2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合6立体几何与概率试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合6立体几何与概率试题（Word版附答案），共4页。试卷主要包含了25n2等内容，欢迎下载使用。
(1)求出n维“立方体”的顶点数;
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.
①求出X的分布列与期望;
②证明:在n足够大时,随机变量X的方差小于0.25n2.
(已知对于正态分布X~N(μ,σ2),P随X变化关系可表示为φμ,σ(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ2)
【解析】(1)对于n维坐标(a1,a2,a3,……,an),ai有{0,1}两种选择(1≤i≤n,i∈N),
所以共有2n种选择,即共有2n个顶点;
(2)①对于X=k的随机变量,在坐标(a1,a2,a3,……,an)与(b1,b2,b3,……,bn)中有k个坐标值不同,
即ai≠bi,剩下n-12k个坐标值满足ai=bi,
此时所对应情况数为Cnk·2n-1种,所以P(X=k)=Cnk·2n-1C2n2=Cnk2n-1,
则X的分布列为:
所以E(X)=0·Cn02n-1+1·Cn12n-1+2·Cn22n-1+…+n·Cnn2n-1,
倒序相加得E(X)=n2(2n-1)(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn)=n2(1-2-n),故E(X)=n2(1-2-n);
②当n足够大时,E(X)≈n2,设正态分布N~(n2,(n2)2),正态分布曲线为f(x),
因为该正态分布期望为n2,方差为(n2)2,不妨设分布列所形成的曲线为g(x),
所以函数g(x)与f(x)均在x=n2处取最大值,
当g(n2)>f(n2),且g(∞)1,
所以g(n2)>f(n2).
综上所述,可以认为D(X)