2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合8解析几何中的新定义问题试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合8解析几何中的新定义问题试题（Word版附答案），共4页。试卷主要包含了已知椭圆C1等内容，欢迎下载使用。

(1)已知“猫眼曲线”Γ满足a,b,t成等比数列,公比为22,判断此时曲线Γ是否为“优美猫眼曲线”.若曲线Γ经过点G(0,-2),求出组成这个曲线Γ的两个椭圆的标准方程.
(2)对于(1)中所求的“猫眼曲线”Γ,作直线l(斜率为k,且k≠0).
①若直线l不经过原点O,且与组成Γ的两个椭圆都相交,交椭圆C1所得弦的中点为M,交椭圆C2所得弦的中点为N,如图1所示,kOMkON是否为与k无关的定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
②若直线l的斜率k=2,l与椭圆C2相切,交椭圆C1于A,B两点,Q为椭圆C1上与A,B不重合的任意一点,如图2所示,求△ABQ面积的最大值.
【解析】(1)由题意知,ba=tb=22.椭圆C1的离心率e1=1-(ba) 2=22,
椭圆C2的离心率e2=1-(tb) 2=22,所以e1=e2,
所以此时曲线Γ是“优美猫眼曲线”.
由曲线Γ过点G(0,-2),得b=2,所以a=2,t=1,
所以两椭圆方程分别为C1:x24+y22=1,C2:y22+x2=1.
(2)①设斜率为k的直线l交椭圆C1于点C(x1,y1),D(x2,y2),
线段CD的中点为M(x0,y0),
则x0=x1+x22,y0=y1+y22,k=y1-y2x1-x2,kO M=y0x0.
由x124+y122=1x224+y222=1,得x12-x224+y12-y222=0,
因为k存在且k≠0,所以x1≠x2且x0≠0,
所以y1-y2x1-x2·y0x0=-12,即k·kO M=-12.同理得k·kO N=-2,故kO MkO N=14.
②设直线l的方程为y=2x+m,
由y22+x2=1y=2x+m,
化简得关于x的方程4x2+22mx+m2-2=0.
由Δ1=(22m)2-16(m2-2)=0,得m=±2.
由图象的对称性,m=-2与m=2时结果一样,
不妨取m=2,则y=2x+2.
由x24+y22=1y=2x+2,化简得5x2+82x+4=0,Δ2>0.
设A(x3,y3),B(x4,y4),
则x3+x4=-825,x3x4=45,AB=3x3-x4=3×(x3+x4)2-4x3x4=125,是定值,
设Q(2cs θ,2sin θ),
由点到直线l的距离公式得点Q到直线l的距离d=22csθ-2sinθ+23=10sin(θ+φ)+23,tan φ=-2,
所以dmax=10+23,
所以△ABQ面积的最大值为12AB·dmax=12×125×10+23=230+435.
2.曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量,曲率越大,曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率K=y″(1+y'2)32(其中y'表示函数y=f(x)在点M处的导数,y″表示导函数f'(x)在点M处的导数).在曲线y=f(x)上点M处的法线(过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线)指向曲线凹的一侧上取一点D,使得|MD|=1K=ρ,则称以D为圆心,以ρ为半径的圆为曲线在M处的曲率圆,因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好,且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切,所以又称此圆为曲线在此处的密切圆.
(1)求出曲线C1:y2-x2=2在点M(0,2)处的曲率,并在曲线C2:xy=1的图象上找一个点E,使曲线C2在点E处的曲率与曲线C1在点M(0,2)处的曲率相同;
(2)若要在曲线C1:y2-x2=2上支凹侧放置圆C3,使其能在M(0,2)处与曲线C1相切且半径最大,求圆C3的方程;
(3)在(2)的条件下,在圆C3上任取一点P,曲线C1上任取关于原点对称的两点A,B,求·的最大值.
【解析】(1)曲线C1:y2-x2=2在点M(0,2)附近满足y=x2+2,进一步有y'=xx2+2,
y″=x2+2-x·xx2+2x2+2=2(x2+2)3,
故其曲率K=y″(1+y'2)32=2(x2+2)3(1+x2x2+2)32=2(2+2x2)32.
在x=0处,K=2232=22,所以曲线C1:y2-x2=2在点M(0,2)处的曲率为22.
考虑曲线C2:xy=1上的点E(1,1),曲线在该点附近满足y=1x,进一步有y'=-1x2,y″=2x3,
故其曲率K=y″(1+y'2)32=2x3(1+1x4) 32=2(x2+1x2) 32.
在x=1处,K=2(1+11) 32=2232=22,所以曲线C2:xy=1在点E(1,1)处的曲率亦为22.
(2)设C3的方程为x2+(y-R-2)2=R2,R>0,由条件知,由x2+(y-R-2)2=R2和y2=x2+2组成的方程组只有一个解(x,y)=(0,2).
将其联立,得到y2-2+(y-R-2)2=R2,即y2-(R+2)y+2R=0,即(y-2)(y-R)=0.
当R>2时,原方程组还有另一个解(R2-2,R),矛盾.
当R=2时,(y-2)2=0,从而y=2,x2=y2-2=0,故x=0,这表明原方程组只有(x,y)=(0,2)一个解.
所以所求的半径最大的圆C3的方程为x2+(y-22)2=2.
(3)首先有·=(+)·(+)=(+)·(-)=OP2-OA2.
设A(xA,yA),则OP≤2+2R=32,OA=xA2+yA2=2xA2+2≥2,
故·=OP2-OA2≤18-2=16.
当P(0,32),A(0,2)时,·=OP2-OA2=18-2=16.
所以·的最大值是16.