数学（人教A版2019B卷）（范围：数列、导数和计数原理）2022-2023学年高二下学期期中考前必刷卷

2022-2023学年高二下学期期中考前必刷卷

数学·全解全析

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．等差数列的公差为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为等差数列的公差为，且，

所以.

故选：A

2．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（    ）

A．8种 B．10种 C．12种 D．16种

【答案】B

【详解】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置，

下面是一个分类计数问题，

第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；

第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有种结果；

第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果，

综上可知共有种结果.

故选：B.

3．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（    ）

A．2 B．4 C． 2 D． 4

【答案】D

【详解】解：因为，

所以与的等比中项是，

故选：D.

4．的展开式中各项系数的最大值为（    ）．

A．112 B．448 C．896 D．1792

【答案】D

【详解】该二项式的通项公式为，

 由，可得．

因为，所以展开式中各项系数的最大值为．

故选：D

5．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由图可知，和在的增区间内，故，且在处切线斜率大于在处切线斜率，即；

和在的减区间内，故，且在处切线斜率比在处切线斜率大，即；

综上，.

故选：B.

6．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则

因为，，

所以，解得，

所以等差数列的通项公式为，

所以，A错；

所以，B对

所以等差数列的前n项和为，C、D错.

故选：B.

7．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

令，显然该函数单调递增，，则有两个根，

当时，等式为，不符合题意；

故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，

设，求导得，

故当和时，，单调递减；

时，，单调递增；

且当时，，，

故如图所示

由图可得，的取值范围是

故选：D

8．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】D

【详解】对求导得，

由得，则，即，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：D．

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）

9．的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项

C．整式共有3项 D．项的系数

【答案】AC

【详解】令，由知，所有项系数和为64，故A正确；

二项展开式的通项公式为，令，解得，故展开式第5项为常数项，故B错误；

当时，，展开式为整式，故C正确；

当时，，，故D错误.

故选：AC

10．已知，下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】因为，

令，则，令，则，

所以，故B错误；

令，则，故C错误：

令，则，所以，

通项为，所以，故A正确；

令，

则，

令，得，故D正确.

故选：AD

11．已知数列满足，，，，数列的前项和为，且对，恒成立，则（   ）

A． B．数列为等差数列

C． D．的最大值为

【答案】BD

【详解】对于A，由得：，即，解得：；

，即，解得：；

，即，解得：，A错误；

对于B，由得：，

，，

又，数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确；

对于C，由B得：，，，

又，

则当时，，

满足，，C错误；

对于D，由C得：，

由得：，，

（当且仅当，即时取等号），

，则，的最大值为，D正确.

故选：BD.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若恒成立，则

B．当时，的零点只有1个

C．若函数有两个不同的零点，，则

D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是

【答案】BCD

【详解】对于A，定义域为，由得：，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，则，A错误；

对于B，定义域为，，

当时，，在上单调递增，

又，，

，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；

对于C，，，

；

要证，只需证，即证，

不妨令，则只需证，

令，则，

令，

则，

在上单调递增，，，

即恒成立，，C正确；

对于D，当时，由得：，

即，；

令，则，在上单调递增，

由得：，；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

即，D正确.

故选：BCD

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．已知等比数列的前n项和为，，设，那么数列的前21项和为______________.

【答案】

【详解】依题意，

设等比数列的公比为，

由题意得，

所以，

所以，则，

所以，

则数列是首项为3，公差为1的等差数列，

所以.

故答案为：.

14．从甲､乙等6名医生中任选3名分别去三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲､乙不能去A学校，则共有___________种不同的选派方法.

【答案】80

【详解】先从除去甲乙的4名医生中，选出1人去A学校，有种选择，再从包括甲乙的5名医生中，选出2名医生，去两所学校，有种选择，

所以共有种选派方法.

故答案为：80

15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2099年为己未年，那么3035年为________年.

【答案】乙未

【详解】解：将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以60年（10，12的最小公倍数）为周期循环。

不妨给十天干与十二地支依次标号：1，2……10；1，2……11，12，将甲子年记为（1，1），乙丑年（2，2）……，则2099年可记为（6，8）而3035-2099=36，

故36÷10=3……6，即6+6-10=2，对应天干第二号2，即乙；36÷12=3……0，即地支仍是8号，即未.

故答案为：乙未

16．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.

【答案】

【详解】当时，令，则，

令，，，

令，即，解得，此时单调递增，

令，即，解得，此时单调递减，

故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷，

当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，

当时，，当时，，故此时不是零点，所以，

令，，

令，，

根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0，

当趋近于0时，趋近于负无穷，

在同一坐标系中作出与如下图所示，

题目转化为与函数与在图像上有两交点，

故由图得.

故答案为：.

四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）

17．班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．

(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？

【详解】（1）将2个相声节目捆绑在一起，看成1个节目，与其余4个节目一起排，

则共有种不同排法．

（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，

若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，

若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，

则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，

所以共有种不同排法．

18．在的展开式中，前三项系数成等差数列，求：

(1)展开式中所有项的系数之和；

(2)展开式中的有理项；

(3)展开式中系数最大的项．

【详解】（1）展开式通项为，

则前三项的系数分别为1，，，

又展开项的前三项系数成等差数列，

则有，即，解得或者（舍去）；

故展开式的通项公式为，

令，得展开式中所有项的系数之和为．

（2）结合（1）有，

当为整数时，为有理项，则，4，8，

所以当时，；当时，；当时，，

所以展开式中的有理项为，，．

（3）设第项的系数最大，则，解得，

因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为，．

19．已知数列是等差数列，且，.求：

(1)数列的通项公式；

(2)设，求数列前5项和为.

【详解】（1）等差数列{an}中，设公差为d,

由，，可得，

解得：，，

所以；

（2）由（1）知，

由，可得，

则数列是首项为2，公比为4的等比数列，

所以.

20．已知函数，且在点处的切线垂直于轴.

(1)求实数的值；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【详解】（1）解：依题意：，

因为，

所以，解得；

（2）由（1）知：，，

令，得，，

因为，

所以.

21．已知等比数列的公比为4，且，，成等差数列，又数列满足，，且数列的前n项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若对任意，恒成立，求m的最小值．

【详解】（1）若，，成等差数列，则，

即，解得，

故.

（2）当时，由（1）可得：，

故，

∵，即，

令，即，

可得，

故原题意等价于对任意，恒成立，

∵的对称轴为，

注意到数列为递减数列，且，

故当时，取到最大值，

则，故m的最小值.

22．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间和极值；

(2)讨论函数单调性．

【详解】（1）当时，，

则，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，

当时，函数取得极小值，无极大值．

（2），

则，

当时，，则单调递减；

当时，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增．

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．