2025版高考热点题型与考点专练数学创新融合7立体几何与导数试题（Word版附答案）

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(2)若E为l上一点,求直线PD与平面EAB所成角的正弦值的最大值.
【解析】(1)因为DA⊥平面ABP,CB⊥平面ABP,
所以DA∥BC,又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以AD∥平面PBC,
又AD⊂平面PAD,且平面PAD与平面PBC的交线为l,
所以l∥AD.
(2)取AB的中点O,连接PO.因为PA=PB,所以PO⊥AB,
因为DA⊥平面PAB,DA⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD,
且平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,
所以PO⊥平面ABCD.
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(-2,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(-2,1,0),P(0,0,2),
设E(0,t,2),则=(-2,1,-2),=(22,0,0),=(2,t,2),
设平面EAB的一个法向量n=(x,y,z),
因为
令z=2,则x=0,y=-2t,即n=(0,-2t,2).
设直线PD与平面EAB所成角为θ,所以sin θ==-2-2t5·2+(-2t) 2 =105·t+1t2+2=105(t+1)2t2+2,令y=(t+1)2t2+2,
则y'=2(t+1)(t2+2)-(t+1)2·2t(t2+2)2=2(-t2+t+2)(t2+2)2,
令y'>0,则t2-t-20;
即x∈(0,2)时,f(x)单调递减;x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增.
即x=2,h=2r时,圆柱的系数最小为K=54π,
所以,圆柱的球形比例系数的值域为0,23.
(3)考虑圆柱和半球的组合体,底面重合,半径为r,圆柱的高为h,x=hr,于是组合体的全面积S=3πr2+2πrh,体积V=23πr3+πr2h,K=S3V2=(3πr2+2πrh)3(23πr3+πr2h) 2=9π(3+2x)3(2+3x)2,f(x)=K0K =4(2+3x)2(3+2x)3,f(1)=45>34,而f(2)=2563430,
所以f(x)在(0,π2)上单调递增.
因为x1