2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合3数列与概率试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合3数列与概率试题（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了则X~B,等内容，欢迎下载使用。
(1)求Pn;
(2)求Xn的数学期望E(Xn).
【解析】(1)依题意,每次交换共有4种情况,其中有2种情况交换后B盒子中仍为一黑一白两个小球,
另外2种情况交换后,B盒子中有两个黑球或两个白球,再次交换后,B盒子中必为一黑一白两个小球,则P0=1,P1=12,Pn+1=12Pn+(1-Pn)=1-12Pn,即有Pn+1-23=-12(Pn-23),因此数列{Pn-23}是以P1-23=-16为首项,-12为公比的等比数列,即Pn-23=-16×(-12)n-1,
所以Pn=23+13×(-12)n.
(2)依题意,Xn的可能取值为0,1,2,
P(Xn=0)=14Pn-1,
P(Xn=1)=12Pn-1+1-Pn-1=1-12Pn-1,
P(Xn=2)=14Pn-1,所以E(Xn)=0×14Pn-1+1×(1-12Pn-1)+2×14Pn-1=1.
2.(2024·盐城模拟)某学校有A,B两个餐厅,经统计发现,学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后,如果某同学某天去A餐厅,那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4;如果某同学某天去B餐厅,那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8.
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望;
(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大?并说明理由.
【解析】(1)设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为P,则P=12×25+12×45=35.则X~B(3,35),
所以P(X=0)=C30(35)0(1-35)3=8125,
P(X=1)=C31(35)1(1-35)2=36125,
P(X=2)=C32(35)2(1-35)1=54125,
P(X=3)=C33(35)3(1-35)0=27125,故X的分布列如表所示.
则X的期望为E(X)=3×35=95.
(2)设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn,则P1=12,
当n≥2时,Pn=25Pn-1+45(1-Pn-1)=-25Pn-1+45,
所以Pn-47=-25(Pn-1-47),又P1-47=-114,
所以{Pn-47}是以-114为首项,-25为公比的等比数列,
所以Pn-47=-114×(-25)n-1,
所以Pn=47-114×(-25)n-1,
当n是奇数时,Pn=47-114×(25)n-147,则P2>P4>P6>…>P2k>47,k∈N*.
所以甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.
3.(2024·荆州三模)宜昌市是长江三峡起始地,素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源,管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查,据统计,其中14的人计划只参观三峡大坝,另外34的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家.每位游客若只参观三峡大坝,则记1分;若既参观三峡大坝又游览三峡人家,则记2分.假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立,视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人,记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;
(2)从游客中随机抽取n人(n∈N*),记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn,求∑i=1nPi;
(3)从游客中随机抽取若干人,记这些人的合计得分恰为n分的概率为an,随着抽取人数的无限增加,an是否趋近于某个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
【解析】(1)由题意得,随机变量X的可能取值为2,3,4,
可得P(X=2)= (14)2=116,P(X=3)=C21×14×34=38,P(X=4)= (34)2=916,
所以X的分布列如表所示:
所以,数学期望为E(X)=2×116+3×38+4×916=72.
(2)由这n人的合计得分为n+1分,则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家,
所以Pn=Cn1·34·(14)n-1=3n4n,∑i=1nPi=34+3×242+3×343+…+3n4n,则14×∑i=1nPi=342+3×243+3×344+…+3n4n+1,
由两式相减,可得34×∑i=1nPi=34+342+343+…+34n-3n4n+1=34×1-14n1-14-3n4n+1,
所以∑i=1nPi=43(1-14n)-n4n.
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为n-1分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为n分或n+1分,
记“合计得n分”为事件A,“合计得n+1分”为事件B,A与B是对立事件,
因为P(A)=an,P(B)=34an-1,所以an+34an-1=1(n≥2),
即an-47=-34(an-1-47)(n≥2),
因为a1=14,则数列{an-47}是首项为-928,公比为-34的等比数列,
所以an-47=-928(-34)n-1(n≥1),
所以an=47-928(-34)n-1(n≥1),
所以随着抽取人数的无限增加,an趋近于常数47.
4.(2024·新高考Ⅰ卷)设m为正整数, 数列a1,a2,…,a4m+2 是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i18;
当m=2时,数列共10项:a1,a2,…,a10,
(i,j)∈{(1,2),(1,6),(1,10),(5,6),(5,10),(9,10),(2,9)},P2=7C102=745>18;
当m≥3时,去掉ai,aj后,余下的4m个数分成m组,每组4个数,
①形成公差是d的等差数列的(i,j)有:
(1,2),(1,6),(1,10),…,(1,4m+2), m+1个;
(5,6),(5,10),(5,14),…,(5,4m+2), m个;
……
(4m+1,4m+2), 1个;
总数为1+2+…+(m+1)=12(m+1)(m+2)个.
②形成公差不小于2d的等差数列的(i,j)有:
(2,9),(2,13),(2,17),…,(2,4m+1), m-1个;
(6,13),(6,17),…,(6,4m+1), m-2个;
……
(4m-6,4m+1), 1个;
总数至少为1+2+…+(m-1)=12m(m-1)个.
由此,使a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列的(i,j)的总数N≥12(m+1)(m+2)+12m(m-1)=m2+m+1,
所以Pm=NC4m+22≥m2+m+18m2+6m+1=18·m2+m+1m2+68m+18>18.
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125
X
2
3
4
P
116
38
916