高二数学月考卷02（人教A版2019选择性必修第二册、第三册全部）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A A A C B C B D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
BC AD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．0.82 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【答案】（1）证明见解析 （2）11
【解析】
【小问 1 详解】
由 ，① （1 分）
当 时， ，即 ；（2 分）
当 时， ，② （3 分）
则① ②得， ，
则 ，即 ，（5 分）
所以数列 是等比数列，首项为 1，公比为 .（6 分）
【小问 2 详解】
由（1）得， ，即 ，（7 分）
1 / 5
则 ， （8 分）
则 ，（9 分）
因为 在 为增函数，
则数列 为递增数列， （11 分）
又 ， ，
所以满足 的最小正整数 的值为 11. （13 分）
16．（15 分）
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）因为 展开式中第二､三､四项二项式系数成等差数列，（3 分）
所以 ，解得 ． （5 分）
（2）由（1）知 ， （7 分）
令 ，可得 ． （9 分）
（3）由题意知， 为 的系数，
所以
． （15 分）
17．（15 分）
【答案】（1）上单调递增区间为 单调递减区间为 （2）
【解析】
【小问 1 详解】
的定义域为 ， （1 分）
2 / 5
， （4 分）
令 或 ， 或 ，（6 分）
在 上单调递增，在 上单调递减.（7 分）
【小问 2 详解】
，（8 分）
设 ， （9 分）
注意到 ，要使 在 上不单调， （11 分）
只需满足 ，解得 ， （14 分）
即实数 的取值范围为 . （15 分）
18．（17 分）
【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为 ；乙同学得分的数学期望为 .
【解析】
【小问 1 详解】
由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为 . （3 分）
【小问 2 详解】
记甲同学答一道多选题得分为 ，则 ， （4 分）
； ； ，（7 分）
所以甲同学得分的数学期望为 . （9 分）
记乙同学答一道多选题得分为 ，则 ， （10 分）
； ；
3 / 5
， （13 分）
所以乙同学得分的数学期望为 . （15 分）
19．（17 分）
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【小问 1 详解】
的定义域为 ， （1 分）
， （2 分）
当 时， ， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； （3 分）
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ， （4 分）
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （5 分）
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （6 分）
【小问 2 详解】
若 ， ，要证 ，即证 ，只要证 ，
设 ， ， （8 分）
由 ，得 ，由 ，得 ， （9 分）
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，即 ， （10 分）
因为 时， ，所以 .
所以 . （11 分）
【小问 3 详解】
4 / 5
当 时， ，即 ，
即 ，即 恒成立， （12 分）
设 ， 因 ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数， （14 分）
所以 ，所以 ， 在 上为增函数，
所以由 ，即由 可得 ，即 在 上恒成
立， （15 分）
设 ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数， （16 分）
所以 ，所以 .
所以 的取值范围为 . （17 分）
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