2025版高考热点题型与考点专练数学热点5统计与概率试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点5统计与概率试题（Word版附答案），共10页。
【典例1】(17分)(规范解答)(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分,若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;
(2)假设0P乙,所以为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,该由甲参加第一阶段比赛.………………………………………………………10分
(ii)若甲先参加第一阶段的比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]C31q(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]C32q(1-q)2,
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
所以E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)q,13分
记乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)p,所以E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)
=15(p-q)pq(p+q-3)>0,………………………………………………16分
所以为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由甲参加第一阶段比赛.……………………………………………………………………17分
【题后反思】
本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的数学期望等知识,解答时要防止两种失误:
(1)概型归类要准确,尤其是相互独立事件与独立重复试验,二项分布与超几何分布要分清;
(2)概率求解要正确,求解分布列问题的核心是概率计算,要明确事件性质与参数取值,细心运算,以防错误.
【典例2】(2024·湖北模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况,统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数,现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据,结果如下表:
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的,称为“经常锻炼”,其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”,“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率,在全校抽取20名同学,其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求E(X)和D(X);
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的生活习惯,在样本的10名“运动爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
【审题思维】
(1)根据列联表数据计算χ2即可求解;
(2)由题意X近似服从二项分布X~B(20,112),利用方差和期望公式即可求解;
(3)由题意Y服从超几何分布,Y的可能取值为0,1,2,3,计算出各自对应的概率即可求解.
【解析】(1)列联表如下:
零假设为H0:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关,根据列联表的数据计算χ2=60(7×16-23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1,
根据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1;
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p=560=112,X~B(20,112),
故E(X)=20×112=53,D(X)=20×112×1112=5536;
(3)10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布,Y的可能取值为0,1,2,3,
P(Y=0)=C70C33C103=1120,
P(Y=1)=C71C32C103=21120=740,
P(Y=2)=C72C31C103=21×3120=2140,
P(Y=3)=C73C30C103=35120=724,
故所求分布列为:
E(Y)=3×710=2.1.
【题后反思】
本题考查独立性检验、二项分布、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望计算.统计与概率的融合题是高考的热点,常常以统计图表为载体,考查概率问题.
1.★★★☆☆(2024·北京高考)已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元.
在总体中抽样100单,以频率估计概率:
(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率;
(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望;
(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.
【解析】(1)设事件A为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”,由题设中的统计数据可得P(A)=60+30+10800+100+60+30+10=110;
(2)(i)设ξ为赔付金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3,
由题可得P(ξ=0)=8001 000=45,P(ξ=0.8)=1001 000=110,
P(ξ=1.6)=601 000=350,P(ξ=2.4)=301 000=3100,
P(ξ=3)=101 000=1100,
所以E(ξ)=0×45+0.8×110+1.6×350+2.4×3100+3×1100=0.278,
因为毛利润是保费与赔偿金额之差,
故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元);
(ii)由(i)知未赔偿的概率为P(ξ=0)=8001 000=45,至少赔偿一次的概率为1-45=15,故保费变化后为0.4×45×(1-4%)+0.4×15×(1+20%)=0.403 2,
设Y为保单下一保险期的毛利润,
故E(Y)=0.122+0.403 2-0.4=0.125 2(万元).
2.★★★☆☆(2024·西城三模)根据2024城市魅力排行榜,一线城市4个,分别为:上海、北京、深圳、广州;新一线城市15个,分别为:成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个,分别为:上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市,求该城市是一线城市的概率;
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量X表示新一线城市的数量,求随机变量X的分布列和期望;
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y表示新一线城市的数量,比较E(X)与E(Y)的大小关系.(直接写出结果)
【解析】(1)10个超大城市中包含4个一线城市,所以从10个超大城市中随机抽取一座城市,该城市是一线城市的概率为410=25.
(2)10个超大城市中包含6个新一线城市,X所有可能的取值为:0,1,2,3.
P(X=0)=C60C43C103=4120=130;P(X=1)=C61C42C103=36120=310;
P(X=2)=C62C41C103=60120=12;P(X=3)=C63C40C103=20120=16.
所以X的分布列为:
E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95.
(3)E(X)=E(Y).
理由如下:从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y~B(3,610),E(Y)=3×610=95,所以E(X)=E(Y).
3.★★★★☆(2024·日照三模)电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式,编造虚假信息,设置骗局,对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临,借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延,不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识,某校举办了主题为“防电信诈骗,做反诈达人”的知识竞赛.
(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25),若某同学成绩满足μ-σ≤η≤μ+2σ,则该同学被评为“反诈标兵”;若η>μ+2σ,则该同学被评为“反诈达人”.
(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”;
(ii)若全校共有40名同学被评为“反诈达人”,试估计参与本次知识竞赛的学生人数(四舍五入后取整).
(2)已知该学校有男生1 000人,女生1 200人,经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识,用样本估计总体,现从全校随机抽出2名男生和3名女生,这5人中了解“反诈”知识的人数记为X,求X的分布列及数学期望E(X).
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.954 5,
P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.997 3.
【解析】(1)(i)由题意知,该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25),可得μ=80,σ=5,因为75