2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合2数列与解析几何试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合2数列与解析几何试题（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了设A,B为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
(1)证明:直线B1R与B2T的交点M在椭圆K:x24+y2=1上;
(2)已知PQ为过椭圆K的右焦点F的弦,直线MO与椭圆K的另一交点为N,若MN∥PQ,试判断PQ,MN,A1A2是否成等比数列,请说明理由.
【解析】(1)设M(x,y),依题意,R(2λ,0),T(2,1-λ),B1(0,-1),B2(0,1),则直线B1R的方程为y+1=12λx,①
直线B2T的方程为y-1=-λ2x,②
①×②得:y2-1=-14x2,即x24+y2=1,
故直线B1R与B2T的交点M在椭圆K:x24+y2=1上;
(2)依题意,直线PQ,MO的斜率均不为零,故设直线PQ的方程为x=my+3,直线MO的方程为x=my,
由x24+y2=1x=my+3得:(m2+4)y2+23my-1=0,
所以y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4,
所以PQ=1+m2y1-y2=1+m2·
(-23mm2+4) 2-4·(-1m2+4)=4(m2+1)m2+4,
由x24+y2=1x=my得y=±2m2+4,
所以MN=1+m2y1-y2=4m2+1m2+4,|A1A2|=4,
所以|MN|2=PQ·A1A2,
即PQ,MN,A1A2成等比数列.
2.(2024·泉州模拟)设A,B为椭圆C:x24+y23=1的短轴端点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,D在直线x=4上.
(1)求直线PA,PB的斜率的乘积;
(2)证明:∠APB>5π12;
(3)过右焦点F作x轴的垂线l,E为l上异于F的任意一点,直线DF交C于M,N两点,记直线ED,EM,EN的斜率分别为k1,k2,k3,是否存在k1,k2,k3的某个排列,使得这三个数成等差数列?若存在,加以证明;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)不妨设A(0,3),B(0,-3),设P(x0,y0)(x0≠0),则直线PA,PB的斜率分别为kPA=y0-3x0,kPB=y0+3x0,所以kPA·kPB=y02-3x02.
又因为x024+y023=1,
所以y02=3-34x02,
故kPA·kPB=-3x024x02=-34,
即直线PA,PB的斜率的乘积为-34.
(2)由椭圆的对称性,不妨设P位于第一象限或长轴右端点,设直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,
则tan∠APB=tanπ-(α-β)=tan(β-α)=kPB-kPA1+kPA·kPB.
由(1)知,kPA·kPB=-34,故kPA=-34·1kPB,
从而tan∠APB=4kPB+3kPB≥43,
当且仅当kPB=32时等号成立,此时P为C的右顶点.
因为tan5π12=tan(π4+π6)=1+331-33=(3+3)2(3-3)(3+3)=12+636=2+3,
又因为∠APB∈(0,π2),且tan∠APB≥43>tan5π12=2+3,所以∠APB>5π12.
(3)设E(1,n)(n≠0),
①当D在x轴上时,D(4,0),不妨设M(2,0),N(-2,0),k1=-n3,k2=-n,k3=n3,从而k2+k3=2k1;
②当D不在x轴上时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=ky+1(k≠0),
由x=4,x=ky+1,得D(4,3k),所以k1=1k-n3.
由x=ky+1,x24+y23=1,消去x,得(3k2+4)y2+6ky-9=0,
因为直线MN过点F,则Δ>0,
从而y1+y2=-6k3k2+4,y1y2=-93k2+4(*),又k2+k3=y1-nx1-1+y2-nx2-1
=(x2-1)(y1-n)+(x1-1)(y2-n)(x1-1)(x2-1)=2y1y2-n(y1+y2)ky1y2.
将(*)式代入上式,得k2+k3=-18+6kn-9k=2k-2n3=2k1.
综上,可得k2+k3=2k1,即k2,k1,k3或k3,k1,k2成等差数列.
3.(2024·贵州模拟)已知A,B分别为椭圆E:x23+y24=1的上、下顶点,P为直线l:y=12上的动点,且P不在椭圆上,PA与椭圆E的另一交点为C,PB与椭圆E的另一交点为D(C,D均不与椭圆E上下顶点重合).
(1)证明:直线CD过定点;
(2)设(1)问中定点为Q,过点C,D分别作直线l:y=12的垂线,垂足分别为M,N,记△CMQ,△MNQ,△DNQ的面积分别为S1,S2,S3,试问:是否存在常数t,使得S1,tS2,S3总为等比数列?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意,直线CD的斜率一定存在,
设C(x1,y1),D(x2,y2),直线CD的方程为:y=kx+m,则直线AC为y=y1-2x1x+2①,
直线BD为y=y2+2x2x-2②,
由①②得:y1-2x1·x2y2+2=y-2y+2,
因为P在直线y=12上,所以y1-2x1·x2y2+2=-35,
因为x223+y224=1,
所以x2y2+2=-3(y2-2)4x2,
所以y1-2x1·y2-2x2=45,
所以(kx1+m-2)(kx2+m-2)x1x2=45,
所以k2x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)2x1x2=45③,
联立:x23+y24=1y=kx+m得方程:(3k2+4)x2+6kmx+3(m2-4)=0,
Δ=(6km)2-4×(3k2+4)×3(m2-4)>0,
由根与系数的关系:x1+x2=-6km3k2+4,x1x2=3(m2-4)3k2+4,
将上式代入③得:m2-10m+16=0,所以m=2(舍),m=8,所以直线CD过定点(0,8).
(2)M(x1,12),N(x2,12),显然C,D在直线l:y=12的两侧,不妨设y1>12>y2.
则S△CMQ=12x1(y1-12),S△MNQ=12x1-x2(8-12),
S△DNQ=12x2(12-y2).
设存在常数t,使得S1,tS2,S3为等比数列,即t2S22=S1S3,
即225t216(x1-x2)2=14x1x2[12(y1+y2)-14-y1y2],
即225t216[(x1+x2)2-4x1x2]=14x1x2[12(y1+y2)-14-y1y2],
因为C(x1,y1),D(x2,y2)在直线y=kx+8上,所以m=8,
将x1+x2=-6km3k2+4=-48k3k2+4,x1x2=3(m2-4)3k2+4=1803k2+4,
y1+y2=k(x1+x2)+16=k·-48k3k2+4+16=-48k2+48k2+643k2+4=643k2+4,y1y2=(kx1+8)(kx2+8)=k2x1x2+8k(x1+x2)+64=k21803k2+4+8k-48k3k2+4+64=4(64-3k2)3k2+4,
代入,化简得:225t216(144k2-2 880)=454(45k2-900),
因为Δ=(48k)2-4×180×(3k2+4)>0,
所以k2>20,
所以t2=45(k2-20)144(k2-20)×16225×454=14,t=±12.
所以存在t=±12时,S1,tS2,S3总构成等比数列.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0