2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合10概率与导数试题（Word版附答案）

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(1)当m=4,n=2时,
(i)求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率;
(ii)设小明4次摸球中,摸出白球的个数为X,求X的数学期望;
(2)当m=n时,设小明4次摸球中,恰有3次摸出红球的概率为P,则当m为何值时,P最大?
【解析】(1)小明从甲口袋有放回地摸出一个球,摸出白球的概率为24+2=13,从乙口袋有放回地摸出一个球,摸出白球的概率为22+2=12.
(i)设“小明4次摸球中,至少摸出1个白球”为事件A,则“小明4次摸球中,摸出的都是红球”为事件A,且P(A)= (1-13)2×(1-12)2=19,所以P(A)=1-P(A)=1-19=89.
(ii)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
由(i),得P(X=0)=P(A)=19,P(X=1)=C21×(1-13)×13×(1-12)2+(1-13)2×C21×(1-12)×12=13,
P(X=2)=(13)2×(1-12)2+(1-13)2×(12)2+C21×(1-13)×13×C21×(1-12)×12=1336,
P(X=3)=(13)2×C21×(1-12)×12+C21×(1-13)×13×(12)2=16,P(X=4)=(13)2×(12)2=136,
所以E(X)=0×19+1×13+2×1336+3×16+4×136=53.
(2)由m=n,可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球,连续摸4次,相当于4次独立重复试验,
设小明每次摸出一个红球的概率为k(00;
当34-1,
所以当x>0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当-10,
令p'(x)>0,解得00,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
则f(x)>f(0)=0,于是x>ln (1+x)(x>0),
从而有Sn=∑k=1np2k>∑k=1n16k>16∑k=1nln(1+1k)=16ln (n+1),
设[x]为不超过x的最大整数,则对任意常数M>0,当n≥e6M时,n>e6M-1,
于是Sn>16ln (n+1)>M,
综上所述,当n≥e6M时,Sn>M成立,因此该粒子是常返的.
X
-2
0
2
P
14
12
14