2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合9解析几何与导数试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合9解析几何与导数试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l的方程是y=x+32,点P是抛物线C上在A,B两点之间的动点(异于点A,B),求·的取值范围;
(3)设F为抛物线C的焦点,证明:若FQ=MN恒成立,则直线l过定点.
【解析】(1)当点Q为(0,-72)时,
设△MNQ外接圆的半径为R,∠NMQ=θ,
则πR2=4π,R=2,
在△MNQ中,MQ=72sinθ,NQsinθ=2R=4,MQ=NQ,
则72sin2θ=4,sin2θ=78,即tan2θ=7,kQM=±7,
设直线l1:y=7x-72,与x2=2py联立得x2-27px+7p=0,Δ=28p2-28p=0,又p>0,得p=1,
所以抛物线方程为x2=2y.
(2)联立y=x+32x2=2y,
整理得x2-2x-3=0,解得x=3或-1,
不妨设A(-1,12),B(3,92),
设P(x,y),-10,
所以函数f(t)在1,3上单调递增,所以f(t)min=f(1)=14,所以△PAB面积的最小值为14.
3.(2024·泉州模拟)在相同的介质中,人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同,因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面xOy中,光在介质Ⅰ内点A(0,a)以入射角α,速度u在介质1内传播至x轴上的点P(x,0),而后以折射角β,速度v在介质Ⅱ内传播至点B(b,c).
(1)求光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式T(x);
(2)费尔马认为:光总是沿着最节省时间的路线传播,设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论,解决以下问题:
(i)证明:sinαsinβ=uv.
(ii)若uv=12,a=3,x=b2,求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
【解析】(1)由勾股定理得AP=x2+a2,|BP|=(b-x)2+c2,
所以T(x)=APu+BPv=x2+a2u+(b-x)2+c2v,x∈(0,b).
(2)(i)T'(x)=xux2+a2-b-xv(b-x)2+c2=1u1+a2x2-1v1+c2(b-x)2,
由于y1=1u1+a2x2在x∈(0,b)上为增函数,y2=1v1+c2(b-x)2在x∈(0,b)上为减函数,
故T'(x)在x∈(0,b)上为增函数,
又T'(0)=-bvb2+c2f(12)>f(1)>f(2)>…,
即1>45>12>15>…,
当n增大时,面积λ的值也在增大,
过点(12,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),…,(n,0)分别作x轴的垂线交函数y=f(x)的图象于点(12,f(12) ),(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),(4,f(4)),…,(n,f(n)),
由f(x)=1x2+1在(0,+∞)上单调递减,
得当x∈(0,12)时,f(x)的图象与x轴之间部分的面积小于f(0)×12=12,
当x∈(12,1)时,f(x)的图象与x轴之间部分的面积小于f(12)×12=45×12,
当x∈(1,2)时,f(x)的图象与x轴之间部分的面积小于f(1)=12,
当x∈(2,3)时,f(x)的图象与x轴之间部分的面积小于f(2)=15,
……
当x∈(n-2,n-1)时,f(x)的图象与x轴之间部分的面积小于f(n-2)=1(n-2)2+1,
当x∈(n-1,n)时,f(x)的图象与x轴之间部分的面积小于f(n-1)=1(n-1)2+1,
则M的轨迹Γ,直线x=-n,x=n(n∈N*)与x轴围成面积为λ,λ