2025版高考热点题型与考点专练数学满分案例三立体几何试题（Word版附答案）

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(2024·新高考Ⅰ卷)(15分)如图, 四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD, PA=AC=2,
BC=1, AB=3.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为427,求AD.
标准答案
阅卷现场
【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD1分①
又因为AD⊥PB,PA∩PB=P,
所以AD⊥平面PAB2分②
故AD⊥AB3分③
因为AC=2,BC=1,AB=3,所以BC⊥AB4分④
故AD∥BC5分⑤
因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以AD∥平面PBC6分⑥
(2)
因为AD⊥DC,所以以D为坐标原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴,过点D作PA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,如图7分⑦
设AD=a>0,则DC=4-a2,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,4-a2,0),P(a,0,2)10分⑧
设平面DCP的法向量n1=(x1,y1,z1),因为=(0,4-a2,0),=(a,0,2),所以由,即4-a2·y1=0ax1+2z1=0,
可取n1=(2,0,-a)11分⑨
又=(0,0,2),=(-a,4-a2,0),
设平面ACP的法向量n2=(x2,y2,z2),所以,
所以2z2=0-ax2+4-a2y2=0,取n2=(4-a2,a,0)12分⑩
因为二面角A-CP-D的正弦值为427,所以余弦值的绝对值为17.
所以由|cs|=17=|n1·n2||n1|·|n2|=24-a224+a213分⑪
得a2=3,a=3,因此,AD=315分⑫
(1)(6分)
①由线面垂直得线线垂直得1分;
②证出AD⊥平面PAB得1分;
③写出AD⊥AB得1分;
④证出BC⊥AB得1分;
⑤证出AD∥BC得1分;
⑥证出结论得1分;
【评分细则】
1.未写出PA与PB相交于点P扣1分;
2.证出AD⊥平面PAB给2分,否则给PA⊥AD1分;
3.没有写出AD⊄平面PBC,扣1分;
4.结论不单独给分;
5.若用向量法证明,正确得全分;
(2)(9分)
⑦正确建立空间直角坐标系得1分;
⑧写出所需要的点的坐标正确得3分;
⑨求出平面DCP的法向量正确得1分;
⑩求出平面ACP的法向量正确得1分;
⑪根据二面角的正弦值列出两法向量的夹角公式得1分;
⑫计算结果正确得2分;
【评分细则】
1.空间直角坐标系无论左手系是右手系正确即可得1分;若无文字说明,图象有体现不扣分;
2.采用左手系结果正确得全分,错误按步骤得分;
3.采用几何法结果正确得全分;
4.夹角公式写出单独得1分,结果错误扣1分.