.

10．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】由题意，

所以，

所以，故A正确．

令，则，

即为，

令，得，故B正确；

对于，

令，得，

令，得：，

两式相加再除以2可得，故C错误.

对于，

令，得，

令，得，

故， 故D正确，

故选：ABD

11．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

【答案】BC

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；

对于B，若，则，当时，，时，也满足，所以，则是等比数列，B正确；

对于C，是等差数列，则，C正确；

对于D，若是等比数列，，∴，故D错误，

故选：BC．

12．已知函数与的图象如图所示，则（    ）

A．在区间上是单调递增的

B．在区间上是单调递减的

C．在区间上是单调递减的

D．在区间单调递减的

【答案】AC

【详解】当或时，，则函数的定义域为，排除选项BD；

，由图易得当时，，即，所以函数在上是单调递增的，故选项A正确；

又由图易得当时，，

即，所以函数在上是单调递减的，故选C正确；

故选：AC

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．展开式中，二项式系数最大的项的系数为___________．（用数字填写答案）

【答案】24

【详解】展开式中的通项公式为，

故第项的二项式系数为，故当时，二项式系数最大，

故二项式系数最大的项的系数为.

故答案为：24．

14．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）

【答案】144

【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，

第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，

第三步：甲乙两个人之间全排列，

由分步乘法计数原理可得总的排法有，

故答案为：144

15．某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，）

【答案】

【详解】由题意知：；

当时，，

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，则，

令，则，

，解得：，

正整数的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【详解】函数的定义域为，

.

因为函数有唯一极值点，所以有唯一异号根，

所以在无实根，即在无实根.

记，则，

令，得：；令，得：；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为.

要使在无实根，只需，

即的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）

17．已知，且.

(1)求的值

(2)求展开式中的奇次项系数之和

(3)求的值

【详解】（1）令得，

令得：，因为中项为，所以，

所以，解得；

（2）取得，

取得

两式相减得，所以；

（3）令，

，

令得

18．已知数列满足，且，数列满足.

(1)求数列通项公式.

(2)用二项式定理求除以4的余数.

【详解】（1）因为,且,

所以，

又因为,

所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列，所以的通项公式为

（2）由（1）可得

，

展开式中的前21项均能被4整除，最后一项为，故所求余数为

19．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，.

(1)求和的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则．

故，解得，，则，

，

由题意，得，解得．

；．

（2）由（1）知，．设其前项和为，

，①

，②

①②，得

．

．

20．某新闻部门共有A、B、C、D、E、F六人.

(1)由于两会召开，部门准备在接下来的六天每天安排1人加班，每人只被安排1次，若A不能安排在第一天，B不能安排在最后一天，则不同的安排方法共有多少种？

(2)该部门被评为优秀宣传组，六人合影留念，分前后两排每排3人对齐站立，要求后排的3个人每人都比自己前面的人身高要高，则不同的站法共有多少种？（六人身高均不相同）

(3)部门接到通知全员要到甲、乙、丙、丁4个社区进行采访，每个社区至少去1人，每人只去一个社区，则不同的分派方案共有多少种？

【详解】（1）分两类完成，第一类A安排在最后一天，则有种，

第二类，除A，B外选一人安排在最后一天，再从除A外剩余的4人选一人排在第一天，剩余的4人排在剩余的4个位置即可，故有种，

根据分类加法计数原理可得（种）

（2）可看作3个不同位置，分别取出2人排好3个位置，两人顺序确定（高在后，矮在前），

所以（种）

（3）先分组，再安排到四个不同社区，

第一类分组方法，共有种分法，第二类分组方法，共有种分法，

故（种）

21．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元/．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下的工程费用为万元．

(1)试写出关于的函数解析式；

(2)当=640时，需要建多少个桥墩才能使最小？

【详解】（1）设需新建个桥墩，则，即，

所以

      ．

（2）由（1），知，

所以．

令=0，得，所以=64．

当0<<64时， <0，在区间内单调递减；

当64<<640时， >0，在区间内单调递增．

所以在=64处取得最小值，

此时．

故需要建9个桥墩才能使最小．

22．设函数，曲线在点处的切线与轴垂直.

(1)若，求在区间上的值域；

(2)若有三个零点，求实数的取值范围；

(3)当有三个零点，且满足，记，请直接写出的取值范围.

【详解】（1）因为,所以,

曲线在点处的切线与轴垂直.所以 ,可得,

,

令,所以在区间,上单调递增，

令,在区间上单调递减，

因为,所以

,,

,

所以在区间上的值域为

（2）有三个零点，

则,

,

则实数的取值范围

（3）当有三个零点，且满足，记,

则,

所以可得.